Funktio on määritelty kaikkialla lukuunottamatta kohtia, joissa nimittäjä saa arvon 0. Komennon [i]Ratkaise(Nimittäjä(f)=0,x)[/i] avulla ratkaistaan nimittäjän nollakohtien olevan x = 0 tai x = 2. Määrittelyehdoksi saadaan siis [math]f\left(x\right)=\frac{2x^3-14x^2+12x+40}{x^3-2x^2},x\ne0\vee x\ne2[/math].[br][br]Funktion nollakohdat saadaan komennolla [i]Ratkaise(f=0)[/i]. Funtkio saa arvon nolla muuttujan kohdissa [math]x=-\sqrt{5}+1[/math], [math]x=\sqrt{5}+1[/math] ja [math]x=5[/math]. Nollakohtien likiarvot voidaan selvittää komennolla [i]RatkaiseNumeerisesti(f=0)[/i] ja kahden desimaalin tarkkuudella nämä ovat [math]x=-1,24[/math], [math]x=3,24[/math] ja [math]x=5[/math]. Tarkan arvon saa likiarvoksi ja toisinpäin klikkaamalla sovelmassa CAS-laskimessa komennosta saadun ratkaisun kohdalla olevaa [i]yhtä suuri kuin[/i]- tai [i]suunnilleen yhtä suuri kuin[/i] -painiketta.[br][br]Paikalliset ääriarvot voidaan etsiä komennolla [i]Ääriarvot(f)[/i], kuten sovelmassa on tehty. Ääriarvokohtien tiedetään löytyvän funktion derivaatan nollakohdista, joten ääriarvojen määrittämiseen voitaisiin hyödyntää myös esimerkiksi komentoa [i]Ratkaise(f'=0)[/i]. Funktiolla on kaksi paikallista maksimia, [math]f\left(-2,87\right)=3,91[/math] ja [math]f\left(1,46\right)=-29,45[/math]. Komennolla [i]Ääriarvot(f)[/i] saadun listan kolmas piste on paikallinen minimi, [math]f\left(3,82\right)=-0,26[/math].[br][br]Funktion [i]f[/i] raja-arvoja positiivisessa ja negatiivisessa äärettömyyksissä voidaan tutkia komennoilla [i]RajaArvo(f, [math]\infty[/math])[/i] ja [i]RajaArvo(f, [math]-\infty[/math])[/i]. CAS-laskin antaa funktion [i]f[/i] raja-arvoksi 2 negatiivisessa ja positiivisessa äärettömyydessä, joten funktiolla on asymptootti y=2. Asymptootti on merkattu Graafinäkymään katkoviivalla.[br][br]Funktiolla ei välttämättä ole yksikäsitteistä raja-arvoa kohdissa, joissa sitä ei ole määritelty. Näissä määrittelyjoukon reikäkohdissa raja-arvoa kannattaa tarkastella lähestymällä haluttua muuttujan arvoa molemmista suunnista. Tämä onnistuu CAS-laskimen komennoilla [i]RajaArvoVasen[/i] ja [i]RajaArvoOikea[/i]. Kohdassa [math]x=0[/math] raja-arvo lähestyy negatiivista ääretöntä vasemmalta ja oikealta tarkasteltaessa, eli tässä kohdassa funktio vähenee rajatta. Lähestyttyä kohtaa [math]x=2[/math] vasemmalta puolelta funktion [i]f[/i] toispuoleinen raja-arvo vähenee rajatta ja oikealta lähestyttäessä raja-arvo taas kasvaa rajatta. Tässä kohdassa funktiolla ei siis ole raja-arvoa. Asymptootit [math]x=0[/math] ja [math]x=2[/math] on merkattu Graafinäkymään katkoviivoilla.[br][br]Raja-arvoja tutkimalla voidaan päätellä funktion [i]f[/i] saavan kaikki arvot välillä [math]\left(-\infty,\infty\right)[/math]. Funktiolla ei ole globaaleja ääriarvoja, sillä funktion arvot lähenevät negatiivista ja postiviista äärettömyyttä aiemmin mainituilla muuttujan arvoilla.[br]

Kolmion huippukulmaa ja kantakulmien etäisyyttä toisistaan voi muuttaa liukusäätimien avulla niin, että kaksi kylkeä ovat aina samanpituisia ja kolmio säilyy tasakylkisenä. Keskenään yhtä pitkien sivujen pituudet ovat sovelmassa näkyvillä, samoin kuin kantakulmien suuruudet.

Keltainen pallo keskellä mallintaa Aurinkoa, sen ympärillä ellipsiradalla pyörivä sininen pallo mallintaa Maata ja Maan ympärillä ympyräradalla on harmaa pallo mallintamassa Kuuta. Maan ja Kuun saa liikkumaan radallaan klikkaamalla Algebranäkymän syöttökentässä pisteiden M ja K vieressä olevia toistopainikkeita.

