Lineare Algebra ist unter anderem dazu da, um viele Rechnungen gleichzeitig zu erledigen. Das macht vor allem das Rechnen mit Gleichungssystemen sehr viel übersichtlicher und man spart dabei sehr viel Schreibarbeit und Zeit.p { line-height: 115%; margin-bottom: 0.25cm; background: transparent }

Sie sind Managerin eines Hotels der Hotelkette LLH (Living Like Home). Sie haben den Auftrag die Zimmer neu zu möblieren. Folgende Zimmertypen können bei Ihnen gebucht werden:[br][list][*]Singel (SI): Zimmer für eine Person[/*][*]Duo (DU): Zimmer für zwei Personen[/*][*]Family (FA): Zimmer für Eltern und 2 Kinder[/*][*]Groups (GRU): Zimmer für Jugendgruppen mit 6 Betten[/*][*]Speisesaal (SPEI): Raum mit 60 Sitzplätzen und 15 Tischen[/*][/list]Sie sollen Stühle, Tische, Betten und Schränke erneuern. Die Möbel werden wie folgt auf die Zimmertypen verteilt:[br][table] [tr][br] [td][/td][br] [td]SI[/td][br] [td]DU[/td][br] [td]FA[/td][br] [td]GRU[/td][br] [td]SPEI[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]Betten[/td][br] [td]1[/td][br] [td]2[/td][br] [td]4[/td][br] [td]6[/td][br] [td]0[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]Stühle[/td][br] [td]1[/td][br] [td]2[/td][br] [td]4[/td][br] [td]6[/td][br] [td]60[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]Tische[/td][br] [td]1[/td][br] [td]1[/td][br] [td]2[/td][br] [td]2[/td][br] [td]15[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]Schränke[/td][br] [td]1[/td][br] [td]1[/td][br] [td]2[/td][br] [td]3[/td][br] [td]4[/td][br][/tr][br][/table]In der Linearen Algebra ist es üblich, solche Zahlenblöcke als [b]Matrizen[/b] (Matrizen ist die Mehrzahl von [color=#980000][b]Matrix[/b][/color]) zu schreiben. Das ist einfach ein Block aus Zahlen, wie in der Tabelle oben, eingefasst von großen Klammern. Da hier in der Regel die Beschriftung fehlt, muss man sich allerdings gut merken, wofür die Zeilen und Spalten stehen. Hier steht zum Beispiel die erste Zeile für die Betten und die dritte Spalte für die Familienzimmer:[br][br][math]\mathbf M=\begin{pmatrix}[br]1&2&4&6&0\\[br]1&2&4&6&60\\[br]1&1&2&1&15\\[br]1&1&2&3&1[br]\end{pmatrix}[/math][br]

Die oben stehende Matrix heißt [math]\mathbf{M}[/math]. Die Namen von Matrizen sind meistens große Buchstaben. Es ist eine [math](4\times5)[/math]-Matrix (sprich: [color=#38761D][i]4 mal 5 Matrix[/i][/color]), das heißt sie hat 4 Zeilen und 5 Spalten. Man nennt die Bezeichnung [math](4\times5)[/math] die [color=#980000][b]Dimension[/b][/color] der Matrix. [br][br]Bei Matrizen gilt fast immer der Spruch: [color=#38761D][b]Zeilen zuerst, Spalten später[/b][/color]. [br][br]Die einzelnen Zahlen in der Matrix heißen [color=#980000][b]Matrixelemente[/b][/color]. Jedes Matrixelement bekommt als [b][color=#980000]Index[/color][/b] zwei Zahlen, die erste für die Zeile und die zweite für die Spalte: [math]m_{25}=60[/math] ist also das Element in der zweiten Zeile und der fünften Spalte.[br][br]

Wenn man bei einer Matrix Zeilen und Spalten vertauscht, dann entsteht die sogenannte [color=#980000][b]transponierte Matrix[/b][/color]. Diese Matrix wird mit einem hochgestellten [math]T[/math] gekennzeichnet:[br][math]\mathbf M=\begin{pmatrix}[br]1&2&4&6&0\\[br]1&2&4&6&60\\[br]1&1&2&1&15\\[br]1&1&2&3&1[br]\end{pmatrix}[/math] und [math]\mathbf M^T=\begin{pmatrix}[br]1&1&1&1\\2&2&1&1\\4&4&2&2\\6&6&1&3\\0&60&15&1[br]\end{pmatrix}[/math]

Eine [color=#980000][b]Einheitsmatrix[/b][/color] ist eine [i]quadratische Matrix[/i] (d.h. genau so viel Zeilen wie Spalten). Sie hat auf ihrer Diagonalen von links oben nach rechts unten Einsen und alle anderen Zahlen sind gleich Null:[br][math]E_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}[/math], [math]E_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}[/math], [math]E_4=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}[/math] usw. sind Einheitsmatrizen[br]Die Diagonale von links oben nach rechts unten heißt auch [color=#980000][b]Hauptdiagonale[/b][/color].

