Considérons un cube et les diagonales de ses faces carrées. Il contient deux grands tétraèdres.[br][br]Quel est la portion du volume d'un grand tétraèdre? Une manière difficile de répondre est d'appliquer la formule [math]\mathcal{V}_T=\frac 13\mathcal{A}_B\times h[/math]. Pour ça, il nous faut chercher l'aire d'une des quatre base: un triangle équilatéral de côté [math]a[/math] a une aire [math]\mathcal{A}_B=\frac{a^2\sqrt 3}4[/math] mais sa hauteur... pas facile![br][br]Procédons autrement en nous intéressant aux coins qui sont aussi des tétraèdres, c'est-à-dire des pyramides, dont une base et une hauteur sont plus simples: ce sont respectivement une demie face et un côté du carré.[br] [br] Si [math]a[/math] est le côté du tétraèdre, le côté du carré est [math]b=\frac a {\sqrt 2}[/math] car [math]a[/math] est la diagonale du carré. Donc le volume du cube est [math]\mathcal{V}_C=\left(\frac a {\sqrt 2}\right)^3=\frac {a^3} {2\sqrt 2}[/math]. [br][br]L'aire d'une face, un carré de côté [math]b=\frac a {\sqrt 2}[/math] est [math]\mathcal{A}_F=b^2=\left(\frac a {\sqrt 2}\right)^2=\frac {a^2} 2[/math]. Une demi-face, c'est-à-dire la base d'un des coins est donc la moitié [math]\mathcal{A}_{B'}=\frac {b^2}2=\frac {a^2} 4[/math].[br][br]Le volume d'un des coins est donc [math]\mathcal{V}_{T'}=\frac 13\mathcal{A}_{B'}\times b=\frac 13\times\frac {a^2} 4\times\frac a {\sqrt 2}=\frac{a^3}{12\sqrt 2}=\frac{b^3}6[/math], un sixième du volume du cube.[br][br]Il y a 4 coins dans le cube. Le volume du tétraèdre régulier restant est donc [math]\mathcal{V}_{T}=\mathcal{V}_C-4\mathcal{V}_{T'}=\frac {a^3} {2\sqrt 2}-4\times\frac{a^3}{12\sqrt 2}=\frac {a^3} {\sqrt 2}\left(\frac12-\frac13\right)=\frac {a^3} {6\sqrt 2}=\frac{b^3}3[/math].[br][br]On a donc le volume du cube qui est décomposé en quatre sixièmes pour les coins et un tiers pour le tétraèdre régulier central. Voici une autre incarnation du [url=https://www.geogebra.org/m/xAMXmMyk#material/VvbnnMEB]tiers de cube[/url].

Vous pouvez tourner autour de la décomposition du cube.