Quadratische Funktionen
Hier finden Sie das Wichtigste zu quadratischen Funktionen aus der Mittelstufe (bzw. aus dem Vorkurs)
Table of Contents
- Die Normalparabel
- Die Normalparabel
- Lage und Formänderung der Normalparabel
- Form- und Lageänderung der Normalparabel
- Die Scheitelpunktform
- Scheitelpunktform
- Die Normalform
- Die Normalform
- Nullstellen und die faktorisierte Form
- Nullstellen und faktorisierte Form
- Bestimmung quadratischer Funktionen
- Schnittprobleme
- Extremwertaufgaben
Die Normalparabel
In diesem Kapitel betrachten wir die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = x[sup]2[/sup]. Füllen Sie die folgende Wertetabelle aus. Immer wenn Sie einen richtigen Wert eingeben, erscheint der entsprechende Punkt im Koordinatensystem.
Der Graph heißt [color=#ff0000]Normalparabel[/color]. Der Punkt (0|0) heißt [color=#ff0000]Scheitelpunkt[/color] der Normalparabel. Die Normalparabel ist [color=#ff0000]symmetrisch zur y-Achse[/color].[br][br][b]Aufgabe:[/b] Begründen Sie anhand der obigen Wertetabelle, warum der Graph symmetrisch zur [br] y-Achse ist.
Form- und Lageänderung der Normalparabel
Die Funktion f(x) = x[sup]2[/sup] ist natürlich nicht die einzige quadratische Funktion, und die Normalparabel ist nicht die einzige Parabel, die es gibt. Beispielsweise ist auch g(x) = 2(x-3)[sup]2[/sup]+4 eine quadratische Funktion mit einer Parabel als Funktionsgraph. Wie unterscheidet sich dieser Graph von der Normalparabel? Welchen Einfluss haben die 2, die -3 und die +4 auf die Gestalt des Graphen? Das soll im Folgenden schrittweise untersucht werden.
Die Funktion f(x) = a·x²
Im folgenden finden Sie eine Wertetabelle. Darin sind die y-Werte für die Normalparabel bereits eingetragen. Auch die Normalparabel ist bereits in das Koordinatensystem eingezeichnet. [br][br]Verwenden Sie die y-Werte der Normalparabel, um sich die richtigen y-Werte der anderen drei Funktionen jeweils zu überlegen. Immer wenn Sie einen Wert richtig eintragen, erscheint der entsprechende Punkt im Koordinatensystem.[br][br]Formulieren Sie dann, wie sich der Faktor a auf die Gestalt der Funktion y = a·x[sup]2[/sup] auswirkt.
Als Ergebnis halten wir fest: Der Faktor a in y = a·x[sup]2[/sup] streckt ([math]|a|>1[/math]) die Parabel und macht sie schmaler, bzw. staucht ([math]|a|<1[/math]) die Parabel und macht sie weiter. Ist a negativ so wird die Parabel zusätzlich an der x-Achse gespiegelt und ist dann nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt hat unverändert die Koordinaten (0|0).
Die Funkion f(x) = x²+ e
Füllen Sie wiederum die Wertetabelle für die beiden Funktionen aus, indem Sie die y-Werte für die Normalparabel verwenden. Formulieren Sie dann, wie sich der Wert von e auf den Verlauf der Parabel auswirkt.
Als Ergebnis halten wir fest: Das e in y = x[sup]2[/sup] + e verändert die Form der Parabel nicht, sondern verschiebt sie nur nach oben (e > o) bzw. nach unten (e < 0). Der Scheitelpunkt liegt deshalb nicht mehr bei (0|0), sondern nun bei (0|e).
Die Funktion f(x) = (x-d)²
Füllen Sie erneut die Wertetabelle aus, indem Sie die gegebenen y-Werte für die Normalparabel verwenden. Formulieren Sie dann, wie der Wert von d sich auf den Verlauf der Parabel auswirkt.