Eine Matrix, die nur [color=#980000]aus einer Zeile[/color] besteht, z.B. eine [math](1\times 5)[/math]-Matrix, wird auch [color=#980000][b]Vektor[/b][/color] genannt. Genauer gesagt ist dies ein [color=#980000][b]Zeilenvektor[/b][/color].[br][br][b]Ein Beispiel[/b]: [math]\vec v = \begin{pmatrix} 1&2&4&6&60\end{pmatrix}[/math] [br][br]Eine Matrix, die nur [color=#980000]aus einer Spalte[/color] besteht, z.B. eine [math](4\times 1)[/math]-Matrix, wird auch [color=#980000][b]Vektor[/b][/color] genannt. Genauer gesagt ist dies aber ein [color=#980000][b]Spaltenvektor[/b][/color].[br][br][b]Ein Beispiel[/b]: [math]\vec v = \begin{pmatrix} 6\\6\\1\\3\end{pmatrix}[/math] [br][br]An den Beispielen sieht man, dass Vektoren oft kleine Buchstaben sind. Am besten lassen sie sich aber an dem Pfeil erkennen, der über dem Namen zu sehen ist.

Gegeben ist die Matrix [math]\mathbf M=\begin{pmatrix}[br]1&2&4&6&0\\[br]1&2&4&6&60\\[br]1&1&2&1&15\\[br]1&1&2&3&1[br]\end{pmatrix}[/math]

Eine lineare Gleichung kann eine oder mehrere Variablen haben. Die folgenden Gleichungen sind Beispiele für lineare Gleichungen:[br][list][*][math]3\cdot x+4=10[/math] [/*][*][math]4\cdot x+0,5\cdot y+z=7[/math] [/*][*][math]\frac{1}{2}\cdot a+\frac{1}{3}\cdot b=2[/math] [/*][/list]Folgende Gleichung ist [b]keine[/b] lineare Gleichung: [math]2\cdot x-3\cdot y^2+z=9[/math], weil das [math]y[/math] eine Hochzahl, also einen Exponenten hat. Auch [math]2\cdot x\cdot y+z=3[/math] ist [b]keine[/b] lineare Gleichung. Hier werden zwei unterschiedliche Variablen mit einander multipliziert.

Wenn es mehrere lineare Gleichungen gibt, die alle die gleiche Lösung haben, dann spricht man von einem linearen Gleichungssystem:[br][math] \begin{array}{rrrr}[br]x +&y+&z =& 6\\[br]3\,x -&y+&2\,z =& 7\\[br]-3\,x +&2\,y+&3\,z =& 10[br] \end{array} [/math][br]Jede der drei Gleichungen oben ergibt eine wahre Aussage, wenn [math]x=1[/math], [math]y=2[/math] und [math]z=3[/math]. Überprüfen Sie das.[br][br]Daher ist [math] \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix} [/math][br]eine [b]Lösung des oben stehenden Gleichungssystems[/b]. Sie können es ausprobieren: Alle anderen Zahlenkombinationen sind keine Lösungen.

Eine Jugendherberge kauft Betten, Stühle und Schränke bei einer Möbelfirma. Das Angebot liegt auf dem Tisch: Die Möbel für ein Einzelzimmer kosten insgesamt 170€, für ein Doppelzimmer müssen 270 € gezahlt werden und die Möblierung eines Gruppenzimmers kostet 810€.[br][list][*]In einem Einzelzimmer ist ein Bett, ein Stuhl und ein Schrank [/*][*]In einem Doppelzimmer sind zwei Betten, zwei Stühle und ein Schrank [/*][*]In einem Gruppenzimmer sind sechs Betten, sechs Stühle und drei Schränke[/*][/list][br][b]Wie viel kosten jeweils ein Bett, ein Stuhl oder ein Schrank?[/b][br][br]Dazu kann das folgende Gleichungssystem aufgestellt werden, bei dem die Variablen [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math] jeweils für die unbekannten Preise stehen:[br][br][math] \begin{array}{rrrr}[br]a +&b+&c =& 170\\[br]2\,a +&2\,b+&c =& 270\\[br]6\,a +&6\,b+&3\,c =& 810[br] \end{array} [/math][br]

