0

BG W GuS 12.2 g.A. Mathematik - Lineare Algebra Nds

Klaus Schoepe, Feb 6, 2022

Begleitend zum Unterricht soll hier Material bereitgestellt werden

Rechnen mit Matrizen
1. Matrizen und Vektoren, Bezeichnungen
2. Anwendungsbeispiel
3. Übung: S-Multiplikation
4. Übung: Matrizen addieren oder subtrahieren
5. In der Anwendung - Multiplikation von Matrizen
6. Übung: Matrizenmultiplikation
7. Gemischte Aufgaben
8. Besondere Matrizen
Gleichungssysteme und Matrizen
1. Lineare Gleichungssysteme
2. Zwei Variablen
3. Gleichungssysteme und Matrizen
4. Gauß: Mehr als 2 Variablen
5. Lösungsmengen von Gleichungssystemen
6. Lösen mit inversen Matrizen
7. Übung: Matrizengleichungen Lösen
Mehrstufige Produktionsprozesse
1. Zwei Produktionsstufen
2. Übung: Matrizen aus Gozintographen ablesen
3. Berechnen von Mengen
4. Kosten bei mehrstufigen Produktionsprozessen
5. Erlös und Gewinn bei mehrstufiger Produktion
Das Leontief-Modell
1. 2.1 Das Leontief-Modell
2. 2.2 Rechnen mit der technologischen Matrix
3. 2.3 Weiterführende Berechnungen zum Leontief-Modell
Vektorrechnung - analytische Geometrie
1. 1. Positionen und Richtungen
2. 2. Der Irrgarten
3. 3. Rechnen mit Vektoren
4. 4. Das Skalarprodukt
5. 5. Der Winkel zwischen zwei Vektoren
6. 6. Geraden - Aufgabe zum Einstieg: Flugroute
7. 7. Geradengleichungen und Punktprobe

Information

Rechnen mit Matrizen

1. Matrizen und Vektoren, Bezeichnungen
2. Anwendungsbeispiel
3. Übung: S-Multiplikation
4. Übung: Matrizen addieren oder subtrahieren
5. In der Anwendung - Multiplikation von Matrizen
6. Übung: Matrizenmultiplikation
7. Gemischte Aufgaben
8. Besondere Matrizen

Matrizen und Vektoren, Bezeichnungen

Lineare Algebra ist unter anderem dazu da, um viele Rechnungen gleichzeitig zu erledigen. Das macht vor allem das Rechnen mit Gleichungssystemen sehr viel übersichtlicher und man spart dabei sehr viel Schreibarbeit und Zeit.p { line-height: 115%; margin-bottom: 0.25cm; background: transparent }

Einführendes Beispiel

Sie sind Managerin eines Hotels der Hotelkette LLH (Living Like Home). Sie haben den Auftrag die Zimmer neu zu möblieren. Folgende Zimmertypen können bei Ihnen gebucht werden:

Singel (SI): Zimmer für eine Person
Duo (DU): Zimmer für zwei Personen
Family (FA): Zimmer für Eltern und 2 Kinder
Groups (GRU): Zimmer für Jugendgruppen mit 6 Betten
Speisesaal (SPEI): Raum mit 60 Sitzplätzen und 15 Tischen

Sie sollen Stühle, Tische, Betten und Schränke erneuern. Die Möbel werden wie folgt auf die Zimmertypen verteilt:

	SI	DU	FA	GRU	SPEI
Betten	1	2	4	6	0
Stühle	1	2	4	6	60
Tische	1	1	2	2	15
Schränke	1	1	2	3	4

In der Linearen Algebra ist es üblich, solche Zahlenblöcke als Matrizen (Matrizen ist die Mehrzahl von Matrix) zu schreiben. Das ist einfach ein Block aus Zahlen, wie in der Tabelle oben, eingefasst von großen Klammern. Da hier in der Regel die Beschriftung fehlt, muss man sich allerdings gut merken, wofür die Zeilen und Spalten stehen. Hier steht zum Beispiel die erste Zeile für die Betten und die dritte Spalte für die Familienzimmer:

Bezeichnungen bei Matrizen

Die oben stehende Matrix heißt

. Die Namen von Matrizen sind meistens große Buchstaben. Es ist eine

-Matrix (sprich: 4 mal 5 Matrix), das heißt sie hat 4 Zeilen und 5 Spalten. Man nennt die Bezeichnung

die Dimension der Matrix. Bei Matrizen gilt fast immer der Spruch: Zeilen zuerst, Spalten später. Die einzelnen Zahlen in der Matrix heißen Matrixelemente. Jedes Matrixelement bekommt als Index zwei Zahlen, die erste für die Zeile und die zweite für die Spalte:

ist also das Element in der zweiten Zeile und der fünften Spalte.