Als Ergebnis halten wir fest: Das d in y = (x-d)[sup]2[/sup] verändert die Form der Parabel nicht, sondern verschiebt sie nur nach rechts oder links. y = (x-1)[sup]2[/sup] ist eine um 1 nach rechts verschobene Normalparabel, und y = (x+2)[sup]2[/sup] ist eine um 2 nach links verschobene Normalparabel. Der Scheitelpunkt liegt nicht mehr bei (0|0), sondern nun bei (d|0)
Scheitelpunktform
Die im vorigen Kapitel besprochenen Veränderungen der Normalparabel können natürlich alle zugleich auftreten. Dann sieht die quadratische Funktion so aus:[br][br] f(x) = a(x - d)[sup]2[/sup] + e[br][br]Es gilt:[br][br][list][*]Die Parabel ist um d nach rechts verschoben.[/*][*]Die Parabel ist um e nach oben verschoben.[/*][*]Also liegt der Scheitelpunkt nun bei S(d|e)[/*][*]Die Parabel ist um den Faktor a gestreckt bzw. gestaucht.[/*][/list][br]Da man in dieser Form den Scheitelpunkt der Parabel direkt ablesen kann, nennt man sie auch [color=#ff0000]Scheitelpunktform[/color].[br][br][b]Beispiel:[/b] y = 2(x-1)[sup]2[/sup] - 5.[br] Die Parabel hat den Scheitelpunkt S(1|-5), und sie ist um den Faktor a=2 gestreckt,[br] und weil a positiv ist, ist sie nach oben geöffnet.[br][br]Man kann die Parabel nun auch ganz leicht zeichnen. Dazu geht man vom Scheitelpunkt aus. Geht man dann eine Einheit zur Seite, müsste man in der Normalparabel 1[sup]2[/sup] = 1 nach oben; hier aber muss man noch mit a=2 multiplizieren, also 2 nach oben, usw.[br][br]Klicken Sie im folgenden Applet auf den Play-Button, um sich das Zeichnen der Parabel zeigen zu lassen. Achten Sie dabei auch darauf, wie man beim Zeichnen die Symmetrie der Parabel ausnutzt: Immer wenn man einen Punkt rechts vom Scheitelpunkt gefunden hat, hat man auch den entsprechenden Punkt links davon.
Auf dem folgenden Arbeitsblatt finden Sie Aufgaben zum Üben.
Die Normalform
Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform ([b]SF[/b]) lässt sich durch Auflösen der Klammer in eine andere Form umschreiben:[br][br][math]f\left(x\right)=3\left(x-2\right)^2+4=3\left(x^2-4x+4\right)+4=3x^2-12x+12+4=3x^2-12x+16[/math][br][br]Nach dem zweiten "=" haben wir die 2. binomische Formel verwendet.[br][br]Im Normalfall werden quadratische Funktionen übrigens nicht in der Scheitelpunktform angegeben, sondern in der Form, wie sie am Ende der obigen Rechnung steht. Deshalb kann man diese Form auch die Normalform ([b]NF[/b]) nennen.
