El [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Pant%C3%B3grafo]pantógrafo[/url] es una herramienta de dibujo que permite copiar dibujos a escala, de forma manual.[br]Para ello, se basa en las propiedades de los paralelogramos y en el teorema de Thales.[br][br]En el siguiente applet podemos ver una simulación donde se indica cuál es la escala a la que se hace la homotecia. Tras practicar con el applet, nuestro objetivo será demostrar matemáticamente que, efectivamente, funciona aumentando la escala del dibujo.[br]Un extremo (P) del pantógrafo estará fijo, otro (D) se utilizará para recorrer el contorno del dibujo, y otro (E) irá haciendo el dibujo ampliado.
Para construir el pantógrafo, como se muestra en el applet[br][list][*]unimos 4 varillas (segmentos) mediante bisagras, en los puntos A, B, C y D.[/*][*]debe cumplirse que AB=CD y AD=BC. Además, P, D y E estarán alineados, de tal manera que el objeto resultante es una figura plana y ABCD es un cuadrilátero.[/*][/list]Funcionamiento:[br][list][*]El punto P se mantiene fijo a la superficie de dibujo, mientras que el punto D puede moverse D libremente por ella.[/*][*]Las longitudes fijas de los segmentos harán que los ángulos entre ellos varíen, y el punto E se sitúe en otra posición, y las articulaciones ABCD vuelvan a formar un cuadrilátero en sus nuevas posiciones.[/*][*]Así, mientras el punto D va trazando una figura, que suele ser un dibujo a escala inicial, el punto E irá trazando otra, que es el mismo dibujo, realizado a escala.[/*][*]Los puntos articulación A, B y C sirven para el movimiento del pantógrafo y como apoyo para aportar estabilidad (por ello suele utilizarse apoyado en la mesa, aunque el applet permite cambiar su inclinación).[br][/*][*]El applet nos muestra que la nueva figura es una homotecia de la primera. La escala/razón de homotecia depende de las longitudes de las varillas.[/*][/list](*) Podemos girar la vista 3D arrastrando con el botón derecho o con dos dedos en el móvil/tablet.
A la vista del applet, parece que ABCD no solamente es un cuadrilátero, sino que tenemos más propiedades. Vamos a justificar de la forma matemática más precisa las siguientes afirmaciones. [br](*) Si no consigues justificar alguno de los puntos, puedes darlo por conocido y utilizarlo para probar el siguiente:[br][list=1][*]ABCD es un paralelogramo.[br](*) Pista: conocemos que los lados opuestos miden igual. ¿Qué más hace falta para que sea un paralelogramo? [br]Intenta justificar que se cumple, a partir de esta condición sobre las medidas.[br][/*][*]AD es paralelo a BE.[/*][*]Los triángulos PAD y PEB son semejantes.[/*][*]Justifica, como consecuencia, que la figura trazada por E es una homotecia de la trazada por D. [br](*) Pista: dado que las longitudes de las varillas son fijas, la razón entre las longitudes de PE y PD es la misma que entre PB y PA, por lo que no dependerá de la posición de D.[/*][*]Indica cuáles son los elementos de la homotecia que aplica el pantógrafo (es decir, su centro y su razón). Puedes utilizar los puntos anteriores, y los datos que hay junto la visualización 3D del applet.[/*][*]La longitud del segmento DA no influye en la homotecia, así que, ¿en qué afecta a nuestro pantógrafo?[br](*) Ojo que el comportamiento del applet puede llevarnos a engaño si modificamos el valor de DA, precisamente por la característica del pantógrafo que se estaría modificando. Hay que prestar mucha atención y, quizás se ve más claro si visualizamos la relación de los ejes con la zona de dibujo.[/*][/list]