Transponierte Matrix

Wenn man bei einer Matrix Zeilen und Spalten vertauscht, dann entsteht die sogenannte transponierte Matrix. Diese Matrix wird mit einem hochgestellten

gekennzeichnet:

und

Einheitsmatrix

Eine Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix (d.h. genau so viel Zeilen wie Spalten). Sie hat auf ihrer Diagonalen von links oben nach rechts unten Einsen und alle anderen Zahlen sind gleich Null:

,

usw. sind Einheitsmatrizen Die Diagonale von links oben nach rechts unten heißt auch Hauptdiagonale.

Vektoren

Eine Matrix, die nur aus einer Zeile besteht, z.B. eine

-Matrix, wird auch Vektor genannt. Genauer gesagt ist dies ein Zeilenvektor. Ein Beispiel:

Eine Matrix, die nur aus einer Spalte besteht, z.B. eine

-Matrix, wird auch Vektor genannt. Genauer gesagt ist dies aber ein Spaltenvektor. Ein Beispiel:

An den Beispielen sieht man, dass Vektoren oft kleine Buchstaben sind. Am besten lassen sie sich aber an dem Pfeil erkennen, der über dem Namen zu sehen ist.

Gegeben ist die Matrix

Welches Matrixelement hat den Wert 15?

Schreiben Sie alle Matrixelemente auf, die den Wert 2 haben.

Welchen Wert hat das Matrixelement

?

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

2.

Gleichungssysteme und Matrizen

2.1.

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung kann eine oder mehrere Variablen haben. Die folgenden Gleichungen sind Beispiele für lineare Gleichungen:

Folgende Gleichung ist keine lineare Gleichung:

, weil das

eine Hochzahl, also einen Exponenten hat. Auch

ist keine lineare Gleichung. Hier werden zwei unterschiedliche Variablen mit einander multipliziert.

Lineare Gleichungssysteme

Wenn es mehrere lineare Gleichungen gibt, die alle die gleiche Lösung haben, dann spricht man von einem linearen Gleichungssystem:

Jede der drei Gleichungen oben ergibt eine wahre Aussage, wenn

,

und

. Überprüfen Sie das. Daher ist

eine Lösung des oben stehenden Gleichungssystems. Sie können es ausprobieren: Alle anderen Zahlenkombinationen sind keine Lösungen.

Ein Beispiel aus dem Leben:

Eine Jugendherberge kauft Betten, Stühle und Schränke bei einer Möbelfirma. Das Angebot liegt auf dem Tisch: Die Möbel für ein Einzelzimmer kosten insgesamt 170€, für ein Doppelzimmer müssen 270 € gezahlt werden und die Möblierung eines Gruppenzimmers kostet 810€.

In einem Einzelzimmer ist ein Bett, ein Stuhl und ein Schrank
In einem Doppelzimmer sind zwei Betten, zwei Stühle und ein Schrank
In einem Gruppenzimmer sind sechs Betten, sechs Stühle und drei Schränke

Wie viel kosten jeweils ein Bett, ein Stuhl oder ein Schrank? Dazu kann das folgende Gleichungssystem aufgestellt werden, bei dem die Variablen

,

und

jeweils für die unbekannten Preise stehen:

