[justify]Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков [math]\text{AB, BC, CD, ..., EF, FA}[/math] так, что смежные отрезки (т. е. отрезки AB и BC, BC и CD,..., FA и AB не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется [b]многоугольником[/b]. Точки A, B, C, ... , F называются [b]вершинами[/b], а отрезки AB, BC, CD, ..., EF, FA [b]сторонами [/b]многоугольника. Сумма длин всех сторон называется [b]периметром [/b]многоугольника.[/justify]

[justify]Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке изображены четырехугольник ABCD и шестиугольник A[sub]1[/sub],A[sub]2[/sub],A[sub]3[/sub],A[sub]4[/sub],A[sub]5[/sub],A[sub]6[/sub]. [/justify]

[justify]Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются [b]соседними[/b]. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется [b]диагональю [/b]многоугольника.[/justify]

[justify]Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая - внешней областью многоугольника.[/justify]

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рассмотрим выпуклый n-угольник, изображенный на рисунке. Углы A[sub]n[/sub]A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub], A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub]A[sub]3[/sub], ..., A[sub]n-1[/sub]А[sub]n[/sub]А[sub]1[/sub], называются [b]углами [/b]этого многоугольника.

[size=100]Найдем сумму углов многоугольника. Для этого соединим диагоналями вершину А[sub]1 [/sub]с другими вершинами. В результате получим [math]n-2[/math] треугольника, сумма углов которых равна сумме углов [i]n[/i]-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника[br]А[sub]1[/sub]А[sub]2[/sub]…A[sub]n[/sub] равна [math]180^{\circ}\left(n-2\right)[/math].[br][br][br][br]Итак, [b]сумма углов выпуклого [i]n[/i]-угольника равна [math]180^{\circ}\left(n-2\right)[/math][/b][b].[/b][/size]

Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Две несмежные стороны четырехугольника называются [b]противоположными[/b]. Две вершины, не являющиеся соседними, также называются [b]противоположными[/b]. Четырехугольники бывают [b]выпуклые[/b] и [b]невыпуклые[/b].

Каждая диагональ выпуклого четырехугольника разделяет его на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырехугольника также разделяет его на два треугольника.

[justify]363. Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведенные диагонали каждый многоугольник?[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/pw3k7qa8]364.[/url] Найдите сумму углов выпуклого: [br] а) пятиугольника; [br] б) шестиугольника; [br] в) десятиугольника.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/q2r4fkrk]365.[/url] Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: [br] а) [math]90^{\circ}[/math]; [br] б) [math]60^{\circ}[/math]; [br] в) [math]120^{\circ}[/math]; [br] г) [math]108^{\circ}?[/math][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/jjzapkx2]366.[/url] Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/jjzapkx2]367.[/url] Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвертая - в три раза больше второй.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/kghggjth]368.[/url] Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другу.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/kghggjth]369.[/url] Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, если [math]\angle A=\angle B=\angle C[/math], а [math]\angle D=135^{\circ}[/math].[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/kghggjth]370.[/url] Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.[/justify]

[justify][url=https://www.geogebra.org/m/gdgcksmn]5.1.1.[/url] Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны, если у многоугольников:[br] а) 4 угла;[br] б) 5 углов;[br] в) 6 углов?[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/w6vsmgqj]5.1.2.[/url] Узнайте:[br] а) Как можно доказать, что три точки лежат на одной прямой? [br] б) Как можно доказать, что три отрезка пересекаются в одной точке?[br] Докажите что, если в шестиугольнике противоположные стороны равны и параллельны, то три его диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке. Определите, какими свойствами обладает этот многоугольник.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/xukbyd94]5.1.3.[/url] В выпуклом многоугольнике проведены все его диагонали. Они разбивают этот многоугольник на ряд более мелких. Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник разбиения, если первоначальный многоугольник имеет[br] a) 4 стороны;[br] б) 5 сторон;[br] в) 6 сторон;[br] г) 7 сторон;[br] д) 2023 стороны;[br] е) 2024 стороны?[br][br]5.1.4. Внутри многоугольника М[sub]1[/sub] с периметром P[sub]1 [/sub]лежит выпуклый многоугольник М[sub]2 [/sub]с периметром P[sub]2[/sub]. Докажите, что P[sub]2[/sub]<P[sub]1[/sub]. Будет ли это верно, если многоугольник М[sub]2[/sub] не будет выпуклым?[br][br]5.1.5. Какие свойства выпуклого четырехугольника следуют из того, что он: [br] а) разбивается своей диагональю на два равных треугольника; [br] б) разбивается двумя своими диагоналями на четыре равных треугольника?[br][br]5.1.6*. Из каких многоугольников можно сложить паркет?[/justify]