Die Buchstaben in einem Gleichungssystem sind unsere [color=#980000][b]Variablen[/b][/color]. Die Faktoren, die vor den Variablen stehen, heißen [color=#980000][b]Koeffizienten[/b][/color]. Die Zahlen rechts vom Gleichheitszeichen werden als [color=#980000][b]Absolutglieder[/b][/color] bezeichnet. [br][br]Ein [color=#980000][b]quadratisches Gleichungssystem[/b][/color] ist eines, das genau so viel Gleichungen besitzt, wie Variablen.[br][b]Es ist nur dann möglich, eine eindeutige Lösung für ein Gleichungssystem zu berechnen, wenn es mindestens genau so viel Gleichungen gibt, wie es Varaiablen gibt[/b]. Wenn es mehr Gleichungen als Variablen gibt, dann ist ein Gleichungssystem [color=#980000][b]überbestimmt[/b][/color]. In einem solchen Fall gibt es oft gar keine Lösung. Wenn es weniger Gleichungen als Variablen gibt, dann ist ein Gleichungssystem [color=#980000][b]unterbestimmt[/b][/color]. In einem solchen Fall gibt es oft unendlich viele Lösungen.[br][br]Wenn alle Absolutglieder gleich Null sind, dann spricht man von einem [color=#980000][b]homogenen Gleichungssystem[/b][/color].

Man kann ein Gleichungssystem auch mit Hilfe von Matrizen schreiben. Das erspart viel Schreibarbeit und ist beim Rechnen oft auch übersichtlicher:[br]Das Gleichungssystem[br][br][math] \begin{array}{rrrr}[br]x_1 +&x_2+&x_3 =& 170\\[br]2\,x_1 +&2\,x_2+&x_3 =& 270\\[br]6\,x_1 +&6\,x_2+&3\,x_3 =& 810[br] \end{array} [/math][br]lässt sich auch schreiben, als:[br][math] \begin{pmatrix}[br]1&1&1\\2&2&1\\6&6&3[br]\end{pmatrix} [br]\cdot \vec x = \vec b[/math] mit der sogenannten [color=#980000][b]Koeffizientenmatrix[/b][/color] und den Vektoren [math] \vec x= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3[br]\end{pmatrix} [/math] und [math] \vec b= \begin{pmatrix} 170\\270\\810[br]\end{pmatrix} [/math][br][br]Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen verwendet man oft den Gauß-Algorithmus. Dafür verwendet man in der Regel die [color=#980000][b]erweiterte Koeffizientenmatrix[/b][/color]:[br][math]\left(\begin{array}{ccc|c}[br]1&1&1&170\\2&2&1&270\\6&6&3&810[br]\end{array}\right)[/math]

Man kann ein Gleichungssystem auch mit Hilfe von Matrizen schreiben. Das erspart viel Schreibarbeit und ist beim Rechnen oft auch übersichtlicher:[br]Das Gleichungssystem[br][br][math] \begin{array}{rrrr}[br]x_1 +&x_2+&x_3 =& 170\\[br]2\,x_1 +&2\,x_2+&x_3 =& 270\\[br]6\,x_1 +&6\,x_2+&3\,x_3 =& 810[br] \end{array} [/math][br]lässt sich auch schreiben, als:[br][math] \begin{pmatrix}[br]1&1&1\\2&2&1\\6&6&3[br]\end{pmatrix} [br]\cdot \vec x = \vec b[/math] mit der sogenannten [color=#980000][b]Koeffizientenmatrix[/b][/color] und den Vektoren [math] \vec x= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3[br]\end{pmatrix} [/math] und [math] \vec b= \begin{pmatrix} 170\\270\\810[br]\end{pmatrix} [/math][br][br]Eine Übung zum Erstellen einer Matrix-Gleichung aus Gleichungssystemen ist hier zu finden: [b][url=https://www.geogebra.org/m/xpj2qgzn#material/abjp8u3d]Lösen mit inversen Matrizen[/url][/b][br][br]Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen verwendet man oft den Gauß-Algorithmus. Dafür verwendet man in der Regel die [color=#980000][b]erweiterte Koeffizientenmatrix[/b][/color]:[br][math]\left(\begin{array}{ccc|c}[br]1&1&1&170\\2&2&1&270\\6&6&3&810[br]\end{array}\right)[/math][br][br]Eine Übung zum Erstellen von erweiterten Koeffizientenmatrizen aus Gleichungssystemen ist hier zu finden: [url=https://www.geogebra.org/m/xpj2qgzn#material/eqth9rhg][b]Gleichungssysteme und Matrizen[/b][/url]