Fachvokabular

Die Buchstaben in einem Gleichungssystem sind unsere Variablen. Die Faktoren, die vor den Variablen stehen, heißen Koeffizienten. Die Zahlen rechts vom Gleichheitszeichen werden als Absolutglieder bezeichnet. Ein quadratisches Gleichungssystem ist eines, das genau so viel Gleichungen besitzt, wie Variablen. Es ist nur dann möglich, eine eindeutige Lösung für ein Gleichungssystem zu berechnen, wenn es mindestens genau so viel Gleichungen gibt, wie es Varaiablen gibt. Wenn es mehr Gleichungen als Variablen gibt, dann ist ein Gleichungssystem überbestimmt. In einem solchen Fall gibt es oft gar keine Lösung. Wenn es weniger Gleichungen als Variablen gibt, dann ist ein Gleichungssystem unterbestimmt. In einem solchen Fall gibt es oft unendlich viele Lösungen. Wenn alle Absolutglieder gleich Null sind, dann spricht man von einem homogenen Gleichungssystem.

Matrix-Schreibweise

Man kann ein Gleichungssystem auch mit Hilfe von Matrizen schreiben. Das erspart viel Schreibarbeit und ist beim Rechnen oft auch übersichtlicher: Das Gleichungssystem

lässt sich auch schreiben, als:

mit der sogenannten Koeffizientenmatrix und den Vektoren

und

Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen verwendet man oft den Gauß-Algorithmus. Dafür verwendet man in der Regel die erweiterte Koeffizientenmatrix:

Schreibe das Gleichungssystem

mit Hilfe von Matrizen. Einmal mit der Koeffizientenmatrix und auch als erweiterte Koeffizientenmatrix

Matrix-Schreibweise

Man kann ein Gleichungssystem auch mit Hilfe von Matrizen schreiben. Das erspart viel Schreibarbeit und ist beim Rechnen oft auch übersichtlicher: Das Gleichungssystem

lässt sich auch schreiben, als:

mit der sogenannten Koeffizientenmatrix und den Vektoren

und

Eine Übung zum Erstellen einer Matrix-Gleichung aus Gleichungssystemen ist hier zu finden: Lösen mit inversen Matrizen Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen verwendet man oft den Gauß-Algorithmus. Dafür verwendet man in der Regel die erweiterte Koeffizientenmatrix:

Eine Übung zum Erstellen von erweiterten Koeffizientenmatrizen aus Gleichungssystemen ist hier zu finden: Gleichungssysteme und Matrizen

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

3.

Mehrstufige Produktionsprozesse

1. Zwei Produktionsstufen
2. Übung: Matrizen aus Gozintographen ablesen
3. Berechnen von Mengen
4. Kosten bei mehrstufigen Produktionsprozessen
5. Erlös und Gewinn bei mehrstufiger Produktion

3.1.

Zwei Produktionsstufen

Müll als Rohstoff

Ein großer Teil unseres Mülls besteht eigentlich aus wertvollen Rohstoffen. Und so gibt es inzwischen viele Möglichkeiten, aus diese Rohstoffen wieder neue Produkte herzustellen. In Norwegen werden aus dem Wasser gefischte Müll, wie netzte Seile, alte Bojen als Rohstoff zu dem Zwischenprodukt Kunststoff-Granulat verarbeitet.Aus diesen Granulaten kann man wieder neuwertige Kunststoffprodukte herstellen: Ein Unternehmen stellt aus Netzen (R1), Seilen (R2) und alten Kunstoff-Kanistern (R3) als Rohstoff Kunststoff-Granulate als Zwischenprodukt her. Diese Granulate gibt es dann in 4 verschiedenen Farbe: Rot (Z1), gelb (Z2), blau (Z3) und weiß (Z4). Aus den Kunststoff-Granulaten werden als Endprodukt Konferenzstühle (E1), Tabletts (E2) und Rohre (E3) hergestellt. Dieser zweistufige Produktionsprozess lässt sich grafisch in einem "Gozintographen" darstellen. Aus dem Gozintographen kann man ablesen, wie viel von welchem Rohstoff für welches Zwischenprodukt benötigt wird und wie viel von welchem Zwischenprodukt im jeweiligen Endprodukt verarbeitet wird: (Das Wort "Gozintographen" wurde aus den englischen Worten "goes into" gebildet.)

