Bei Kurvendiskussionen sollen möglichst viele Eigenschaften einer Funktion bestimmt werden. Dies geht allerdings auch "rückwärts".[br]Wenn man eine Checkliste mit gewünschten Eigenschaften (also einen Steckbrief) hat und dazu eine passende Funktion finden soll, nennt man dies Steckbriefaufgabe.[br][br][color=#38761D]In dieser Lernumgebung geht es darum, wie man eine solche Steckbriefaufgabe löst.[/color]
Die Tyne-Bridge im Nordosten Englands ist eine sogenannte Bogenbrücke und verbindet die Ortschaften [i]Newcastle upon Tyne[/i] und [i]Gateshead[/i] miteinander.[br]Ihr Bogen kann näherungsweise durch eine quadratische Funktion beschrieben werden.[br][br]Die Bogenhöhe beträgt 59 m, die Fußpunkte sind 162 m voneinander entfernt. [br][br][color=#38761D][color=#1155Cc]Passt die Parameter[/color] [math]a[/math][color=#0000ff],[/color][/color] [color=#38761D][math]b[/math] [color=#1155Cc]und[/color][/color] [math]c[/math] [color=#1155Cc]im untenstehenden Applet so an, dass die Funktion[/color] [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] [color=#1155Cc]durch die vorgegebenen Punkte verläuft.[/color]
Wie lauten die korrekten Parameter?
[math]a=-0,009[/math], [math]b=0[/math], [math]c=59[/math]
Wieso beschreibt die Funktionsgleichung den Brückenbogen nicht perfekt?
Möchte man eine Funktion ermitteln, die Punkte miteinander verbindet (also wie in Aufgabe 1), nennt man dies [b]Interpolation[/b]. Verwendet man hierfür eine Polynomfunktion, nennt man das ganze [b]Polynominterpolation[/b]. Die Funktion nennt man [b]Interpolationspolynom[/b].[br][br][i]Hinweis:[/i] Eine Polynomfunktion ist eine Funktion der Form [math]f\left(x\right)=a+bx+cx^2+dx^3+\dots[/math][br][br]Im untenstehenden Applet könnt ihr ein Interpolationspolynom sehen. Die Anzahl der Punkten, durch die die Funktion gehen soll, ist einstellbar.[br][br][color=#1155Cc]a.) Experimentiert mit dem Applet, indem ihr die Punkte an verschiedene Positionen zieht und die Anzahl der Punkte über den Schieberegler einstellt.[br][br]b.) Untersucht den Zusammenhang der Anzahl der Punkte und dem notwendigen Grad des Polynoms.[/color]
Welcher Zusammenhang besteht offenbar zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Punkte?
Der Grad der Polynomfunktion ist gleich der Anzahl der Punkte minus 1.[br]In Spezialfällen kann der Grad auch niedriger sein. Wenn z.B. alle Punkte auf einer Linie liegen, hat die Polynomfunktion den Grad 1, da zum Verbinden lediglich eine Gerade benötigt wird.
Wie viele Koeffizienten müssen also bestimmt werden?
[color=#1155Cc]Erarbeitet euch mithilfe des untenstehenden Applets, wie man eine Interpolationsfunktion rechnerisch bestimmen kann. [color=#1155Cc]Es soll eine Funktion bestimmt werden, die durch drei festgelegte Punkte verläuft.[/color][br][br]Übertragt die Rechenwege in eure Notizen.[br][/color]
In der Realität können Interpolationen genutzt werden, um mithilfe weniger Messwerte einen Verlauf darzustellen. Mithilfe dieses Verlaufs können dann Prognosen über die Zukunft abgegeben werden:[br][br]Mario wirft einen Ball: Der Ball verlässt die Hand auf einer Höhe von 2 m über dem Erdboden. 8 m entfernt von Mario befindet er sich auf einer Höhe von 3 m. 10 m entfernt befindet er sich noch auf einer Höhe von 2 m.[br][br][color=#1155Cc]a.) Stellt eine Funktiongleichung für die Flugbahn des Balls auf, indem ihr das erworbene Wissen aus Aufgabe 3 anwendet. Die untenstehenden Fragen könnt ihr zur Kontrolle aber auch zur Hilfestellung nutzen.[br][br]b.) Berechnet, in welcher Entfernung zu Mario der Ball auf dem Boden aufkommt.[br][br][i]Bonusaufgabe: [/i]Berechnet, wie hoch Mario den Ball geworfen hat.[/color]
Welche Punkte sind von der Aufgabenstellung vorgeben?
Welchen Grad hat die Funktionsgleichung?
Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung?
[math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math]
Welches Gleichungssystem ergibt sich?
