Thema: Trigonometrische Funktionen[br]Mathematik an Gymnasien in Baden Württemberg, 9./10. Klasse[br]Dauer: 90 Minuten (eine Doppelstunde)[br]Spezielle Materialien: Computer mit Geogebra-Zugang

Im Bildungsplan kommt der erste Kontaktpunkt der SuS mit den trigonometrischen Funktionen in der 9. Klasse, zu Beginn befinden sich die Themen dabei in der Leitidee [b]Raum und Form, [/b]mit dem Themenbereich [i]Trigonometrie an rechtwinkligen Dreiecken[/i].[br]Noch in der 9. Klasse findet der Wechsel des Blickpunktes zur Leitidee des [b]Funktionalen Zusammenhangs[/b] statt, indem in das Thema [i]Trigonometrie am Einheitskreis[/i] eingeführt, sowie das [i]Modellieren von periodischen Vorgängen [/i]behandelt wird.[br]In der 10. Klasse bleiben die SuS in der Leitidee Funktionaler Zusammenhang und beschäftigen sich mit den [i]Trigonometrischen Funktionen[/i], sowie des Strecken/Stauchen und Verschiebens dieser.

Die SuS lernen die trigonometrischen Funktionen zunächst als verschiedene [i]Seitenverhältnisse [/i]in rechtwinkligen Dreiecken kennen, wodurch das Berechnen verschiedener Größen in (rechtwinkligen) Dreiecken, für welche der Satz des Pythagoras, die Strahlensätze, etc. schon bekannt sind, erweitert wird. Durch deren Umkehrfunktionen wird außerdem auch die Berechnung von Winkelgrößen aus verschiedenen Seitenlängen möglich.[br]Eine wichtige Observation ist hierbei, dass der Wert der trigonometrischen Funktionen, trotz dass sie (zu dem Zeitpunkt) über die Seitenlängen definiert sind, nur von dem betrachteten Winkel abhängt.

Die Definition der trigonometrischen Funktionen, welche die SuS bisher kennengelernt haben, machen nur Sinn für Winkel im offenen Intervall (0°,90°), da wir hier nur Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck betrachten und mit Winkeln >90° lässt sich kein rechtwinkliges Dreieck konstruieren.[br]Die Trigonometrie am Einheitskreis ist ein Versuch den Übergang von [i]Raum und Form[/i] zu [i]Funktionaler Zusammenhang[/i] zu vereinfachen.[br]Idee:[br][list][*]Konstruiere Kreis mit Radius 1 um den Ursprung[/*][*]Konstruiere ein Dreieck mit Hypotenuse = Radius und eine Kathete sei x-Achse[/*][*]Der Punkt auf dem Einheitskreis, an dem die Hypotenuse auf die Kreislinie trifft hat die Koordinaten P(sin([math]\alpha[/math])|cos([math]\alpha[/math])) mit [math]\alpha[/math] als Winkel zwischen x-Achse im 1. Quadranten und der Hypotenuse[/*][/list]Wenn man sich nun diese Werte, auf der Länge der x-Achse, einzeichnen lässt, so ergibt sich der Graph der Sinus und der Kosinus-Funktion.[br]Ein Geogebra-Applet mit einem Einheitskreis, bei dem sich eine Periode dieser Funktionen einzeichnen lässt, befindet sich hierauf folgend:

Nun da wir eine Definition der trigonometrischen Funktionen und Graphen zu diesen gefunden haben, welche sich der gesamten rationalen Zahlen als Definitionsmenge bedienen, können wir uns fragen, wie diese aussehen und sich verändern lassen.[br]Der größte Unterschied zwischen den Graphen der trigonometrischen Funktionen und den zuvor von den SuS erlernten Funktionen ist deren Periodizität.[br]Die Standartform der Sinus-Funktion ist [i]f(x) = a*sin(b*(x-c))+d[/i]. Hierbei funktionieren die Parameter [i]a, c, d[/i] wie schon von z.B. bei quadratischen Funktionen bekannt jeweils als Streckung in y-Richtung, Verschiebung in x-Richtung und Verschiebung in y-Richtung, jedoch haben [i]a[/i] und [i]d[/i] dabei noch weitere Funktionen. Da die Trig. Funktionen Schwingungen um eine Achse sind beschreibt der Parameter [i]d[/i] die Achse um die diese schwingen, während |[i]a[/i]| den Ausschlag dieser Schwingung, auch bekannt als Amplitude, angibt.[br]Übrig bleibt somit noch der Parameter [i]b[/i], welcher durch die Periodizität dieser Funktionen neu dazukommt und eine Streckung in x-Richtung um den Faktor [math]\frac{1}{b}[/math] bewirkt. Weiterhin ist die Periodendauer, welches die kleinste Konstante k ist, für die gilt f(x) = f(x+k) für alle x, bestimmt durch [math]\frac{2\pi}{b}[/math] und somit ist die Periodendauer für die Funktion f(x) = sin(x) gleich 2[math]\pi[/math].