Das gleiche mit Matrizen

Die Zahlen, die auf den Verbindungsstrecken zwischen den Rohstoffen und den Zwischenprodukten stehen, geben an, wie viel von dem jeweiligen Rohstoff benötigt wird, um genau ein entsprechendes Zwischenprodukt herzustellen. Genau so erfährt man von den Zahlen, die auf den Verbindungsstrecken zwischen den Zwischenprodukten und den Endprodukten stehen, wie viel von dem jeweiligen Zwischenprodukt benötigt wird, um genau ein entsprechendes Endprodukt herzustellen. Natürlich kann man den gleichen Sachzusammenhang auch in Tabellen oder eben in Matrizen darstellen. Die Matrix A soll den Produktionsschritt von den Rohstoffen zu den Zwischenprodukten wiedergeben. Es gilt "Zeilen zuerst, Spalten später", also sind die Zeilen die Rohstoffe und die Spalten die Zwischenprodukte, denn die Rohstoffe gibt es schon, bevor die Zwischenprodukte produziert werden:

Genauso lässt sich auch der zweite Produktionsschritt von den Zwischenprodukten und den Endprodukten in einer Matrix B abbilden. Auch hier gilt "Zeilen zuerst, Spalten später", also sind in dieser Matrix die Zeilen die Zwischenprodukte und die Spalten die Endprodukte:

Wie viel Rohstoffe pro Endprodukt?

Wie viel von welchem Rohstoff brauche ich, um genau eines der Endprodukte herzustellen? Das kann auch in einer Matrix dargestellt werden, die den Namen C bekommt. Die Matrix C lässt sich mit Hilfe der Matrizenmultiplikation ganz einfach aus den Matrizen A und B berechnen:

Die Bedeutung der Matrix C

Wie viel von Rohstoff R1 ist nötig, um das Endprodukt E2 herzustellen?

31 33 28

Wie viel Rohstoff R3 wird für die Produktion von Exprodukt E1 benötigt?

3 20 29

Was bedeutet das Matrixelement 38?

Man braucht 38 R3 für E2 Man braucht 38 R2 für E3 Man braucht 38 E3 für R1

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

4.

Das Leontief-Modell

Ein Modell für die Input-Output-Analyse

1. 2.1 Das Leontief-Modell
2. 2.2 Rechnen mit der technologischen Matrix
3. 2.3 Weiterführende Berechnungen zum Leontief-Modell

4.1.

2.1 Das Leontief-Modell

Das Leontief-Modell

Wassily Leontief (1905-1999) erhielt für seine Input-Output-Analyse 1973 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. Eine Volkswirtschaft in ihrer Gesamtheit zu verstehen ist ausgesprochen schwierig, weil viele Sektoren der Wirtschaft voneinander abhängig sind. Wenn der Energiesektor einer Wirtschaft - zum Beispiel wegen einer Ölkrise - Probleme hat, dann schlägt sich das zum Beispiel deutlich auf den Verkehrssektor nieder, weil teurere Kraftstoffe zu einem anderen Konsumverhalten bei Treibstoffen und Kraftfahrzeugen führen. Wenn Transportkosten steigen, dann beeinflusst das auch die Industrie oder die Landwirtschaft... Leontief teilte für seine Analyse die amerikanische Volkswirtschaft in 42 Sektoren und betrachtete dann deren Verflechtung miteinander. Hier werden im Weiteren jeweils nur drei Sektoren verwendet, um das Prinzip dieser Input-Output-Analyse zu erklären. Inzwischen haben sich für dieses Modell viele weitere Anwendungen gefunden. Leontief selbst erweiterte sein Modell auch auf Ökologische Fragestellungen. So kann es zum Beispiel dafür verwendet weren, die Bilanzierung des Ausstoßes von Treibhausgasen von Betrieben zu untersuchen u.a..

Ein Verflechtungsdiagramm als Beispiel

Hier ist beispielhaft eine sehr vereinfachte Verflechtung der Sektoren Landwirtschaft, Verkehr und Industrie gezeigt. Ein Teil der Produktion dieser Sektoren wird für den Produktionsprozess selbst gebraucht und geht nicht an den Konsum. Die hier willkürlich gewählten Zahlen entsprechen den Geldeinheiten der Ware.

