Quadrados sobre paralelogramo
Construa um paralelogramo [math]ABCD[/math] de lados [math]AB[/math], [math]BC[/math],[math]CD[/math] e [math]DA[/math]. Em cada um de seus lados, construa quadrados para fora do paralelogramo. Marque, então, os centros [math]E[/math], [math]F[/math], [math]G[/math] e [math]H[/math] desses quadrados e, por fim, desenhe o quadrilátero [math]EFGH.[/math]
Mova os pontos livres e, se houver, os semilivres, observando o quadrilátero [math]EFGH[/math]. Você consegue identificar algum invariante geométrico?
Imagem 1
[justify][b]Demonstração: [/b]Queremos mostrar que [math]EFGH[/math] é um quadrado. Isto é, todos os lados têm comprimentos iguais e seus ângulos internos são reto. [/justify][br]Para justificar que [math]FG=GH[/math], vamos mostrar que os triângulos [math]FBG[/math] e [math]HCG[/math] são congruentes (por lado-ângulo-lado - LAL). As demais igualdades de lados pode ser feita de maneira análoga ao que faremos para essa igualdade.[br][br]Considere os ângulos [math]\angle DCB=\theta[/math][math][/math] [math]\angle ABC=\beta[/math] e [math]\angle PBQ=\alpha[/math]
Imagem 2
Como [math]\theta+\beta=180[/math]º (Exercício 1, a seguir) e [math]\alpha+\beta=180^{\circ}[/math] (Exercício 2), então [math]\alpha+\beta=\theta+\beta[/math], desse modo temos que [math]\alpha=\theta[/math]. Além disso, [math]BG=CG[/math] (ambos são a metade da diagonal do quadrado) e [math]BF=CH[/math], portanto, os triângulos [math]FBG[/math] e [math]HCG[/math] são congruentes por LAL. Por isso, [math]FG=GH[/math].[br][br]Agora vamos mostrar que o ângulo interno de[math]EFGH[/math] em G mede [math]90^{\circ}[/math]. [br][br]Considere o ângulo [math]\angle BGH=\omega[/math].
Lembre-se que as diagonais de qualquer quadrado formam [math]90^{\circ}[/math]. Por isso, [math]\omega=90^{\circ}-\angle HGC[/math]. Como os triângulos [math]BFG[/math] e[math]CGH[/math] são congruentes, os ângulos adjacentes a G são iguais. Portanto, [math]\omega=90^{\circ}-\angle BGF[/math]. Logo [math]\lambda=90^{\circ}[/math]. Assim, [math]EFGH[/math] é um losango com um ângulo interno reto, logo, [math]EFGH[/math] é um quadrado pois em qualquer paralelogramo os ângulos opostos são iguais e os ângulos consecutivos são suplementares.
Imagem 3
Exercício 1
Explique por que os ângulos internos consecutivos [math]\beta[/math] e [math]\theta[/math] do paralelogramo [math]ABCD[/math] são suplementares, isto é, explique por que [math]\beta+\theta=180^{\circ}[/math] .
Explique por que os triângulos BFG e CGH são congruentes na demonstração.
Qual propriedade dos ângulos é utilizada para justificar que [math]\alpha=\theta[/math] na demonstração?