Jeder kennt Aussprüche wie "Errare humanum est"/"Irren ist menschlich" oder auch "Aus Fehlern lernt man", doch kann man tatsächlich aus Fehlern lernen und wenn ja, was?[br][br]1. Was sind Fehler?[br][list][*]Es gibt verschiedene Arten von Fehlern, welche unterschiedlich behandelt und erkannt werden müssen.[/*][*]Flüchtigkeitsfehler sind nervig und passieren jedem, aus ihnen kann auch nichts gelernt werden, da alles Wissen über das Thema schon vorhanden ist und nur einmalig falsch gehandelt wurde[/*][*]Syntaktische Fehler sind Fehler in der Ausführung[/*][*]Semantische Fehler sind Fehler im Verständnis[/*][*]Semantische Fehler wirken sich oft in syntaktischen Fehlern aus und werden oft erstmals als solche erkannt.[/*][/list][br]2. Fehler erkennen[br]Fehler müssen erst erkannt werden, bevor man etwas aus ihnen lernen kann, da ein nicht erkannter Fehler nicht verbessert werden kann und somit eher dazu führt das falsche Verhalten zu vertiefen als aus dem falschen Verhalten etwas nützliches zu lernen.[br]Wenn ein Flüchtigkeitsfehler erkannt wurde so kann er von der Person die sie gemacht hat selbst verbessert werden und ist somit erledigt.[br][br]3. Fehler erklären[br]Wenn Schüler erklären können und müssen, warum sie diesen Fehler gemacht haben bzw. was sie sich bei einer falschen Rechnung gedacht haben, so kann festgestellt werden, wo das falsche Verständnis liegt und erklären, wo der Fehler lag.[br][br]4. Fehler verbessern[br]Nur durch das Verbessern der falschen Eindrücke der SuS kann auch das Verständnis darüber, wie das Problem tatsächlich gelöst werden kann, geschaffen werden.[br][br]5. "Irren ist Menschlich"[br]Nur, wenn Fehler zu machen von SuS als natürlich und menschlich angesehen und akzeptiert wird kann sich eine Umgebung entwickeln in der sie bereit sind Fehler zu riskieren und somit aus diesen zu lernen. Wenn jedoch Fehler als etwas schlechtes oder unter allen Umständen zu vermeidendes verstanden wird, so kann sich eine Situation entwickeln bei der SuS sich entweder gar nicht mehr trauen sich zu äußern oder zwar Fehler machen aus diesen aber nichts mehr lernen. Folglich ist eine vollständige Aufarbeitung aller Fehler mit einem Verständnis dafür das Fehler von SuS normal sind unbedingt notwendig um eine gesunde Fehlerkultur zu schaffen und aus diesen zu lernen.[br][br]6. Was kann man aus Fehlern lernen?[br]Sogenanntes negatives Wissen ist das Wissen darüber, wie etwas [i]nicht [/i]gemacht wird und ist das Wissen, das im allgemeinen am ehesten beim Lernen aus Fehlern im Gedächtnis bleibt (dies kann schon nach dem Schritt Nr. 3 geschehen). Negatives Wissen kann auch sehr hilfreich sein, da es die Möglichkeiten, der möglichen richtigen Antworten bzw. Taktiken um ein Problem zu lösen einschränken kann, gegebenenfalls sogar bis nur noch dir richtige Lösung übrig bleibt.