Die Input-Output-Tabelle

Das Verflechtungsdiagramm oben lässt sich auch in Form einer Tabelle darstellen:

Auch in dieser Tabelle gilt "Zeilen zuerst, Spalten später". Die Zeilen beschreiben wie viel geliefert wird und in den Spalten sieht man, welcher Vektor wie viel von welchem bekommt. Der Verkehr bekommt also Waren aus der Landwirtschaft in einem Wert von 100 Geldeinheiten (s.o.), vielleicht in Form von Bio-Kraftstoffen. Die Landwirtschaft bekommt aus dem Sektor Verkehr Waren oder Dienstleistungen im Wert von 50 Geldeinheiten. Mit dem folgenden Applet kann geübt werden, eine solche Input-Output-Tabelle aus dem Verflechtungsdiagramm zu erstellen.

Erstellen von Input-Output-Tabellen

Was geschieht, wenn sich die Produktion eines Sektors ändert?

Wenn es wegen einer Tierseuche oder durch Wetterextreme die Produktion in der Landwirtschaft ändert, dann wird es evtl. auch weniger industriell hergestellte Nahrungsmittel geben und dadurch vielleicht auch weniger Transporte. Vielleicht fangen Konsumenten an mit Hamsterkäufen ... Was solche Änderungen alles für Folgen haben, ist in einem so vernetzten System nur sehr schwer vorherzusagen. Daher ist es von Vorteil, wenn eine Formulierung für die Abhängigkeiten der Sektoren untereinander gefunden werden kann, die unabhängig von der Gesamtproduktion ist. Denn dann können später unterschiedliche Produktionsmengen eingesetzt werden und es lässt sich nachvollziehen, welchen Einfluss das auf das ganze System hat.

Die technologische Matrix A

Betrachten wir wieder die drei Sektoren Landwirtschaft, Verkehr und Industrie:

Wenn der Sektor Landwirtschaft nur noch die Hälfte produziert, dann braucht er auch nur noch die Hälfte der Produkte und Dienstleistungen von sich selbst und aus den Sektoren Verkehr und Industrie zu beziehen. Das heißt die erste Spalte der Input-Output-Tabelle wird dann in allen Zahlen halbiert. Wenn man die erste Spalte der Input-Output-Tabelle nicht durch zwei, sondern durch die Gesamtproduktion teilt, dann erhält die erste Spalte die Information, wie viel Produkte und Dienstleistungen für genau eine Mengeneinheit landwirtschaftlicher Produkte benötigt werden. Wird nach der gleichen Idee auch die zweite Spalte durch die Gesamtproduktion des zweiten Sektors geteilt und die dritte Spalte durch die Gesamtproduktion des dritten Sektors, dann geben die Zahlen der Tabelle nur noch wieder, wie viel Ressourcen und Produkte für jeweils genau eine Mengeneinheit Produktion benötigt werden. Dabei ensteht aus den Zahlen, die die Verflechtungen der Sektoren untereinander beschreiben, die von der Gesamtproduktion unabhängige technologische Matrix. Diese technologische Matrix - manchmal auch Inputmatrix genannt wird im Folgenden einfach mit A bezeichnet.

Mit dem folgenden Geogebra-Applet kann das Erstellen einer technologischen Matrix geübt werden. Achten Sie darauf, dass es sich bei den Brüchen in der Lösung bereits um gekürzte Brüche handelt.

Erstellen der technologischen Matrix

Erstellen der technologischen Matrix mit einem CAS-System

Es ist mühsam, aus der Input-Output-Tabelle die technologische Matrix in ein Computer-Algebra-System (CAS) einzugeben. Glücklicherweise gibt es dafür einen einfachen Weg mit Hilf der "besonderen Matrizen". Wenn man eine Matrix

von links mit einer Einheitsmatrix multipliziert, bei der in der ersten Zeile ein

steht statt einer

, dann wird die erste Spalte der Matrix

mit

multipliziert. Steht das

in der zweiten Zeile, dann wird die zweite Spalte der Matrix

mit a multipliziert. Das kann man sich zu Nutze machen: Ein Zahlen-Beispiel: Gegeben ist die Input-Output-Tabelle

Dann kann man mit folgender Matrizenmultiplikation die technologische Matrix erstellen:

Das Ergebnis ist

Probieren Sie es aus!

4.2.

4.3.

5.

