Die Gleichung [math]e^{ix}=\cos x+i\sin x[/math] liefert eine Möglichkeit Sinus und Cosinus durch [math]e^{ix}[/math] und [math]e^{-ix}[/math] auszudrücken. Dazu geht man wie folgt vor:[br][list=1][*]Wegen [math]e^{ix}=\cos x+i\sin x[/math] gilt auch: [math]e^{-ix}=\cos(- x)+i\sin(- x) = \cos x - i \sin x[/math].[/*][*]Addition dieser Gleichungen liefert: [math]e^{ix} + e^{-ix}=\cos x+i\sin x + \cos x - i \sin x = 2\cos x.[/math].[/*][*]Subtraktion dieser Gleichungen liefert: [math]e^{ix} - e^{-ix}=\cos x+i\sin x - \big( \cos x - i \sin x \big) = 2\sin x[/math].[/*][*]Die Gleichungen aus 2 und 3 lassen sich leicht umstellen zu:[br][math]\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}[/math] und [math]\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}[/math][br][/*][/list][br]Mithilfe dieser Gleichungen kann man sehr einfach rechnen. Probieren Sie dies im folgenden Arbeitsauftrag selbst aus.[br]

[list=a][*][b]Beweisen Sie das Additionstheorem[/b] [math]\sin x\sin y-\cos x\cos y=\cos\left(y+x\right)[/math] mithilfe der neuen Formeln. [br][br][size=85][i][color=#cc0000]Vorsicht[/color]: Dieser Beweis ersetzt für uns leider nicht den Geometrischen Beweis, den Sie ggf. an anderer Stelle durchgeführt haben (z. B. iMPACt+ Skript 2018, S. 404). Das liegt daran, dass wir die Additionstheoreme bereits verwendet haben, um zu zeigen, dass für komplexe Zahlen auch [math]e^{z+w}=e^ze^w[/math] gilt. Das benutzt man aber natürlich, wenn man das Additionstheorem mithilfe der neuen Formeln beweist ([math]ix,x\in\mathbb{R}[/math] ist eine komplexe Zahl.).[/i][/size][br][br][/*][*][b]Beweisen Sie den Satz des Pythagoras[/b] [math]\cos^2x+\sin^2x=1[/math] mithilfe der neuen Formeln.[br]([i]Zusatz[/i]: Wieso ist das der Satz des Pythagoras?)[/*][*][b]Beweisen Sie [/b]die Gleichung: [math]\sin^2x=\frac{1}{2}\left(1-\cos\left(2x\right)\right)[/math].[/*][/list]Unter https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen und den darauf folgenden Abschnitten finden Sie eine ganze Menge von Gleichungen, die Sie sich jetzt nicht mehr merken müssen, da Sie sie (vergleichsweise leicht) nachrechnen können.[br]