[size=150][justify]Em uma [url=https://www.geogebra.org/m/w7bw63hv]atividade anterior[/url] vimos que aquelas equações reduzidas que representam retas no plano, quando consideradas no espaço, representam equações de planos perpendiculares ao plano coordenado associado às variáveis envolvidas pela equação. Assim, por exemplo, a equação [i]y = -2z + 3 [/i]representa um plano perpendicular ao plano yOz.[/justify][/size]
[size=150][justify]No espaço, a equação da reta pode assumir várias formas: vetorial, paramétrica, simétrica ou reduzida. Uma das formas de interpretar uma reta no espaço é como a solução de um sistema linear com duas equações nas incógnitas [i]x[/i], [i]y[/i] e [i]z[/i]. Quando estas duas equações aparecem na forma reduzida (duas das incógnitas dadas em função da terceira), temos as equações reduzidas da reta no espaço.[br]Outra forma de interpretar as equações reduzidas é como se fossem as [url=https://www.geogebra.org/m/msm9fa7b]equações paramétricas[/url] e pensar no parâmetro como sendo essa terceira incógnita. Assim, por exemplo, o sistema que aparece na janela da direita na CONSTRUÇÃO 1 quando esta é reiniciada poderia ser interpretado como:[br][/justify][center][math]\text{\left\{ \begin{eqnarray} x&=&\frac{1}{2}\text{λ}-1\\ y&=&-2\text{λ}+3\\ z&=&\text{λ} \end{eqnarray} \right,[/math][/center]em que λ, que é igual a [i]z,[/i] é o parâmetro.[/size]
[size=150][justify]Uma reta possui mais de um conjunto de equações reduzidas. Na CONSTRUÇÃO 1 você tem as equações dadas em função da variável [i]z[/i], mas é possível encontrar também os sistemas dados em função de [i]x[/i] e de [i]y[/i]. Por exemplo, para encontrar as equações dadas em função de [i]x[/i], basta considerar a equação paramétrica escrita acima e isolar λ na primeira equação e substituir os valores encontrados nas outras duas.[br]Encontre os dois outros sistemas de equações reduzidas para o sistema que aparece na CONSTRUÇÃO 1 e utilize a CONSTRUÇÃO 2 para confirmar que a reta obtida é realmente a mesma. Isso pode ser feito digitando no campo de entrada as 6 equações e confirmando que todos os planos gerados pelas equações encontradas se intersectam na mesma reta. A reta pode ser produzida como a interseção entre os dois planos usando a ferramenta de Interseção de Duas Superfícies [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersectioncurve.png[/icon].[/justify][/size]
[size=150][justify]O sistema de equações dado em função de [i]x[/i] é[br]e[br][math]\text{\left\{ \begin{eqnarray} y&=&-4x-1\\ z&=&2x+2 \end{eqnarray} \right,}[/math][br]e o sistema de equações em função de [i]y[/i] é x=-y/4-1/4 e z=-y/2+3/2 [br][math]\text{\left\{ \begin{eqnarray} x&=&-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\\ z&=&-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\end{eqnarray} \right.}[/math][/justify][/size]
[size=150][justify]Manipule os controles deslizantes na CONSTRUÇÃO 3 e descreva que relação você percebe entre os coeficientes das equações reduzidas da reta e as coordenadas do ponto Z em que a reta intersecta o plano xOy.[/justify][/size]
[size=150][justify]A terceira coordenada, como era de se esperar, já que Z pertence ao plano xOy, é igual a zero. quanto à primeira e à segunda coordenadas, percebe-se que são sempre iguais aos termos independentes (aqueles desacompanhado de incógnitas) da primeira e da segunda equações, respectivamente.[/justify][/size]
[size=150][justify]Na CONSTRUÇÃO 4 são exibidos os pontos X, Y e Z de interseção da reta com os planos coordenados xOz, yOz e xOy, respectivamente, e os três sistemas de equações reduzidas da reta. Já vimos na questão anterior como se relacionam as coordenadas do ponto Z com o terceio sistema de equações. A reta amarela passa pelos pontos A e B, forneça diferentes valores para as coordenadas desses pontos e obtenha diferentes retas, modificando assim as equações. A partir daí, compare as coordenadas dos pontos X e Y com os coeficientes dos dois primeiros sistemas de equações reduzidas e descreva o que você percebeu.[/justify][/size]
[size=150][justify]Nota-se que os termos independentes do primeiro sistema, no qual as incógnitas y e z são dadas em função da incógnita x, fornecem as coordenadas y e z do ponto X, sendo que o termo independente da equação que possui y fornece o valor da ordenada e o da que possui z fornece o valor da cota. Como era de se esperar, a abscissa do ponto X é sempre zero, visto que este ponto pertence ao plano yOz. Com relação ao ponto Y, suas coordenadas estão relacionadas com os termos independentes do segundo sistema de equações de forma análoga a que descrevemos para o ponto X.[/justify][/size]
[size=150][justify]As interseções dos planos produzidos pelas equações reduzidas de uma reta do espaço com os planos coordenados ao qual são perpendiculares produzem novas retas, as quais chamamos de [i]projeções ortogonais [/i]da reta original sobre os planos coordenados. Será que você seria capaz de descobrir as [url=https://www.geogebra.org/m/sgxucuhk]equações segmentárias[/url] dessas projeções a partir das equações reduzidas da reta original? Com o auxílio da CONSTRUÇÃO 5 é possível exibir os planos associados a cada equação simplesmente clicando nas caixas x1, x2, y1, y2, z1 e z2. A interseção destes planos com os planos coordenados (projeção da reta no plano) é automaticamente exibida. Manipule a construção e descreva suas descobertas.[/justify][/size]
[size=150][justify]Observando as seis equações reduzidas percebemos que as equações que relacionam x e y são justamente as equações reduzidas da projeção no plano xOy, logo, seus termos independentes estão associados aos pontos em que essa projeção intersecta os eixos coordenados x e y, sendo o valor da interseção em x dado pela equação em que x está isolado e o valor da interseção em y dado pela equação na qual quem está isolada é a variável y.[br]Tudo se dá de forma análoga para as projeções nos planos xOz e yOz, devendo sempre serem consideradas as equações que envolvem as incógnitas do referido plano coordenado.[/justify][/size]
[size=150][justify]O que ocorre com a reta quando, retornando à CONSTRUÇÃO 1, fazemos a = 0? E se fizermos c = 0? E se fizermos a = c = 0?[/justify][/size]
[size=150][justify]Quando fazemos a = 0, obtemos uma reta paralela ao plano coordenado yOz (ou contida nela caso b seja também igual a zero). Já para c = 0, temos uma reta paralela ao eixo xOz (ou contida nele caso d = 0). Finalmente, se a = c = 0 a reta se torna paralela ao eixo z (ou coincidirá com ele se b e d forem também nulos), o que era esperado, já que, nesse caso, queremos a reta que contém todos os pontos que possuem x e y constantes e z arbitrário.[/justify][/size]