Vektorrechnung - analytische Geometrie

1. 1. Positionen und Richtungen
2. 2. Der Irrgarten
3. 3. Rechnen mit Vektoren
4. 4. Das Skalarprodukt
5. 5. Der Winkel zwischen zwei Vektoren
6. 6. Geraden - Aufgabe zum Einstieg: Flugroute
7. 7. Geradengleichungen und Punktprobe

5.1.

1. Positionen und Richtungen

Ein Überblick

Mit Hilfe der Analytischen Geometrie kann man Dinge, Gegenstände, Bewegungen oder Richtungen im dreidimensionalen Raum darstellen. Das braucht man zum Beispiel dazu, um als Architekt Häuser mit dem Computer zu entwerfen um in Fabriken Maschinen zu programmieren, die Dinge ausschneiden oder um mit Hilfe eines Navigationsgerätes seinen Weg zu finden. Egal ob man eine Position oder eine Bewegung im dreidimensionalen Raum beschreibt, man braucht dazu drei Zahlen - für jede Dimension eine.

Kartesisches Koordinatensstem

Es gibt mehrere Möglichkeiten einen Ort mit drei Zahlen zu beschreiben. Die sogenannten GPS-Koordinaten, mit denen die Navigationsgeräte in Autos und Handys arbeiten, die verwenden zwei Winkel (zum Besipiel "nördliche Breite" und "östliche Länge") und die Entfernung vom Erdmittelpunkt, also die Höhe. Wir werden hier das kartesische Koordinatensystem verwenden. Es besteht aus drei Achsen, die senkrecht aufeinander stehen. Sie heißen dann

-Achse,

-Achse und

-Achse. Manchmal findet man auch die Bezeichnungen

-Achse,

-Achse und

-Achse oder noch andere bezeichnungen. Genaugenommen sollen diese Achsen in einem "Rechtssystem" angeordnet sein, das heißt: Wenn man die rechte Hand betrachtet, dann sind die Richtungen der abgespreizten Daumen - Zeigefinger - Mittelfinger die Richtungen der

-,

- und der

-Achsen. Aber das wird in vielen Schriften gar nicht so genau genommen, man sollte jedes mal überprüfen, in welche RIchtung welche Achse zeigen sollen. Es gibt eigentlich immer eine Abbildung, die das klärt.

oder

Zum Beispiel findet man als Höhen-Achse oft die

-Achse, weil dann zu dem bekannten

-

-System nur noch die dritte

-Achse hinzugefügt wurde, aber gerade in technischen Anwendungen ist auch die

-Achse oft die Höhen-Achse.

Punkte

Punkt sind dazu da, um einen Ort zu definieren. Wir brauchen für einen Punkt eine

-, eine

- und eine

-Koordinate. Die Schreibweise für einen Punkt

mit der

-Koordinate 1, der

-Koordinate 2 und der

-Koordinate 3 ist:

Tatsächlich steht hier zwischen dem Namen des Punktes

und den Koordinaten

kein Gleichheitszeichen. Bei Vektoren ist das anders (s.u.). Im folgenden Applet kann der Punkt

in einem dreidimensionalen System betrachtet werden. Bewegen Sie den Navigationspunkt, um das System zu drehen oder zu kippen.

Ein Punkt in 3D

Vektoren

Vektoren beschreiben eine Richtung. Nehmen wir als Beispiel die Richtung "Süden". Ich kann von Cuxhaven aus in Richtung "Süden" gehen, ich kann aber auch mitten in Paris stehen und in die Richtung "Süden" gehen, die Richtung ist die gleiche. So ist es auch bei Vektoren: Vektoren haben keinen Anfangs und keinen Endpunkt, sie weisen einfach in eine Richtung. Allerdings gibt es in kartesischen Koordinaten keine Himmelsrichtungen. Sehen wir uns ein Beispiel an:

Dieser Vektor sagt: "Gehe keinen Schritt in Richtung

, 8 Schritte in Richtung

und 15 Schritte in Richtung

". Wenn man dann vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt "dieser Wanderung" einen Pfeil malt, dann hat man den oben stehenden Vektor richtig gezeichnet.

