Según estudios anteriores, se sabe que el 30 % de la población padece algún problema en la vista. Se desea conocer si esta proporción se sigue manteniendo o no. Para ello se coge una muestra de de 625 personas elegidas al azar y se encuentra que 214 tienen algún problema en la vista. Contesta a las siguientes preguntas:[br][br][list=1][*]Realiza un contraste de hipótesis, con un nivel de significación del 10 % (nivel de confianza del 90 %), en la que queremos aceptar o rechazar que el 30 % de la población padece una enfermedad en la vista.[/*][*]En el caso de que no podamos aceptar la hipótesis, ¿Cuántas personas tendrían que estar enfermas de la vista en la muestra para que pudieramos aceptar la hipótesis? Tenemos que encontrar la cantidad mínima y máxima, para la que consideraríamos la hipótesis como correcta en muestras de tamaño 625. [br][/*][/list]

[b]Para resolver la pregunta 1[/b], los pasos que seguiremos serán:[br][list=1][*]Encontrar la proporción en la muestra de personas con enfermedades en la vista. En nuestro caso [math]p_r=\frac{214}{625}=0,342[/math][/*][*]Formular el contraste de hipótesis para la proporción. En nuestro caso [math]H_0:p=0,3[/math] y [math]H_1:p\ne0,3[/math].[/*][*]Construir el intervalo característico para la distribución de las proporciones muestrales, para p=0.3, un tamaño de muestra de 625 y un nivel de confianza del 90 %. éste se construye mediante la fórmula [math]\left(p-z_{\frac{\alpha}{2}}·\sqrt{\frac{p·\left(1-p\right)}{n}},p+z_{\frac{\alpha}{2}}·\sqrt{\frac{p·\left(1-p\right)}{n}}\right)[/math] .[/*][*]Estudiar si el valor de la proporción de la muestra queda dentro del intervalo característico o no.[/*][*]Toma de decisión. Aceptamos [math]H_0[/math] o lo rechazamos y en su caso aceptaríamos [math]H_1[/math].[/*][/list][br]Veamos en una construcción de GeoGebra todos esos pasos y veamos que hipótesis hay que aceptar.

Vemos en la construcción de GeoGebra todos los pasos y como la proporción de la muestra queda fuera de la zona de acetación, hemos de rechazar [math]H_0[/math] y aceptar [math]H_1[/math].[br][br][b]Para resolver la pregunta 2[/b], seguiremos los siguientes pasos:[br][br][list][*]El valor más pequeño que aparece en el intervalo de la zona de aceptación es 0,27. Como ese es el valor más pequeño que aceptaríamos para la proporción de la muestra, tendremos que: [math]p_r=\frac{x}{625}=0,27\Rightarrow x=625·0,27=168,75[/math] es el mínimo de personas que tendría que haber en la muestra para que pr quedara dentro de la zona de aceptación.[/*][*]El valor más grande del intervalo es 0,33. Procediendo igual que en el caso anterior, tendremos que [math]p_r=\frac{x}{625}=0,33\Rightarrow x=625·0,33=206,25[/math], sería el máximo de personas enfermas de la vista que tendría que haber en la muestra para que pr quedara dentro de la zona de aceptación. [/*][/list][br]

GeoGebra tiene una herramienta específica para hacer contrastes de hipótesis. La podemos ver si vamos a:[br][list=1][*]Menú.[/*][*]Vista.[/*][*]Calculadora de probabilidad.[/*][*]Pestaña estadísticas.[/*][*]Opción del menú desplegable "Test Z de una proporción".[/*][/list][br]Introducimos los valores que nos da el ejercicio y vemos que aparece:

Los valores que nos interesan son z y p.[br][br]Veamos de donde sale el valor de z que aparece en la herramienta de GeoGebra. Vamos a calcular el nivel de confianza que corresponde a nuestro ejercicio, con los datos que nos da el problema. Hay que tener en cuenta que GeoGebra siempre es más exacto que nosotros, pues utiliza más decimales que los que podemos utilizar nosotros. Calculando:[br][br][math]z_m=\frac{p_r-p}{\sqrt{\frac{p·\left(1-p\right)}{n}}}=\frac{0.342-0.3}{\sqrt{\frac{0.3·0.7}{625}}}=2.291[/math][br][br]El intervalo de aceptación para una N(0,1) con un 10% de nivel de significación o lo que es lo mismo un 90% de nivel de confianza es (-1,645 , 1,645). Como [math]\text{z=2.291}\approx2.3131[/math] queda fuera de la zona de aceptación, rechazamos [math]H_0[/math] y aceptamos [math]H_1[/math]. [br][br]Ahora veamos que es la p. El valor de la probabilidad que corresponde a z sería:[br][br][math]P\left(z\le2.3131\right)=0.9896[/math][br][br]Hay que tener en cuenta que es un intervalo característico centrado en la proporción 0.3. Vamos a sumar la probabilidad que hay a los dos lados del intervalo característico:[br][br]1-0,9896=0,0104[br]0,0104 · 2=0,0208.[br][br]Este valor, un poco más exacto en GeoGebra, es el que corresponde al valor p que aparece. Este valor va asociado a un nivel de significación del 2,08%, es decir a un 97,92% de nivel de confianza. Este nivel de confianza es mucho mayor que el que aparecía en el problema, en el que solo nos piden un 90%. Cuanto mayor es el nivel de confianza, mayor es el intervalo característico. Pues bien, este valor p, exige un nivel de confianza mayor que el requerido, por lo que el valor de la proporción de la muestra se queda fuera del intervalo característico. Una vez más rechazamos [math]H_0[/math] y aceptamos [math]H_1[/math]  .

La actividad de GeoGebra se ha preparado para resolver otros problemas similares.[br][br]También podemos estudiar otro tipo de contrastes de hipótesis unilaterales, pulsando las pestañas correspondientes.