Se um segmento de reta e um ângulo são dados, construa o arco capaz.

Definição: Arco Capaz é o lugar geométrico dos ponto que visualizam um segmento [math]\overline{AB}[/math] num dado ângulo [math]\alpha[/math].[br][br][br]1. Seja o segmento [math]\overline{AB}[/math] e o ângulo [math]C\widehat{D}E=\alpha[/math].[br][br]2. Use o compasso para transportar o ângulo [math]\alpha[/math] para baixo do segmento [math]\overline{AB}[/math], definindo o ponto [math]G[/math] de modo que [math]C\widehat{D}E=B\widehat{A}G=\alpha[/math].[br][br]3. Trace a mediatriz de [math]\overline{AB}[/math] e chame de reta [math]t[/math].[br][br]4. Levante a perpendicular [math]m[/math] ao segmento [math]\overline{AG}[/math].[br][br]5. Marque [math]O[/math] o ponto de interseção de [math]m[/math] e [math]t[/math].[br][br]6. Com o compasso centrado em [math]O[/math], trace o arco capaz, centrado em [math]O[/math], do ponto [math]A[/math] até [math]B[/math].[br][list][*]No appet abaixo, utilizamos a ferramenta Arco Circular[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circlearc3.png[/icon][/*][/list][br]7. Sobre o arco capaz, defina um ponto qualquer [math]H[/math] e verifique que [math]A\widehat{H}B=\alpha[/math].

Ao transferir o ângulo [math]\alpha[/math] para o segmento [math]\overline{AB}[/math] e construir a reta [math]m[/math] perpendicular a [math]\overline{AB}[/math] passando por [math]A[/math], temos as seguintes medidas de ângulos:[br][br][center][math]G\widehat{A}F=\alpha[/math][br][math]B\widehat{A}O=90º-\alpha[/math][/center][br]Ao analisar o triângulo [math]\Delta ABO[/math] temos que, por serem raios de um mesmo círculo, [math]\overline{AO}=\overline{BO}[/math], fazendo [math]\Delta ABO[/math] isósceles e, assim:[br][br][center][math]B\widehat{A}O=A\widehat{B}O=90º-\alpha[/math][/center][br]Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo resulta em [math]180º[/math], temos que:[br][br][center][math]A\widehat{B}O+A\widehat{O}B+B\widehat{A}O=180º[/math][br][math](90º-\alpha)+A\widehat{O}B+(90º-\alpha)=180º[/math][br][math]90º-\alpha+A\widehat{O}B+90º-\alpha=180º[/math][br][math]180º-2\alpha+A\widehat{O}B=180º[/math][br][math]-2\alpha+A\widehat{O}B=0[/math][br][math]A\widehat{O}B=2\alpha[/math][br][math]\beta=2\alpha[/math][/center][br]Como já sabemos, um ângulo inscrito é metade de um ângulo central que subtende o mesmo arco, por esse motivo sabemos que, independente da posição do ponto [math]H[/math] no arco capaz, temos:[br][br][center][br][math]\frac{A\widehat{O}B}{2}=A\widehat{H}B[/math][br][br][math]\frac{\beta}{2}=A\widehat{H}B[/math][br][br][math]\frac{2\alpha}{2}=A\widehat{H}B[/math][br][br][math]\alpha=A\widehat{H}B[/math][br][/center][br]