[size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=50][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b]verbessert(31. März. 2023)[size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000][br][/color][/color][/size][/size][/size][/size][/color][/size][/size][/size][/size][/b][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Diese Seite ist auch eine Aktivität des[/color][/color][/size][/size][/size][/size][size=85][size=85][size=50][size=50][/size][/size][/size][/size][/color][/size][/size][/size][/size][b][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][b][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000] [color=#980000][i][b]Geogebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV][color=#0000ff][u][b]Sechseck-Netze[/b][/u][/color][/url][/color][/color][/size][/size][/size][/size][/b][/color][/size][/size][/size][/size][/b][/color][/right][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][br]

[size=85][color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] an [color=#ff7700][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color] und anderen [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitten[/b][/i][/color]:[br][b]W. Blaschke[/b]'s Frage ([b]1938)[/b] nach allen [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netzen[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] und [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] ist eine [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrische[/b][/i][/color] Fragestellung.[br][color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] sind [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] [color=#cc0000][b]spezielle[/b][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color]: [color=#cc0000][b]2[/b][/color] oder [color=#cc0000][b]3[/b][/color] der [color=#cc0000][b]4[/b][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], die [color=#ff7700][i][b]bizirkulare[br]Quartiken[/b][/i][/color] auszeichnen, fallen in [math]\infty[/math] zusammen.[br]In der Aktivität [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/ce9zgxhy][color=#0000ff][u][i][b]Andere 6-Eck-Netze[/b][/i][/u][/color][/url] haben wir für [color=#cc0000][b]2[/b][/color]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] besondere [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] zusammengestellt.[br]Diese Zusammenstellung übertragen wir im obigen Applet auf [color=#ff7700][i][b]Mittelpunkts-Kegelschnitte[/b][/i][/color]. [br]Angestrebt hatten wir, dass die Ergebnisse auch für [color=#ff7700][i][b]Hyperbeln[/b][/i][/color] dargestellt werden: der Scheitel [color=#ff7700][b]s[/b][/color] liegt dann zwischen [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f'[/b][/color].[br]Leider kommt uns dabei eine Besonderheit der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] und von [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] in die Quere: [br][color=#cc0000][b]2[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] besitzen in der Regel [b]2[/b] Schnittpunkte; welcher davon angezeigt wird, hängt von der Lage der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ab.[br]Veränderung der Lage können chaotische Folgen zeitigen. "[color=#9900ff][i][b]6-Ecke[/b][/i][/color]" liegen dann zwar noch vor - sind aber kaum zu erkennen.[br]Die oben entstehenden Bilder lassen sich inhaltlich auf [color=#ff7700][i][b]Hyperbeln[/b][/i][/color] übertragen.[br][color=#cc0000][b]2[/b][/color]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] besitzen [color=#cc0000][b]4[/b][/color] verschiedene [color=#ff0000][i][b]konzyklische[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]; den [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][br]bezeichnen wir als [color=#BF9000][i][b]Hauptachse[/b][/i][/color]. Mit der [/size][size=85][color=#BF9000][i][b]Hauptachse[/b][/i][/color][/size][size=85] besitzen diese [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] [color=#cc0000][b]4[/b][/color] paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonale[/b][/i][/color] [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color].[br]Zu jeder [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] existiert eine Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]. [br]Aus den drei Scharen, die nicht zur [/size][size=85][color=#BF9000][i][b]Hauptachse[/b][/i][/color][/size][size=85] gehören, lassen sich [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] bilden ([url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/kBuDGYqv][b]W. WUNDERLICH[/b] [b]1938[/b] [[b]WUNW[/b]][/url]).