Ein großer Teil unseres Mülls besteht eigentlich aus wertvollen Rohstoffen. Und so gibt es inzwischen viele Möglichkeiten, aus diese Rohstoffen wieder neue Produkte herzustellen.[br]In Norwegen werden aus dem Wasser gefischte Müll, wie netzte Seile, alte Bojen als Rohstoff zu dem Zwischenprodukt Kunststoff-Granulat verarbeitet.Aus diesen Granulaten kann man wieder neuwertige Kunststoffprodukte herstellen:[br]Ein Unternehmen stellt aus Netzen (R1), Seilen (R2) und alten Kunstoff-Kanistern (R3) als Rohstoff Kunststoff-Granulate als Zwischenprodukt her. Diese Granulate gibt es dann in 4 verschiedenen Farbe: Rot (Z1), gelb (Z2), blau (Z3) und weiß (Z4). Aus den Kunststoff-Granulaten werden als Endprodukt Konferenzstühle (E1), Tabletts (E2) und Rohre (E3) hergestellt. Dieser zweistufige Produktionsprozess lässt sich grafisch in einem "Gozintographen" darstellen. Aus dem Gozintographen kann man ablesen, wie viel von welchem Rohstoff für welches Zwischenprodukt benötigt wird und wie viel von welchem Zwischenprodukt im jeweiligen Endprodukt verarbeitet wird:[br][br](Das Wort "Gozintographen" wurde aus den englischen Worten "goes into" gebildet.)

Die [b][color=#66bb55]Zahlen, die auf den Verbindungsstrecken zwischen den Rohstoffen und den Zwischenprodukten[/color][/b] stehen, geben an, wie viel von dem jeweiligen Rohstoff benötigt wird, um [i][b]genau ein[/b][/i] entsprechendes Zwischenprodukt herzustellen. Genau so erfährt man von den [color=#9900ff][b]Zahlen, die auf den Verbindungsstrecken zwischen den Zwischenprodukten und den Endprodukten[/b][/color] stehen, wie viel von dem jeweiligen Zwischenprodukt benötigt wird, um [i][b]genau ein[/b][/i] entsprechendes Endprodukt herzustellen. [br][br]Natürlich kann man den gleichen Sachzusammenhang auch in Tabellen oder eben in Matrizen darstellen.[br]Die Matrix [b][i][color=#980000]A[/color][/i][/b] soll den Produktionsschritt von den Rohstoffen zu den Zwischenprodukten wiedergeben. Es gilt "Zeilen zuerst, Spalten später", also sind die Zeilen die Rohstoffe und die Spalten die Zwischenprodukte, denn die Rohstoffe gibt es schon, bevor die Zwischenprodukte produziert werden:[br][math]A=\left(\begin{array}{rrrr}5&3&0&0\\2&3&1&4\\0&1&0&6\\\end{array}\right)[/math] [br]Genauso lässt sich auch der zweite Produktionsschritt von den Zwischenprodukten und den Endprodukten in einer Matrix [b][i][color=#980000]B[/color][/i][/b] abbilden. Auch hier gilt "Zeilen zuerst, Spalten später", also sind in dieser Matrix die Zeilen die Zwischenprodukte und die Spalten die Endprodukte:[br][math]B=\left(\begin{array}{rrr}10&5&1\\3&2&5\\4&0&5\\0&3&4\\\end{array}\right)[/math]

Wie viel von welchem Rohstoff brauche ich, um [i][b]genau eines[/b][/i] der Endprodukte herzustellen? Das kann auch in einer Matrix dargestellt werden, die den Namen [b][i][color=#980000]C[/color][/i][/b] bekommt. Die Matrix [b][i][color=#980000]C[/color][/i][/b] lässt sich mit Hilfe der Matrizenmultiplikation ganz einfach aus den Matrizen [b][i][color=#980000]A[/color][/i][/b] und [b][i][color=#980000]B[/color][/i][/b] berechnen:[br][math]C = A\cdot B =\left(\begin{array}{rrrr}5&3&0&0\\2&3&1&4\\0&1&0&6\\\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{rrr}10&5&1\\3&2&5\\4&0&5\\0&3&4\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}59&31&20\\33&28&38\\3&20&29\\\end{array}\right)[/math]

