Dos rectas en un plano pueden tener dos posiciones relativas: Son rectas paralelas o son rectas secantes. [br][br]Un caso particular de rectas paralelas son las rectas coincidentes mientras que un caso particular de rectas secantes son las rectas perpendiculares.[br][br][b]Ángulos formados entre dos rectas secantes[br][br][/b]Dos rectas son secantes cuando se intersecan o se cruzan en un solo punto.[br][br]Cuando dos rectas o segmentos de rectas se intersecan en un punto, se forman 4 ángulos: [math]\alpha[/math], [math]\beta[/math], [math]\epsilon[/math] y [math]\delta[/math] como se muestra en el applet que sigue..[br][br]Cada uno de los cuatro ángulos es suplementario con cualquiera de los dos consecutivos a él: [br] [math]\alpha[/math] es suplementario con [math]\beta[/math] y con [math]\delta[/math]: [math]\alpha+\beta=180°[/math] y [math]\alpha+\delta=180°[/math][br] [math]\beta[/math] es suplementario con [math]\alpha[/math] y con [math]\epsilon[/math]: [math]\beta+\alpha=180°[/math] y [math]\beta+\epsilon=180°[/math][br] [math]\epsilon[/math] es suplementario con [math]\beta[/math] y con [math]\delta[/math]: [math]\epsilon+\beta=180°[/math] y [math]\epsilon+\delta=180°[/math][br] [math]\delta[/math] es suplementario con [math]\epsilon[/math] y con [math]\alpha[/math]: [math]\delta+\epsilon=180°[/math] y [math]\delta+\alpha=180°[/math][br][br]Si se conoce la medida de uno de los 4 ángulos, fácilmente se puede obtener la medida de los otros tres. Téngase en cuenta que los ángulos [math]\alpha[/math] y [math]\epsilon[/math] son ángulos opuestos por el vértice, así como los ángulos [math]\beta[/math] y [math]\delta[/math]. Los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida, es decir, son congruentes.[br][br]Ejemplo: Si [math]\beta=30°[/math] se puede encontrar que:[br] [math]\delta=30°[/math] por ser opuesto por el vértice con [math]\delta[/math].[br] [math]\alpha=180°-30°=150°[/math] por ser suplementario con [math]\beta[/math] y con [math]\delta[/math][br]

[b][math][/math]Ángulo entre dos rectas[br][br]Ángulo entre dos rectas[/b] es el ángulo menor de los 4 que se forman cuando dos rectas o semirectas se cruzan en un punto.[br][br]Para calcular la medida del ángulo entre dos rectas se utiliza la fórmula [math]\theta=tan^{-1}\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_2\cdot m_1}\right|[/math] donde [b]m[/b][sub]1 [/sub]y [b]m[sub]2[/sub][/b] son las pendientes de las dos rectas.[br][br]Analicemos el siguiente ejemplo: Las ecuaciones de dos rectas son,[br][br][b]R[sub]1[/sub][/b]: y = -4x + 3 [math]\Longrightarrow[/math] [b]m[sub]1[/sub][/b] = -4[br][b]R[sub]2[/sub][/b]: y = 2x - 1 [math]\Longrightarrow[/math] [b]m[sub]2[/sub][/b] = 2[br][br] [math]\theta=tan^{-1}\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_2\cdot m_1}\right|[/math] [math]\theta=tan^{-1}\left|\frac{\left(2\right)-\left(-4\right)}{1+\left(2\right)\left(-4\right)}\right|[/math] [math]\theta=tan^{-1}\left|\frac{6}{-7}\right|[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\theta=40.60°[/math][br][br]Una segunda forma de hallar el ángulo entre las dos rectas consiste en calcular el ángulo de inclinación de cada recta y hallar su diferencia, [math]\theta=\left|\theta_2-\theta_1\right|[/math][br][br] [math]\theta_2=tan^{-1}\left(-4\right)[/math] [math]\theta_2=-75.44°[/math] pero el ángulo de inclinación debe ser positivo:[br] [math]\theta_2=180°-75.44°[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\theta_2=104.04°[/math][br][br] [math]\theta_2=tan^{-1}\left(2\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\theta_2=63.44°[/math] [br][br]Por lo tanto, [math]\theta=\left|63.44°-104.04°\right|=40.60°[/math] [br]