[br]Durch jeden Punkt des in Frage kommenden Gebietes außerhalb der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] gehen genau [color=#cc0000][b]2[/b][/color] Kreise aus jeder der [color=#cc0000][b]3 [/b][/color]Scharen,[br]man kann daraus [color=#cc0000][b]2[sup]3[/sup][/b][/color] = [color=#cc0000][b]8[/b][/color] verschiedene [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] bilden.[br]Konstruieren lassen sich diese [color=#9900ff][i][b]Netze[/b][/i][/color] mit Hilfe eines der [color=#00ff00][b][i]Brennpunkte[/i][/b][/color] und den zugehörigen [color=#cc0000][b]3[/b][/color] [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color] der [color=#cc0000][b]3[/b][/color] Scharen.[br][br][color=#ff7700][i][b]Mittelpunkts-Kegelschnitte[/b][/i][/color] besitzen [color=#cc0000][b]2[/b][/color] [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Achse[/b][/i][i][b]n[/b][/i][/color]. In der Grenze gehen die [color=#ff7700][i][b]Quadriken[/b][/i][/color] aus 2-teiligen [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] hervor,[br]wenn [color=#cc0000][b]2[/b][/color] [color=#cc0000][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] in [math]\infty[/math] zusammenfallen. Bei diesem Grenzübergang ([url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/ktzpvmah][color=#0000ff][u][i][b]Kegelschnitte als Limit[/b][/i][/u][/color][/url]) fallen [color=#cc0000][i][b]2[/b][/i][/color] der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] [br]zusammen in den zu den [color=#999999][i][b]Kegelschnitt-Tangenten[/b][/i][/color] gehörenden [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]. [br]Man könnte sagen, dass die [color=#cc0000][i][b]2[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] durch einen [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] außerhalb des [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitts[/b][/i][/color] zu [color=#cc0000][b]2[/b][/color] veschiedenen [color=#BF9000][i][b][br]Symmetrieen[/b][/i][/color] gehören: tatsächlich erzeugen die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color][color=#ff0000][i][b] Kreise[/b][/i][/color] und die [color=#cc0000][b]2[/b][/color] [color=#999999][i][b]Tangentenscharen[/b][/i][/color] [br]ein [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color]: 1. Beispiel oben! (Für [b]2-teilige[/b] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] entstehen in der Regel keine [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color], wenn [color=#cc0000][i][b]2[/b][/i][/color] der Scharen zu derselben [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] gehören!)[br][br][b][i][u][color=#cc0000]Neu ist[/color][/u][/i][/b], das eine der [b][i][color=#cc0000]drei[/color][/i][/b] Scharen ersetzt werden kann durch eine der [b][i][color=#00ff00]Brennkreis[/color][/i][/b]-[b][i][color=#ff0000]Scharen[/color][/i][/b]: [br]Für [b][i][color=#ff7700]Ellipsen[/color][/i][/b] sind das [br][/size][list][*][size=85] entweder die [b][i][color=#ff0000]Brennstrahlen[/color][/i][/b] durch einen der [/size][size=85][color=#00ff00][b][i]Brennpunkte[/i][/b][/color][/size][/*][*][size=85] oder die [b][i][color=#ff0000]konzentrischen Kreise[/color][/i][/b] um einen der [/size][size=85][color=#00ff00][b][i]Brennpunkte[/i][/b][/color][/size][size=85][/size][/*][*][size=85] oder das [b][i][color=#ff0000]elliptische Kreisbüschel[/color][/i][/b] durch die beiden [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b][/size][/*][*][size=85] oder das [b][i][color=#0000ff]orthogonale[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]hyperbolische Kreisbüschel[/color][/i][/b] um die beiden [/size][size=85][b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b][/size][/*][/list][size=85]Voraussetzung ist wieder, dass die 3 Scharen zu verschiedenen [/size][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color][/size][size=85] gehören.[/size]

[size=85][color=#cc0000][u][i][b]Unten:[/b][/i][/u][/color][br]Die [color=#666666][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] einer[color=#ff7700][i][b] Kurve 3. Klasse[/b][/i][/color] erzeugen ein [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] ([url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/kBuDGYqv]Satz von [b]GRAF & SAUER[/b] [[b]GRA_SA[/b]][/url]).[br]Das Produkt eines Kegelschnitts mit einem Punkt ist eine Kurve 3. Klasse: [br]Durch fast jeden [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] außerhalb der [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] gehen genau [color=#cc0000][b]3[/b][/color] der [color=#666666][i][b]Geraden[/b][/i][/color]. [color=#ff7700][b]z[sub]0[/sub][/b][/color] ist ziemlich frei beweglich![/size]