Normalform der quadratischen Funktion
Die [color=#ff0000]Normalform[/color] der quadratischen Funktion hat die Form:[br][br] y = ax[sup]2[/sup] + bx + c[br][br][b]Bemerkungen:[br][br][/b][list][*]Der Faktor a aus der Normalform ist identisch mit dem Streckfaktor a aus der Scheitelpunktform. Um das zu sehen, betrachten Sie noch einmal die obige Rechnung. Es ist kein Zufall, dass der Faktor 3, der zu Beginn vor der Klammer steht, auch im Ergebnis vor dem x[sup]2[/sup] erscheint.[/*][/list][br][list][*]Man kann also am Faktor a erkennen, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist und ob sie nach oben (a>0) oder unten (a<0) geöffnet ist.[/*][/list][br][list][*]Wie bei linearen Funktionen ist der konstante Term c der y-Achsenabschnitt. Dieser lässt sich also nur der Normalform direkt entnehmen, nicht der Scheitelpunktform. Im obigen Beispiel schneidet die Parabel bei y = 16 die y-Achse.[/*][/list]
Von der Normalform (NF) zur Scheitelpunktform (SF): quadratische Ergänzung
Wie man von der SF zur NF gelangt, zeigt uns die obige Rechnung. Umgekehrt muss man sich der quadratischen Ergänzung bedienen. Um diese zu verstehen, starten wir mit einer Vorübung.[br][br]Tragen Sie in der folgenden Tabelle dort, wo links eine 0 steht, jeweils den richtigen Wert so ein, dass sich eine binomische Formel ergibt. [br][br]Tagen Sie dann jeweils auf der rechten Seite dort, wo eine 0 steht, den richtigen Wert samt Rechenzeichen + oder - ein, [color=#ff0000]wobei Sie hier bitte Anführungszeichen verwenden, z.B. "+12" eingeben[/color].
Als Ergebnis halten wir fest: Einen Term wie x[sup]2[/sup] + 12x kann man zu einer binomischen Formel ergänzen, indem man von der 12 die Hälfte nimmt, diese quadriert und dann hinzuaddiert: x[sup]2[/sup] + 12 + 6[sup]2[/sup] = (x+6)[sup]2[br][/sup][br]Dies verwenden wir nun, um eine quadratische Funktion von der Normalform in die Scheitelpunktform umzuformen:[br][br][b]Beispiel:[/b] [br][br] f(x) = 4x[sup]2[/sup] - 24x + 10 ([b]NF[/b]) | Faktor a aus den ersten beiden Termen ausklammern[br] = 4(x[sup]2[/sup] - 6x ) + 10 | in der Klammer quadratisch ergänzen[br] = 4(x[sup]2[/sup] - 6x [color=#ff0000]+ 3[sup]2[/sup] - 3[sup]2[/sup][/color] ) + 10 | die ersten drei Terme in der Klammer ergeben eine bin. F. [br] = 4( (x - 3)[sup]2[/sup] - 9 ) + 10 | äußere Klammer ausmultiplizieren[br] = 4(x - 3)[sup]2[/sup] - 36 + 10[br] = 4(x - 3)[sup]2[/sup] - 26 ([b]SF[/b])
Dies ist ein wichtiges Verfahren![br][br][list][*]Wenn f in der NF gegeben ist und man will den Scheitelpunkt von f herausfinden, so formt man f in die SF um, in der man den Scheitelpunkt ja ablesen kann.[/*][/list][br][list][*]Wenn f in NF gegeben ist und man will den Graphen zeichnen, dann kann man sie auch in die SF umformen, weil dann das Zeichnen ganz leicht wird (siehe letztes Kapitel!).[/*][/list]
Aufgaben
1. Schreiben Sie die folgenden quadratischen Funktionen jeweils in die Scheitelpunktform um. [br]2. Geben Sie dann den Scheitelpunkt an. [br]3. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie wieder in die Normalform zurück rechnen. [br]4. Zeichnen Sie jeweils auch den Funktionsgraphen.[br][br]a) f(x) = 2x[sup]2[/sup] + 8x - 1[br]b) f(x) = -3x[sup]2[/sup] + 12x + 5[br]c) f(x) = x[sup]2[/sup] + 12x[br][br]Sie können Ihr Ergebnis überprüfen, indem Sie den Graphen mit Geogebra zeichnen und den Scheitelpunkt ablesen.
Nullstellen und faktorisierte Form
Die Nullstellen einer Funktion sind die Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse. Diese Punkte haben die y-Koordinate Null, und daher der Name. Die Nullstellen quadratischer Funktionen berechnet man - wie bei jeder anderen Funktion auch -, indem man den Funktionsterm gleich null setzt.