Der Betrag oder die Länge eines Vektors

Ein Vektor hat zwei wichtige Eigenschaften:

eine Richtung und
eine Länge

Das ist wichtig, um zum Beispiel einen Weg mit einem Vektor darzustellen. Es muss eine Richtung angegeben werden und eine Strecke, wie weit diese Richtung verfolgt werden soll. Ähnliches gilt für die Darstellung von Kräften und Geschwindigkeiten mit Vektoren. Die Länge eines Vektors wird auch der Betrag des Vektors genannt. Daher wird die Länge auch mit Betragsstrichen gekennzeichnet. Manchmal wird auch der Name des Vektors ohne den darüberstehenden Pfeil verwendet, um dem Betrag einen Namen zu geben. Der Betrag eines Vektors lässt sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Im dreidimensionalen Fall allerdings in einer etwas erweiterten Fassung:

In 2 Dimensionen:
In 3 Dimensionen:

Übung macht den Meister

Es ist gar nicht so einfach die dreidimensionale Welt auf einem zweidimensionalen Bildschirm oder einem Blatt Papier darzustellen. Sowohl das Zeichnen also auch das Lesen solcher Zeichnungen erfordert ein dreidimensionales Vorstellungsvermögen, das sich aber gut trainieren lässt. Siehe dazu das nächste Kapitel "der Irrgarten".

Besondere Vektoren

Es gibt ein paar Vektoren, die einen eigenen Namen haben:

Der Gegenvektor zu einem Vektor ist ein Vektor, der genau so lang ist, aber in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Der Gegenvektor zu einem Vektor heißt . Der Gegenvektor zu ist der Vektor . D.h. jede Koordinate ändert ihr Vorzeichen.
Der Ortsvektor eines Punktes ist der Vektor vom Nullpunkt zum Punkt . Man bezeichnet ihn mit . Ein "normaler" Vektor ist eine Richtung, das heißt er kann von jedem beliebigen Punkt aus beginnen. Das ist beim Ortsvektor anders: Ein Ortsvektor beginnt immer im Nullpunkt. Der Ortsvektor des Punktes ist der Vektor .
Der Nullvektor ist ein Vektor, den man für Rechnungen ab und zu braucht. Aber er ist auch etwas seltsam, denn er hat keine Richtung: In einem Nullvektor sind alle Koordinaten gleich Null. Das heißt zum Beispiel: Gehe keinen Schritt in Richtung , keinen Schritt in Richtung und keinen Schritt in Richtung , also .
Der Einheitsvektor ist ein Vektor, der eine Länge von hat. Mit folgendem Trick kann man aus jedem Vektor einen Einheitsvektor machen:

Das Multiplizieren eines Vektors mit der Zahl geht genau so, wie das Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl, jede Koordinate muss multipliziert werden.

0

BG W GuS 12.2 g.A. Mathematik - Lineare Algebra Nds

Table of Contents

Information

Rechnen mit Matrizen

Matrizen und Vektoren, Bezeichnungen

Einführendes Beispiel

Bezeichnungen bei Matrizen

Transponierte Matrix

Einheitsmatrix

Vektoren

Gleichungssysteme und Matrizen

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungssysteme

Ein Beispiel aus dem Leben:

Fachvokabular

Matrix-Schreibweise

Matrix-Schreibweise

Mehrstufige Produktionsprozesse

Zwei Produktionsstufen

Müll als Rohstoff

Das gleiche mit Matrizen

Wie viel Rohstoffe pro Endprodukt?

Die Bedeutung der Matrix C

Das Leontief-Modell

2.1 Das Leontief-Modell

Das Leontief-Modell

Ein Verflechtungsdiagramm als Beispiel

Die Input-Output-Tabelle

Erstellen von Input-Output-Tabellen

Was geschieht, wenn sich die Produktion eines Sektors ändert?

Die technologische Matrix A

Erstellen der technologischen Matrix

Erstellen der technologischen Matrix mit einem CAS-System

Vektorrechnung - analytische Geometrie

1. Positionen und Richtungen

Ein Überblick

Kartesisches Koordinatensstem

Punkte

Ein Punkt in 3D

Vektoren

Der Betrag oder die Länge eines Vektors

Übung macht den Meister

Besondere Vektoren