Wassily Leontief (1905-1999) erhielt für seine Input-Output-Analyse 1973 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. [br]Eine Volkswirtschaft in ihrer Gesamtheit zu verstehen ist ausgesprochen schwierig, weil viele Sektoren der Wirtschaft voneinander abhängig sind. Wenn der Energiesektor einer Wirtschaft - zum Beispiel wegen einer Ölkrise - Probleme hat, dann schlägt sich das zum Beispiel deutlich auf den Verkehrssektor nieder, weil teurere Kraftstoffe zu einem anderen Konsumverhalten bei Treibstoffen und Kraftfahrzeugen führen. Wenn Transportkosten steigen, dann beeinflusst das auch die Industrie oder die Landwirtschaft...[br][br]Leontief teilte für seine Analyse die amerikanische Volkswirtschaft in 42 Sektoren und betrachtete dann deren Verflechtung miteinander. Hier werden im Weiteren jeweils nur drei Sektoren verwendet, um das Prinzip dieser Input-Output-Analyse zu erklären. Inzwischen haben sich für dieses Modell viele weitere Anwendungen gefunden. Leontief selbst erweiterte sein Modell auch auf Ökologische Fragestellungen. So kann es zum Beispiel dafür verwendet weren, die Bilanzierung des Ausstoßes von Treibhausgasen von Betrieben zu untersuchen u.a.. [br]

Das Verflechtungsdiagramm oben lässt sich auch in Form einer Tabelle darstellen:[br][br][math]\begin{tabular}[br]{\phantom{xx}}&&\text{L} &\text{V}&\text{I}&\text{Konsum\\\qquad y} &\text{Gesamt-\\produktion\\\qquad x}\\[br]\hline[br]\text{Landwirtschaft}&\text{L}&20&100&40&140&300\\[br]\hline[br]\text{Verkehr}&\text{V}&50&120&40&60&270\\[br]\hline[br]\text{Industrie}&\text{I}&60&60&80&200&400[br]\end{tabular}[/math][br][br]Auch in dieser Tabelle gilt "Zeilen zuerst, Spalten später". Die Zeilen beschreiben wie viel geliefert wird und in den Spalten sieht man, welcher Vektor wie viel von welchem bekommt. Der Verkehr bekommt also Waren aus der Landwirtschaft in einem Wert von 100 Geldeinheiten (s.o.), vielleicht in Form von Bio-Kraftstoffen. Die Landwirtschaft bekommt aus dem Sektor Verkehr Waren oder Dienstleistungen im Wert von 50 Geldeinheiten.[br][br]Mit dem folgenden Applet kann geübt werden, eine solche Input-Output-Tabelle aus dem Verflechtungsdiagramm zu erstellen.

Wenn es wegen einer Tierseuche oder durch Wetterextreme die Produktion in der Landwirtschaft ändert, dann wird es evtl. auch weniger industriell hergestellte Nahrungsmittel geben und dadurch vielleicht auch weniger Transporte. Vielleicht fangen Konsumenten an mit Hamsterkäufen ...[br][br]Was solche Änderungen alles für Folgen haben, ist in einem so vernetzten System nur sehr schwer vorherzusagen. [b][color=#980000]Daher ist es von Vorteil, wenn eine Formulierung für die Abhängigkeiten der Sektoren untereinander gefunden werden kann, die unabhängig von der Gesamtproduktion ist. [/color][/b]Denn dann können später unterschiedliche Produktionsmengen eingesetzt werden und es lässt sich nachvollziehen, welchen Einfluss das auf das ganze System hat.