A partir de la modelización anterior, podemos plantearnos otras cuestiones:[br][list=1][*]El proceso descrito sirve para ampliar dibujos. ¿Cómo podríamos usar esta misma herramientas [b]para reducir[/b]? Por ejemplo, ¿qué configuración habría que poner para una reducción 3:1, y dónde situaríamos el extremo que dibuja y el que copia?[br][/*][*]Supongamos que PA=8 y AB=24. [br][list][*]Si D recorre una circunferencia de radio 5, ¿qué figura trazará E?[/*][*]Si D recorre un triángulo rectángulo de hipotenusa con longitud 3, [br]¿qué figura trazará E? [br]¿qué relación habrá entre la posición de los lados del triángulo y los de la figura resultante?[br][/*][/list][/*][*]Al utilizar el pantógrafo, que es una figura plana, en un ambiente tridimensional, podemos elegir qué [b]angulo de inclinación[/b] daremos sobre el plano de dibujo (generalmente será 0, para poder usar los puntos de apoyo). En el applet se puede modificar moviendo el punto que hay junto la casilla [i]Plano[/i] (casilla que sirve para mostrar el plano que contiene nuestra herramienta).[br]Justifica el hecho de que la inclinación [b]no influye[/b] en el resultado del dibujo.[/*][*]Indica cómo harías para definir un plano como el del applet; que tenga [br]siempre la inclinación indicada. Para definir un plano, indicamos tres puntos no alineados que pertenezcan a él. Dos de ellos serían P y D, ¿cómo encontraríamos el otro?[br][/*][/list]
En el applet hemos visto una recreación tridimensional en la que nuestro instrumento se coloca siempre perpendicular al papel (marcar la casilla [i]plano [/i]si no visualizamos bien ese comportamiento).[br][br]Igualmente, hemos calculado la zona en la que podemos colocar la figura inicial, para que podamos dibujarla mediante nuestro aparato.[br][br]Indica cómo harías para calcular todos los elementos que intervienen en el pantógrafo, teniendo en cuenta:[br][list][*]Debe ser a partir de las longitudes de los segmentos que se introducen en el applet (PA, BA y DA).[/*][*]El applet anterior nos servirá de guía para pensar cómo programar los elementos. [br][/*][*]Es imprescindible usar vocabulario y herramientas matemáticas (circunferencia, recta, intersección...)[/*][*]Para comprobar que nuestra descripción es suficientemente completa, haremos nuestra propia construcción tridimensional del pantógrafo con GeoGebra, la subiremos a la web de GeoGebra y pondremos aquí el [b]enlace[/b].[br][/*][*]Nota: hay que especificar que el punto D no debe salirse de la zona en que podemos dibujar, que tendremos que describir previamente con vocabulario matemático.[/*][*]En GeoGebra se puede hacer mediante el comando [url=https://wiki.geogebra.org/es/Comando_PuntoEn]PuntoEn( )[/url].[br][/*][/list]
Es el momento de crear físicamente nuestro propio pantógrafo y después comprobar su funcionamiento copiando una figura a escala.[br]Se trata de unir unas varillas, que pueden unos palos de madera (como los de los helados), y que permitan modificar las longitudes correspondientes. Para ello, [br][br]Podemos imprimir un modelo 3D. Podríamos crear las piezas directamente con GeoGebra, o bien usar alguno de los que hay ya en internet, como los que podemos [url=https://www.thingiverse.com/search?q=pantograph&page=1&type=things&sort=relevant]encontrar en thingiverse[/url].[br][br]Otra opción es crear el nuestro con palos de madera, o bien con piezas tipo lego, como se hace en [url=https://youtu.be/WHxI7zA2wEk]este vídeo[/url].[br][list][*]lo más cómodo es permitir solamente una cantidad fija de longitudes, haciendo agujeros en los lugares adecuados.[/*][*]podemos utilizar un cierre de mariposa para unir los palos, y que permita que giren.[/*][*]como el pantógrafo resultará grande, es mejor usarlo tumbado (ángulo 0).[/*][*]Para sujetar la punta que dibuja, se puede pegar una goma o similar, que la sujete.[/*][*]A la hora de trazar el dibujo, es más exacto si sujetamos la punta que dibuja, pero mirando que la que va trazando el dibujo copiado (punto D) vaya recorriendo su contorno.[br][/*][/list]