[b] Rectas paralelas y rectas secantes[br][br][/b]En los dos applets siguientes se puede comprobar que:[br][br]1. [b]Dos rectas son paralelas[/b] cuando tienen igual pendiente, [math]m_2=m_1[/math] . Esto significa que las dos rectas tienen igual ángulo de inclinación, [math]\theta_2=\theta_1[/math]. También se tiene que si dos rectas tienen igual ángulo de inclinación, entonces, las dos rectas son paralelas. Dos rectas son[b] paralelas[/b] cuando no tienen ningún punto en común[br][br]Ejemplo:[br] [math]R_1:y=\left(\frac{4}{5}\right)+3[/math] [math]m_1=\frac{4}{5}[/math] [math]\theta_1=38.63°[/math][br] [math]R_2:y=\left(\frac{4}{5}\right)-1[/math] [math]m_2=\frac{4}{5}[/math] [math]\theta_2=38.63°[/math][br][br]2. [b]Dos rectas son secantes[/b] cuando sus pendientes son diferentes, [math]m_2\ne m_1[/math] , es decir, que tienen diferente ángulo de inclinación. [br][br]Dos rectas secantes tienen un sólo punto en común y corresponde a la solución del sistema lineal 2 x 2 (dos ecuaciones lineales con dos variables). [br][br]3. [b]Dos rectas son coincidentes [/b]cuando todos los puntos son comunes a las dos. Esto sucede cuando las dos rectas tienen igual ecuación normal o igual ecuación simétrica o también, cuando los coeficientes de las ecuaciones generales son proporcionales, [math]\frac{A_2}{A_1}=\frac{B_2}{B_1}=\frac{C_2}{C_1}=k[/math][br][br]Ejemplo de rectas coincidentes definidas por la ecuación general:[br] [math]R_1:3x-2y+4=0[/math] [math]R_2:6x-4y+8=0[/math] [math]\frac{6}{3}=\frac{-4}{-2}=\frac{8}{4}=2[/math][br]La ecuación normal de las dos rectas es una sola: [math]y=\frac{3}{2}x+2[/math][br][br]4. [b]Dos rectas son perpendiculares[/b] cuando el producto de sus pendientes es igual a [b]-1[/b], [math]m_1\cdot m_2=-1[/math]. Rectas perpendiculares son rectas secantes que se intersecan formando 4 ángulos rectos. [br][br]De la fórmula [math]m_1\cdot m_2=-1[/math] se deduce que, [math]m_2=-\frac{1}{m_1}[/math] y [math]m_1=-\frac{1}{m_2}[/math]: la pendiente de la primera equivale al opuesto (inverso aditivo) del recíproco (inverso multiplicativo) de la pendiente de la segunda.[br][br]Ejemplo: La recta [b]R[sub]1[/sub][/b] tiene por ecuación [math]y=-5x-3[/math]. Por lo tanto, la pendiente de una recta perpendicular a [b]R[sub]1[/sub][/b] es [math]m_2=-\frac{1}{-5}=\frac{1}{5}[/math] . Para obtener la ecuación de esa perpendicular se debe dar otro punto pero todas las perpendiculares a esta [b]R[sub]1[/sub][/b] tendrán una ecuación de la forma [math]y=\frac{1}{5}x+b[/math] .

Se tiene la ecuación general de 6 rectas:[br] [br] [math]R_1:2x-3y-3=0[/math] [math]R_2:2x+3y+1=0[/math] [math]R_3:3x+2y-2=0[/math] [br] [math]R_4:2x-3y+12=0[/math] [math]R_5:9x+6y-6=0[/math] [math]R_6:4x-5y+10=0[/math][br][br]Calcular:[br][br]1. Pendiente y ángulo de inclinación de cada recta.[br][br]2. Ángulo entre cada dos rectas y determinar la posición relativa para cada pareja de rectas. [br][br]

[b]Otro applet de rectas paralelas y perpendiculares[/b]