Betrachten wir wieder die drei Sektoren Landwirtschaft, Verkehr und Industrie:[br][math]\begin{tabular}[br]{\phantom{xx}}&&\text{L} &\text{V}&\text{I}&\text{Konsum \\\qquad y} &\text{Gesamt-\\produktion\\\qquad x}\\[br]\hline[br]\text{Landwirtschaft}&\text{L}&\fgcolor{#CC0000}{20}&\fgcolor{#CC0000}{100}&\fgcolor{#CC0000}{40}&140&\fgcolor{#00CC00}{300}\\[br]\hline[br]\text{Verkehr}&\text{V}&\fgcolor{#CC0000}{50}&\fgcolor{#CC0000}{120}&\fgcolor{#CC0000}{40}&60&\fgcolor{#0000CC}{270}\\[br]\hline[br]\text{Industrie}&\text{I}&\fgcolor{#CC0000}{60}&\fgcolor{#CC0000}{60}&\fgcolor{#CC0000}{80}&200&\fgcolor{#996600}{400}[br]\end{tabular}[/math][br][br]Wenn der Sektor Landwirtschaft nur noch die Hälfte produziert, dann braucht er auch nur noch die Hälfte der Produkte und Dienstleistungen von sich selbst und aus den Sektoren Verkehr und Industrie zu beziehen. Das heißt die erste Spalte der Input-Output-Tabelle wird dann in allen Zahlen halbiert. [br]Wenn man die erste Spalte der Input-Output-Tabelle nicht durch zwei, sondern durch die Gesamtproduktion teilt, dann erhält die erste Spalte die Information, wie viel Produkte und Dienstleistungen [b]für genau eine Mengeneinheit[/b] landwirtschaftlicher Produkte benötigt werden. Wird nach der gleichen Idee auch die zweite Spalte durch die Gesamtproduktion des zweiten Sektors geteilt und die dritte Spalte durch die Gesamtproduktion des dritten Sektors, dann geben die Zahlen der Tabelle nur noch wieder, [color=#980000]wie viel Ressourcen und Produkte für jeweils [b]genau eine[/b] Mengeneinheit Produktion benötigt werden[/color]. Dabei ensteht aus den Zahlen, die die Verflechtungen der Sektoren untereinander beschreiben, die [b]von der Gesamtproduktion unabhängige[/b] [b][color=#980000]technologische Matrix[/color][/b].[br][br]Diese [color=#980000][b]technologische Matrix[/b][/color] - manchmal auch [color=#980000][b]Inputmatrix[/b][/color] genannt wird im Folgenden einfach mit [color=#980000][b]A [/b][color=#000000]bezeichnet. [/color][/color][br][br][math][br]\mathbf A = \begin{pmatrix} [br]\frac \fgcolor{#CC0000}{20}\fgcolor{#00CC00}{300}&\frac \fgcolor{#CC0000}{100}\fgcolor{#0000CC}{270}&\frac \fgcolor{#CC0000}{40}\fgcolor{#996600}{400}\\[br]\frac \fgcolor{#CC0000}{50}\fgcolor{#00CC00}{300}&\frac \fgcolor{#CC0000}{120}\fgcolor{#0000CC}{270}&\frac \fgcolor{#CC0000}{40}\fgcolor{#996600}{400}\\[br]\frac \fgcolor{#CC0000}{60}\fgcolor{#00CC00}{300}&\frac \fgcolor{#CC0000}{60}\fgcolor{#0000CC}{270}&\frac \fgcolor{#CC0000}{80}\fgcolor{#996600}{400}\\[br]\end{pmatrix} =[br] \begin{pmatrix} [br]\frac {1}{15}&\frac {10}{27}&\frac {1}{10}\\[br]\frac {1}{6}&\frac {4}{9}&\frac {1}{10}\\[br]\frac {1}{5}&\frac {2}{9}&\frac {1}{5}\\[br]\end{pmatrix} \approx[br] \begin{pmatrix} [br]0,067&0,370&0,1\\[br]0,167&0,444&0,1\\[br]0,2&0,222&0,2[br]\end{pmatrix} [br][/math][br][br]Mit dem folgenden Geogebra-Applet kann das Erstellen einer technologischen Matrix geübt werden. Achten Sie darauf, dass es sich bei den Brüchen in der Lösung bereits um gekürzte Brüche handelt.

Es ist mühsam, aus der Input-Output-Tabelle die technologische Matrix in ein Computer-Algebra-System (CAS) einzugeben. Glücklicherweise gibt es dafür einen einfachen Weg mit Hilf der "[url=https://www.geogebra.org/m/xpj2qgzn#material/hkqgntbc]besonderen Matrizen[/url]".[br]Wenn man eine Matrix [math]\mathbf{M}[/math] von links mit einer Einheitsmatrix multipliziert, bei der in der ersten Zeile ein [math]a[/math] steht statt einer [math]1[/math], dann wird die erste Spalte der Matrix [math]\mathbf{M}[/math] mit [math]a[/math] multipliziert. Steht das [math]a[/math] in der zweiten Zeile, dann wird die zweite Spalte der Matrix [math]\mathbf{M}[/math] mit a multipliziert. Das kann man sich zu Nutze machen:[br][br][b][u]Ein Zahlen-Beispiel:[/u][/b][br]Gegeben ist die Input-Output-Tabelle[br][math]\begin{array}{c|c|c|c|c|c}[br]&A&B&C&y&x\\ \hline[br]A&30&95&55&80&260\\ \hline[br]B&10&65&80&245&400\\ \hline[br]C&110&60&95&95&360[br]\end{array}[/math][br][br]Dann kann man mit folgender Matrizenmultiplikation die technologische Matrix erstellen:[br][math]\mathbf A=\begin{pmatrix} 30&95&55\\10&65&80\\110&60&95\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac 1{260}&0&0\\0&\frac 1{400}&0\\0&0&\frac 1{360}\end{pmatrix} [/math][br][br]Das Ergebnis ist [br][math]\begin{pmatrix} \frac {30}{260}&\frac{95}{400}&\frac{55}{360}\\[br]\frac {10}{260}&\frac{65}{400}&\frac{80}{360}\\[br]\frac {110}{260}&\frac{60}{400}&\frac{95}{360}[br]\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{26}& \frac{19}{80}& \frac{11}{72}\\[br] \frac{1}{26}& \frac{13}{80}& \frac{2}{9}\\[br] \frac{11}{26}& \frac{3}{20}& \frac{19}{72}\end{pmatrix} [/math][br][br]Probieren Sie es aus!

