Polígonos
Estudo dos polígonos e dedução das relações, para polígonos convexos, da soma dos ângulos internos e externos, e do número de diagonais em relação ao número de lados. Classificação de um polígono qualquer como convexo ou côncavo e apresentações de polígonos regulares.
Table of Contents
- Definição e classificação
- Polígonos
- Elementos
- Polígonos convexos e côncavos
- Classe de polígonos
- Ângulos internos e externos
- Ângulos internos de um polígono
- Ângulos externos de um polígono convexo
- Diagonais de um polígono
- Diagonais de um polígono convexo
- Polígonos regulares
- Polígonos regulares
Polígonos
A palavra polígonos tem origem nas palavras gregas [i]poly[/i] (muitos) e [i]gon[/i] (ângulo). [br]Assim, podemos entender que polígonos são figuras geométricas com muitos ângulos.[br]Mas, o que exatamente é preciso para que uma figura seja considerada um polígono?[br] Para ser um polígono, a figura precisa ter três características:[br][br]1ª. precisa ser formada apenas por segmentos de retas;[br]2º. precisa ser simples (os lados não podem se cruzar);[br]3º. precisa ser fechada.
Na imagem, as duas primeiras figuras são polígonos, mas as três últimas não são, pois:[br][list][*]a terceira não satisfaz a 2º condição, pois ela não é simples, já que dois lados "passam" por cima de outro lado;[/*][*]a quarta não satisfaz a 3º condição, pois ela não é fechada;[/*][*]a quinta não satisfaz a 1ª condição, pois tem uma parte curva.[/*][/list]
1ª Atividade: desenhe um polígono.
2ª atividade: Desenhe uma figura que não seja um polígono.
Ângulos internos de um polígono
Relembrando os ângulos internos de um triângulo
Já estudamos algumas propriedades dos triângulos, incluindo a soma dos ângulos internos, que em qualquer triângulo será sempre igual a 180°.[br]Utilizaremos essa informação para deduzir a soma de ângulos internos de qualquer polígono convexo.[br]Para isso, começaremos desenhando as diagonais em relação a um vértice, e verificando quantos triângulos é possível formar em cada caso.
Desenhando triângulos
Deduzindo a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer
Deslize o controle que informa a quantidade de lados e observe quantos triângulos é possível construir em cada caso; Em seguida, complete a tabela a seguir:
Tabela de relação
Observando a tabela, que relação há entre o número de triângulos gerados e o número de lados do polígono?
Formalizando algebricamente
Como observamos, o número de triângulos sempre será dois a menos que o número de lados.[br]Algebricamente, isso pode ser representado por [i]n - 2[/i], em que [i]n[/i] indica o número de lados do polígono.[br]Como cada triângulo possui 180°, podemos concluir que a soma dos ângulos será:[br] [i][center][math]S_{n^{ }}=\left(n-2\right)\cdot180°[/math][/center][/i]
Utilize a fórmula para determinar qual a soma dos ângulos internos de um pentágono.
Diagonais de um polígono convexo
Vamos investigar quantas diagonais tem um polígono convexo em função do número de lados e vértices.[br]Observe na applet o número de diagonais de cada polígono e complete a tabela.
Diagonais
Tabela de diagonais
Observando e generalizando
Que relação há entre a quantidade de diagonais de cada vértice e o número total de diagonais?
Generalização
Assim, percebemos que cada vértice terá [math]n-3[/math] diagonais, se o polígono tiver [i]n[/i] vértices (lados).[br]Como o polígono terá essa quantidade para cada vértice, ele tem [math]n\left(n-3\right)[/math] diagonais.[br]Para concluir, só precisamos lembrar que quando contamos as diagonais que saem de A, por exemplo, AC, estamos já contabilizando uma das diagonais de C. Assim, perceba que todas as diagonais foram contadas duas vezes, por isso a fórmula geral do número de diagonais é:
Quantas diagonais tem um polígono com 6 lados?
Polígonos regulares
Polígonos equiângulos
São os polígonos que possuem os ângulos internos congruentes.[br]Exemplos de polígonos equiângulos são o triângulo equilátero, o quadrado e o retângulo.
Polígonos equiláteros
São os polígonos que possuem todos os lados congruentes.[br]Exemplos de polígonos equiláteros são o triângulo equilátero, o quadrado e o losango.
Polígonos regulares
São polígonos regulares os polígonos que são simultaneamente equiláteros e equiângulos.[br]Dos exemplos anteriores, temos o triângulo equilátero e o quadrado.[br]Mas é possível fazer um polígono regular com qualquer quantidade de lados a partir de 3 lados.[br]
Utilize a ferramenta polígono regular para construir um polígono.
Ângulos internos e externos de um polígono regular
Assim como ocorre com os ângulos internos, os ângulos externos de um polígono regular são sempre congruentes, o que faz com que seja especialmente simples calcular suas medidas.[br]Lembre que a soma dos ângulos externos de qualquer polígono é sempre 360°. Como nos polígonos regulares os ângulos são sempre congruentes, basta dividir 360° pela quantidade de ângulos (vértices ou lados) para saber a medida de cada ângulo externo.[br]Para saber a medida de um ângulo interno, podemos calcular primeiro o ângulo externo, e o seu suplementar será a medida de um ângulo interno.[br]Para saber a soma geral, basta multiplicar esse valor pela quantidade de ângulos. É claro que a fórmula geral também funciona.
Exemplo resolvido
[i]Determine a medida do ângulo externo, do ângulo interno e da soma dos ângulos internos de um dodecágono regular.[br][br][/i][color=#0000ff]Resposta:[br]Um dodecágono tem 12 lados, 12 vértices e 12 ângulos.[br]Assim, a medida do ângulo externo será:[/color][color=#0000ff][math]\frac{360°}{12}=30°[/math][br]A medida do ângulo interno será o suplementar de 30°, ou seja, o que falta para 180°.[br]Logo, cada ângulo interno terá:[br][/color][math]180°-30°=150°[/math][color=#0000ff][br]Por fim, a soma de todos eles será:[/color][br][math]12\cdot150°=1800°[/math]