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Sie sollten im Arbeitsblatt [url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/umpyyx2n][i][color=#095EBC]M3.I.1c AB Linearkombinationen von Vektoren[/color][/i][/url] in Kapitel I prüfen, ob ein bestimmter Vektor [math]\vec{f}[/math] als Linearkombination von anderen Vektoren [math]\vec{r}[/math], [math]\vec{g}[/math], [math]\vec{b}[/math] (also als Summe von Vielfachen der Vektoren) darstellbar ist: [math]\vec{f}=k\cdot\vec{r}+l\cdot\vec{g}+m\cdot\vec{b}[/math].[br]Sie haben im Arbeitsblatt mit GeoGebra die unbekannten Faktoren [math]k,l,m[/math] der Vektoren [math]\vec{r}=\left(\begin{matrix}1\\8\\4\end{matrix}\right)[/math] [math]\vec{g}=\left(\begin{matrix}3\\4\\6\end{matrix}\right)[/math] und [math]\vec{b}=\left(\begin{matrix}2\\5\\1\end{matrix}\right)[/math] bestimmt als Linearkombination zum Vektor [math]\vec{f}=\left(\begin{matrix}12\\24\\18\end{matrix}\right)[/math].

Untersuchen Sie die nachfolgende Lösung des Beispiels aus Kapitel I mit GeoGebra CAS und identifizieren Sie in den Eingaben die Komponenten der Vektoren.[br](Tipp: Die unbekannten Faktoren wurden hier mit [math]x,y,z[/math] bezeichnet.)

[table][br][tr][td]0.[/td][td]Ausgangspunkt ist die Gleichung der Linearkombination [math]x\cdot\vec{r}+y\cdot\vec{g}+z\cdot\vec{b}=\vec{f}[/math], [br]im Beispiel [math]x\cdot \begin{pmatrix}1\\8\\4\end{pmatrix}+y\cdot \begin{pmatrix}3\\4\\6\end{pmatrix}+z\cdot \begin{pmatrix}2\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\24\\18\end{pmatrix}[/math].[/td][/tr][br][tr][td]1.[/td][td]Multipliziert man die Faktoren mit dem jeweiligen Vektor ergibt sich aus der Gleichung der Linearkombination [math]\begin{pmatrix}x\\8x\\4x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3y\\4y\\6y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2z\\5z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\24\\18\end{pmatrix}[/math] nach der Rechenregel der Multiplikation eines Vektors mit einem Faktor.[/td][/tr][br][tr][td]2.[/td][td]Nach der Rechenregel zur Addition von Vektoren kann man die Gleichung weiter zusammenfassen:[br][math]\begin{pmatrix}x+3y+2z\\8x+4y+5z\\4x+6y+z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\24\\18\end{pmatrix}[/math][/td][/tr][br][tr][td]3.[/td][td]Jetzt kann man die Vektoren auf der linken und rechten Seite der Gleichung komponentenweise vergleichen, denn beide Vektoren müssen in allen Komponenten übereinstimmen. [br][/td][/tr][tr][td]4.[/td][td]So erhält man drei einzelne Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen: [br][math]x+3y+2z=12[/math][br][math]8x+4y+5z=24[/math][br][math]4x+6y+z=18[/math][br][/td][/tr][/table][br][b]Gleichungssystem: [/b]Die drei einzelnen Gleichungen bilden ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten, das mithilfe von GeoGebra CAS gelöst werden kann.

[table][tr][td]1.[/td][td]Geben Sie die erste Gleichung [code]x+2y+3z=60[/code] in die [i]Eingabezeile[/i] ein und drücken Sie [i]Enter[/i].[/td][/tr][br][tr][td][/td][td][b]Hinweis: [/b][br]Im CAS-Rerchner werden die Gleichungen bei der Eingabe NICHT automatisch beschriftet. Im Kontextmenü können Sie dies über [code]Beschriftung hinzufügen[/code] nachholen. [/td][/tr][br][tr][td]2.[/td][td]Geben Sie die zweite Gleichung [code]gl2: 2x-3y+5z=68[/code] in die [i]Eingabezeile [/i]ein und drücken Sie [i]Enter.[/i][br][/td][/tr][tr][td]3.[/td][td]Geben Sie die dritte Gleichung [code]gl3: -x+y-z=-13[/code] in die [i]Eingabezeile [/i]ein und drücken Sie [i]Enter[/i].[br][/td][/tr][br][tr][td]4.[/td][td]Öffnen Sie das Kontextmenü und wählen Sie [i]Lösen[/i], um das Gleichungssystem zu lösen.[/td][/tr][/table][br][b]Anmerkung:[/b] Die Lösung des Gleichungssystems wird als Liste mit den entsprechenden Werten für die Variablen [i]x[/i], [i]y [/i]und [i]z [/i]angezeigt.[br]Sie können den Umschaltbutton [img]https://mategnu.de/bilder/ggb/umschalt_dez.jpg[/img] für numerische Ausgabe auswählen, um die Lösungen als gerundete Dezimalzahlen anzuzeigen. Wählen Sie den entsprechenden Umschaltbutton [img]https://mategnu.de/bilder/ggb/umschalt_num.jpg[/img], um wieder die symbolische Ausgabe zu erhalten.