Nimellispainolla tarkoitetaan elintarvikepakkaukseen merkittyä massaa. Kauppa- ja teollisuusministeriön mukaan sallittu massan alitus 5-50 g painavilla tuotteilla on 9 %. (Suomen säädöskokoelma 2000.) Jos alitus on suurempi kuin 9 %, elintarviketta ei saa laskea myyntiin.[br][br]Erään suklaapatukan nimellispaino on 45 g. Tehtaalla tehtyjen mittausten mukaan suklaapatukan keskimääräinen massa on 45 g ja valmistusprosessista johtuva poikkeama keskimääräisestä massasta on keskimäärin 5 g.[br][br]a) Mitä todennäköisyysjakaumaa suklaapatukoiden massa noudattaa? Mitkä ovat jakauman parametrit? (3p)[br][br]b) Millä todennäköisyydellä suklaapatukan todellinen massa on niin pieni, että alitus on suurempi kuin 9 % nimellispainosta? (5p)[br][br]c) Tehtaalla valmistetaan 100 suklaapatukan erä. Kuinka monta suklaapatukkaa erästä saa Kauppa- ja teollisuusministeriön ohjeiden mukaan laskea myyntiin? (2p)[br][br]d) Otto sattui ostamaan niin painavan suklaapatukan, että todennäköisyysjakauman mukaan vain 1 % kaikista valmistetuista patukoista on vähintään samanmassaisia. Mikä oli Oton ostaman suklaapatukan massa? (2p)

a) Suklaapatukoiden massa noudattaa jatkuvaa jakaumaa, tarkemmin normaalijakaumaa. Normaalijakauman odotusarvo on 45 g ja keskihajonta on 5 g.[br][br]b) Selvitetään ensin 9 % alitusta vastavaan suklaapatukan todellinen massa.[br][math]m=\left(100\%-9\%\right)\cdot45g=\frac{91}{100}\cdot45g=40,95g[/math][br]Siis suklaapatukoissa, joiden massa on alle 40,95 g, on ohjeen mukaista 9 % maksimialitusta suurempi alitus.[br][br]Todennäköisyys sille, että massa on pienempi kuin pienin sallittu massa voidaan selvittää Geogebran Todennäköisyys-sovelluksella. Kun jakauman tyypiksi valitaan normaalijakauma, muuttujaksi [i]μ[/i] vaihdetaan odotusarvo 45, muuttujaksi [i]σ[/i] 5 ja väliksi valitaan [i]vasemmanpuoleinen[/i][u],[/u] voidaan selvittää todennäköisyys [math]\mathbb{P}\left(X\le40,95\right)[/math]. Kahden desimaalin tarkkuudella vastaukseksi saadaan 0,21.[br][br]c) Ratkaisussa voidaan hyödyntää b-kohdan vastausta. Todennäköisyys alle 9 % alitukselle nimellispainosta voidaan laskea vastatapahtuman todennäköisyyden kaavalla. [math]\mathbb{P}=1-0,21=0,79[/math]. Siis sadan suklaapatukan erästä todennäköisesti [math]0,79\cdot100=79[/math] saa laskea myyntiin.[br]Laskussa käytetyn todennäköisyyden voi laskea myös Geogebran Todennäköisyys-ohjelmalla samaan tapaan kuin b-kohdassa.[br][br]d) Valitaan Geogebran Todennäköisyys-sovelluksessa samat parametrit kuin aikaisemmin b-kohdassa. Väliksi valitaan [i]oikeanpuoleinen[/i] ja todennäköisyydeksi kirjataan 0,01. Kysytyn massan arvoksi saadaan kahden desimaalin tarkkuudella 56,63 g.[br]Todennäköisyyden voi laskea myös vastatapahtuman kautta.

a) Jakauma oikein (1p), odotusarvo oikein (1p) ja keskihajonta oikein (1p).[br][br]b) Pienin sallittu massa laskettu oikein (2p). Vastauksesta käy ilmi, että siinä pyritään laskemaan juurikin kysyttyä todennäköisyyttä. (1p) Todennäköisyys-ohjelmaan kirjattu oikeat parametrit (1p) ja niillä saatu oikea ratkaisu desimaalilukuna tai prosentteina (1p).[br][br]c) Oikea vastaus (1p) ja perustelu sille, esimerkiksi vastatapahtuman todennäköisyyden kaava (1p) TAI kuvakaappaus Todennäköisyys-ohjelmasta, johon kirjattu oikeat parametrit (1p) ja oikea vastaus (1p)[br][br]d) Todennäköisyys-sovelluksessa valittu oikea väli ja tehtävänannossa annettu todennäköisyys (tai vastatapahtuman todennäköisyys) sijoitettu oikeaan kohtaan (1p) ja sovelluksesta poimittu oikea vastaus grammoina (1p).