[justify]La Geometría elemental se ocupa de estudiar propiedades de figuras y cuerpos en el plano y en el espacio. Para poder abarcar el estudio de estas propiedades puede hacerse una clasificación según diferentes enfoques. Tradicionalmente éstos tomaban en cuenta el método utilizado para construir o demostrar las diferentes propiedades. Hablamos así de [i]geometría sintética [/i]cuando utilizamos un método axiomático donde, a partir de un conjunto de axiomas o postulados, deducimos por razonamientos lógicos los teoremas, con herramientas fundamentalmente geométricas, de alguna manera independientemente del álgebra y de la noción de continuidad en conjuntos numéricos. Hablamos de [i]geometría analítica [/i]cuando, basados en la noción de coordenadas, usamos técnicas algebraicas; este tratamiento de alguna manera unificó la geometría, el análisis y el álgebra, produciendo cambios profundos en la matemática.[br][br]Es por ello que, el primer esfuerzo sistemático para usar las transformaciones como la base de la geometría fue realizado por Felix Klein en el siglo XIX, bajo el nombre de Programa de Erlangen. Durante casi un siglo, este enfoque se limitó a los círculos de investigación matemática. En el siglo XX se hicieron esfuerzos para explotarlo como base de la educación matemática. Andréi Kolmogórov incluyó este enfoque (junto con la teoría de conjuntos) como parte de una propuesta para la reforma de la enseñanza de la geometría en Rusia. Estos esfuerzos culminaron en la década de 1960 con la reforma general de la enseñanza de las matemáticas conocida como el movimiento de la matemática moderna.[/justify]Fuentes: [br]- Guisin, L. Transformaciones geométricas. [i]Revista de Educación Matemática[/i], [i]15[/i](3).[br]- Geometría de las transformaciones. (2019, 12 de septiembre). [i]Wikipedia, La enciclopedia libre[/i]. Fecha de consulta: 07:25, octubre 15, 2019 desde: [size=85][url=https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa_de_las_transformaciones&oldid=119255009]https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa_de_las_transformaciones&oldid=119255009[/url].[/size][br]

[i][b]Definición.- [/b]La transformación definida por:[/i][i][b][math]T[/math][/b][center][br][math]T:T\left(P\right)=P+a[/math][/center][/i][i]donde[/i] [math]a=\left(a_1,a_2\right)[/math] [i]es un vector dado, se llama[/i] [i][b]traslación[/b].[br]En lugar de la ecuación vectorial anterior podemos describir [/i][math]T[/math] [i]por las ecuaciones componentes: [/i][math]\left(T\left(x,y\right)=\left(x',y'\right)\right)[/math][br][center][math]T:\begin{matrix}x'=x+a_1\\y'=y+a_2\end{matrix}[/math][/center]Fuente: Hasser, N. B., La Salle, J., & Sullivan, J. (2009). Análisis matemático Vol. 1. [i]Editorial Trillas[/i].

[justify]La experiencia geométrica nos induce a creer que las únicas transformaciones rígidas son las traslaciones, las rotaciones, las reflexiones o alguna combinación de estas tres. Ahora se desea demostrar que esto no es cierto, para ello comenzaremos a estudiar las transformaciones rígidas que no mueven el origen. Estas se llaman [i]transformaciones ortogonales.[br][br][/i][i][b]Definición.- [/b]Una transformación rígida [math]T[/math][/i] [i]que deja el origen fijo -es decir,[/i] [math]T\left(O\right)=O[/math][i]- se llama [b]transformación ortogonal[/b].[/i][br] [br]Las rotaciones alrededor del origen y las reflexiones respecto a una recta que pasa por el origen, son transformaciones ortogonales. El siguiente teorema muestra que toda transformación rígida puede efectuarse aplicando primero una transformación ortogonal al plano y después una traslación[/justify][i][b]Teorema.- [/b]Si [math]T[/math][/i] [i]es una transformación rígida, entonces[/i] [math]T=S\circ U[/math][i], donde[/i] [math]S[/math] [i]es una traslación y[/i] [math]U[/math] [i]una transformación ortogonal, y esta descomposición de[/i] [math]T[/math] [i]es única. [br][br][/i][i][b]Teorema.- [/b]El producto escalar es invariante bajo las transformaciones ortogonales (es decir, si [math]U[/math] es una transformación ortogonal, entonces [math]U\left(a\right)\bullet U\left(b\right)=a\bullet b[/math][/i]).[br][br][i][b]Corolario.- [/b]La ortogonalidad de los vectores es invariante bajo las transformaciones ortogonales.[br][br]Fuente: Hasser, N. B., La Salle, J., & Sullivan, J. (2009). Análisis matemático Vol. 1. [i]Editorial Trillas[/i].[/i]