Fonction polynôme du second degré. Découverte 1

Definition
On appelle [b]fonction polynôme du second degré[/b] toute fonction [math]f[/math] définie sur [math]\mathbb{R}[/math] pour laquelle il existe trois réels [math]a,b[/math]et [math]c[/math] avec [math]a\ne0[/math] telle que l'expression de [math]f[/math] est :[center][br] [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] [/center]
Objectif
On se propose d'étudier l'effet des différents coefficients réels [math]a[/math], [math]b[/math] et [math]c[/math] sur la courbe de la fonction [i]f [/i]d'expression [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math]
[size=150][b][color=#38761d][size=200] I. Ordonnée à l'origine[/size][/color][/b][/size]
Ici [i]c [/i]a été fixé égal à 1. [br][list=1][*]Faites varier [i]a[/i] et [i]b. [/i][/*][*]En activant la trace, observer que les courbes passent toutes par un même point. [/*][*]Placer ce point sur le graphique.[/*][/list]
Quelles sont les coordonnées de ce point commun à toutes les courbes lorsque [i]a[/i] et [i]b[/i] varient ?
Avec l'appliquette suivante
[list][*]Choisir des valeurs pour [i]a [/i] et [i] b ;[br][/i][/*][*]Activer la trace ;[/*][*]Faire varier [i]c.[/i][/*][/list]Effacer la trace et recommencer avec d'autres valeurs de [i]a[/i] et [i]b. [/i]Observer.
Décrire le déplacement de la courbe quand [math]c[/math] varie.
Où peut-on lire graphiquement la valeur de c ?
Démonstration
Prouver votre observation par un calcul d'image avec [math]f(x)=ax^2+bx+c[/math]
Attribuer à chaque parabole d'équation y =ax²+bx+c sa valeur de c en déplaçant les attaches rondes des étiquettes
[color=#38761d][b][size=150][size=200] II. Coefficient dominant[/size][/size][/b][/color]
Faire varier a et observer son effet sur la courbe.
Il existe une valeur particulière de [i]a[/i] pour laquelle la courbe n'a pas une forme comme les autres. [br][list=1][*]Quelle est cette valeur de [i]a [/i]?[/*][*]La fonction [i]f[/i] n'est alors plus un polynôme du second degré. De quel type de fonction s'agit-il alors ?[/*][/list]
Définitions
Soit trois réels [math]a,b[/math]et [math]c[/math] avec [math]a\ne0[/math] .On considère la [b]fonction polynôme du second degré[/b] [math]f[/math] définie sur [math]\mathbb{R}[/math] par [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] [br][list][*]Le coefficient [i]a [/i]s'appelle le [b]coefficient dominant[/b] du polynôme [i]f.[/i][/*][*]La courbe représentative de[i] f, [/i]d'équation [math]y=ax^2+bx+c[/math] s'appelle une [b]parabole[/b].[/*][/list][br]
Pour quelles valeurs du coefficient dominant [i]a[/i] le polynôme admet-il un minimum sur [math]\mathbb{R}[/math] ?
Cocher chaque parabole d'équation y =ax²+bx+c dont le coefficient dominant a est strictement POSITIF
Bilan.
Soit trois réels [math]a,b[/math] et [math]c[/math] avec [math]a\ne0[/math] .On considère la [b]fonction polynôme du second degré[/b] [math]f[/math] définie sur [math]\mathbb{R}[/math] par [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] [br]On a vu et on retiendra que :[br][list][*][color=#0000ff]le signe de [i]a,[/i] le coefficient dominant, détermine si la fonction polynôme admet un minimum (lorsque [i]a[/i]<0) ou un maximum sur [b]R[/b] ;[/color][/*][*][color=#0000ff]c correspond à l'ordonnée à l'origine. [/color][br][br]Exercice : Utilisez ces deux informations pour associer à chaque parabole son équation en déplaçant les attaches des étiquettes.[br][/*][/list][br]Exercice : Utilisez ces deux informations pour associer à chaque parabole son équation en déplaçant les attaches des étiquettes.[br]
Faire glisser les petits ronds sur la bonne parabole.
Tracer ci-dessous à main levée avec l'outil croquis [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] une parabole d'équation y=ax²+bx+c avec :[br][b]a>0 et c<0[/b]
Tracer ci-dessous à main levée avec l'outil croquis [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] une parabole d'équation y=ax²+bx+c avec :[br][b]a<0 et c=0[/b]
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