[br]I: [math]c=2[/math][br] II: [math]64a+8b+c=3[/math][br]III: [math]100a+10b+c=2[/math]
Wie lauten die Parameter des Interpolationspolynoms?
[math]a=-\frac{1}{16}=-0,0625[/math], [math]b=\frac{5}{8}=0,625[/math], [math]c=2[/math]
Wie lautet ein Ansatz für den Aufgabenteil b?
[math]f\left(x\right)=0\text{ }\Rightarrow_{ }-\frac{1}{16}x^2+\frac{5}{8}x+2=0[/math]
Wie lautet die Lösung zu Aufgabenteil b?
[math]x\approx12,55[/math] m
Wie lautet die Lösung der Bonusaufgabe?
Mario hat den Ball ungefähr [math]3,56[/math] m hoch geworfen.
Funktionen lassen sich nicht nur durch die Wahl von Punkten festlegen. Man kann auch andere Eigenschaften in eine Funktion "einbauen", z.B. eine bestimmte Steigung.[br][br][color=#1155Cc]Beantwortet die untenstehenden Fragen zu Steckbriefaufgaben mit Steigung. Schaut euch ggf. das untenstehende Erklärvideo an (ab Minute 2:15).[/color]
Eine Funktion hat an der Stelle 4 die Steigung -2. Welche Bedingungen ergeben sich daraus (min. eine)?
Eine Funktion geht durch den Punkt P(-1|3). Welche Bedingungen ergeben sich daraus (min. eine)?
Eine Funktion hat eine Extremstelle bei E(1|7). Welche Bedingungen ergeben sich daraus (min. eine)?
Eine Funktion hat bei W(-10|0) eine Wendestelle und an dieser Wendestelle die Steigung -4. Welche Bedingungen ergeben sich daraus (min. eine)?
DIe allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion mit Grad 3 lautet:[br][math]f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d[/math][br]Wie lautet dann die dazugehörige Ableitung?
[math]f'\left(x\right)=3ax^2+2bx+c[/math]
Ein Funktion dritten Grades hat am Punkt (2|1) die Steigung 3.[br]Hieraus ergeben sich zwei Bedingungen. Stellt die zugehörigen Bedingungen auf und setze ein.
[br] I: [math]f\left(2\right)=1[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]8a+4b+2c+d=1[/math][br]II: [math]f'\left(2\right)=3[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]12a+4b+c=3[/math]
Reichen die beiden Bedingungen aus der vorherigen Frage aus, um die Funktion dritten Grades zu bestimmen? Begründe.
Nein, denn für das Berechnen von 4 Unbekannten ([math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math] und [math]d[/math]) werden 4 unabhängige Gleichungen benötigt. Die Bedingungen ergeben allerdings nur 2 Gleichungen.
Eine Funktion hat einen Hochpunkt bei H(-1|10) und schneidet die x-Achse an der Stelle 1.[br][br][color=#1155Cc]Stellt eine Funktionsgleichung auf, die diese Bedingungen erfüllt. Orientiert euch an den untenstehenden Fragen.[/color]
Welche Bedingungen ergeben sich aus der Aufgabenstellung?
[br] I: [math]f\left(-1\right)=10[/math] (Punkt)[br] II: [math]f'\left(-1\right)=0[/math] (Steigung = 0 an Extremstelle)[br]III: [math]f\left(1\right)=0[/math] (Schnittpunkt mit der x-Achse)
Welchen Funktionsgrad sollte man für den Ansatz wählen?
3 Bedingungen [math]\Rightarrow[/math] Es können 3 Unbekannte bestimmt werden [math]\Rightarrow[/math] Grad 2
Wie lauten die benötigten allgemeinen Funktionsgleichungen?
[br][math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][br][math]f'\left(x\right)=2ax+b[/math]
Wie sieht das Gleichungssystem aus?
[br] I: [math]a-b+c=10[/math][br] II: [math]-2a+b=0[/math][br]III: [math]a+b+c=0[/math]
Verifiziert eure Lösung mithilfe des untenstehenden Applets.
[size=50][b]Quellen und Lizenzen: [/b][br]Bild mit Brücke:[br] Titel: bridge-arch-reflection-landmark-waterway-arch-bridge-905291-pxhere.com[br] Urheber: NA[br] Lizenz: CC 0[br] Link zur Lizenz: https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.de[br] Ursprungsort: pxhere.com[br][br]Erklärvideo: [br] Titel: Steckbriefaufgaben - Bestimmen ganzrationaler Funktionen Teil 1/2[br] Urheber: Kochrezepte für Mathematik[br] Lizenz: CC BY 3.0[br] Link zur Lizenz: https://creativecommons.org/licenses/by/3.0/[br] Ursprungsort: Youtube[br] [/size]