Mit Hilfe der Analytischen Geometrie kann man Dinge, Gegenstände, Bewegungen oder Richtungen im dreidimensionalen Raum darstellen. Das braucht man zum Beispiel dazu, um als Architekt Häuser mit dem Computer zu entwerfen um in Fabriken Maschinen zu programmieren, die Dinge ausschneiden oder um mit Hilfe eines Navigationsgerätes seinen Weg zu finden.[br]Egal ob man eine Position oder eine Bewegung im dreidimensionalen Raum beschreibt, man braucht dazu drei Zahlen - für jede Dimension eine.

Es gibt mehrere Möglichkeiten einen Ort mit drei Zahlen zu beschreiben. Die sogenannten GPS-Koordinaten, mit denen die Navigationsgeräte in Autos und Handys arbeiten, die verwenden zwei Winkel (zum Besipiel "nördliche Breite" und "östliche Länge") und die Entfernung vom Erdmittelpunkt, also die Höhe. [br][br]Wir werden hier das[color=#980000][b] kartesische Koordinatensystem[/b][/color] verwenden. Es besteht aus drei Achsen, die [b]senkrecht[/b] aufeinander stehen. Sie heißen dann [math]x[/math]-Achse, [math]y[/math]-Achse und [math]z[/math]-Achse. Manchmal findet man auch die Bezeichnungen [math]x_1[/math]-Achse, [math]x_2[/math]-Achse und [math]x_3[/math]-Achse oder noch andere bezeichnungen.[br]Genaugenommen sollen diese Achsen in einem "Rechtssystem" angeordnet sein, das heißt: Wenn man die rechte Hand betrachtet, dann sind die Richtungen der abgespreizten Daumen - Zeigefinger - Mittelfinger die Richtungen der [math]x[/math]-, [math]y[/math]- und der [math]z[/math]-Achsen. Aber das wird in vielen Schriften gar nicht so genau genommen, man sollte jedes mal überprüfen, in welche RIchtung welche Achse zeigen sollen. Es gibt eigentlich immer eine Abbildung, die das 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oder [img]data:image/png;base64,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Beispiel findet man als Höhen-Achse oft die [math]y[/math]-Achse, weil dann zu dem bekannten [math]x[/math]-[math]y[/math]-System nur noch die dritte [math]z[/math]-Achse hinzugefügt wurde, aber gerade in technischen Anwendungen ist auch die [math]z[/math]-Achse oft die Höhen-Achse.

Punkt sind dazu da, um einen Ort zu definieren. Wir brauchen für einen Punkt eine [math]x[/math]-, eine [math]y[/math]- und eine [math]z[/math]-Koordinate. Die Schreibweise für einen Punkt [math]\mathbf P[/math] mit der [math]x[/math]-Koordinate 1, der [math]y[/math]-Koordinate 2 und der [math]z[/math]-Koordinate 3 ist:[br][center][math]\text{\LARGE{$\mathbf P(1\vert 2\vert 3) $}}[/math][/center]Tatsächlich steht hier zwischen dem Namen des Punktes [math]\mathbf{P}[/math] und den Koordinaten [math](1|2|3)[/math] kein Gleichheitszeichen. Bei Vektoren ist das anders (s.u.).[br][br]Im folgenden Applet kann der Punkt [math]\mathbf{P}(1|2|3)[/math] in einem dreidimensionalen System betrachtet werden. Bewegen Sie den Navigationspunkt, um das System zu drehen oder zu kippen.

Vektoren beschreiben eine Richtung. Nehmen wir als Beispiel die Richtung "Süden". Ich kann von Cuxhaven aus in Richtung "Süden" gehen, ich kann aber auch mitten in Paris stehen und in die Richtung "Süden" gehen, die Richtung ist die gleiche. So ist es auch bei Vektoren: Vektoren haben keinen Anfangs und keinen Endpunkt, sie weisen einfach in eine Richtung. Allerdings gibt es in kartesischen Koordinaten keine Himmelsrichtungen. Sehen wir uns ein Beispiel an:[br][br][center][math]\text{\LARGE{$\vec v= \begin{pmatrix} 0 \\8\\15 \end{pmatrix}$}}[/math][/center]Dieser Vektor sagt: "Gehe keinen Schritt in Richtung [math]x[/math], 8 Schritte in Richtung [math]y[/math] und 15 Schritte in Richtung [math]z[/math]". Wenn man dann vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt "dieser Wanderung" einen Pfeil malt, dann hat man den oben stehenden Vektor richtig gezeichnet.[br]

Ein Vektor hat zwei wichtige Eigenschaften: [br][list][*]eine Richtung und [/*][*]eine Länge[/*][/list]Das ist wichtig, um zum Beispiel einen Weg mit einem Vektor darzustellen. Es muss eine Richtung angegeben werden und eine Strecke, wie weit diese Richtung verfolgt werden soll. Ähnliches gilt für die Darstellung von Kräften und Geschwindigkeiten mit Vektoren.[br][br]Die Länge eines Vektors wird auch der [color=#980000][b]Betrag des Vektors[/b][/color] genannt. Daher wird die Länge auch mit Betragsstrichen gekennzeichnet. Manchmal wird auch der Name des Vektors ohne den darüberstehenden Pfeil verwendet, um dem Betrag einen Namen zu geben. Der Betrag eines Vektors lässt sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Im dreidimensionalen Fall allerdings in einer etwas erweiterten Fassung:[br][br][list][*]In 2 Dimensionen: [math]\left|\vec v \right|=v=\left| \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} \right|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}[/math] [/*][*]In 3 Dimensionen: [math]\left|\vec v \right|=v=\left| \begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix} \right|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}[/math] [br][/*][/list][br]

Es ist gar nicht so einfach die dreidimensionale Welt auf einem zweidimensionalen Bildschirm oder einem Blatt Papier darzustellen. Sowohl das Zeichnen also auch das Lesen solcher Zeichnungen erfordert ein dreidimensionales Vorstellungsvermögen, das sich aber gut trainieren lässt. Siehe dazu das nächste Kapitel "[url=https://www.geogebra.org/m/ussujf33]der Irrgarten[/url]".

Es gibt ein paar Vektoren, die einen eigenen Namen haben:[br][list][*]Der [color=#980000][b]Gegenvektor[/b][/color] zu einem Vektor [math]\mathbf{\vec{v}}[/math] ist ein Vektor, der genau so lang ist, aber in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Der Gegenvektor zu einem Vektor [math]\mathbf{\vec{v}}[/math] heißt [math]\mathbf{-\vec{v}}[/math] .[br]Der Gegenvektor zu [math]\begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix}[/math] ist der Vektor [math]\begin{pmatrix}-3\\5\\-2\end{pmatrix}[/math]. D.h. jede Koordinate ändert ihr Vorzeichen.[br] [/*][*]Der [color=#980000][b]Ortsvektor[/b][/color] eines Punktes [math]\mathbf{P}[/math] ist der Vektor vom Nullpunkt zum Punkt [math]\mathbf{P}[/math]. Man bezeichnet ihn mit [math]\overrightarrow{0P}[/math]. Ein "normaler" Vektor ist eine Richtung, das heißt er kann von jedem beliebigen Punkt aus beginnen. Das ist beim Ortsvektor anders: [b]Ein Ortsvektor beginnt immer im Nullpunkt[/b]. Der Ortsvektor des Punktes [math]\mathbf{P}(1|-2|7)[/math] ist der Vektor [math]\overrightarrow{0P}=\begin{pmatrix} 1\\-2\\7\end{pmatrix}[/math].[/*][*]Der [color=#980000][b]Nullvektor[/b][/color] ist ein Vektor, den man für Rechnungen ab und zu braucht. Aber er ist auch etwas seltsam, denn er hat [b]keine Richtung[/b]: In einem Nullvektor sind alle Koordinaten gleich Null. Das heißt zum Beispiel: Gehe [b]keinen[/b] Schritt in Richtung [math]x[/math], [b]keinen[/b] Schritt in Richtung [math]y[/math] und [b]keinen[/b] Schritt in Richtung [math]z[/math], also [math]\overrightarrow 0=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}[/math].[/*][*]Der [color=#980000][b]Einheitsvektor[/b][/color] ist ein Vektor, der eine Länge von [math]1[/math] hat. Mit folgendem Trick kann man aus jedem Vektor einen Einheitsvektor machen:[br][br][center][math]\vec e_v=\frac 1{\left|\vec v\right|}\cdot \vec v[/math] [/center][br]Das Multiplizieren eines Vektors mit der Zahl [math]\frac 1{\left|\vec v\right|}[/math] geht genau so, wie das Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl, jede Koordinate muss multipliziert werden.[br][/*][/list]