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Ce livre contient une présentation orthodromique de [math]A[/math] à [math]B[/math] de la [b]trigonométrie sphérique[/b] pour les [url=https://www.cegeplimoilou.ca/formations/diplomes-d-etudes-collegiales-dec-technique/230a0-technologie-de-la-geomatique-information-geospatiale-et-cartographie/]étudiants[/url] du cours [color=#888]201-003-LI[/color] [i]Trigonométrie appliquée à la géomatique[/i] au [url=https://www.cegeplimoilou.ca]Cégep Limoilou[/url].
Le but est d'atteindre le but le plus rapidement possible, ce dernier étant de comprendre comment l'on peut résoudre tous les triangles sphériques et ce, en 7 chapitres, si infimes qu'ils paraissent droits, ne reposant que sur les mathématiques élémentaires (mais ô combien riches) de l'école secondaire. Suivant cet objectif, de nombreuses facettes ont été écartées, la progression historique en premier malgré qu'elle soit particulièrement chère à l'auteur. L'on comblera ce vide, avec un plaisir certain, en se régalant de l'ouvrage si vivant et conduit par la beauté qu'est le [url=http://press.princeton.edu/titles/9834.html][b]Heavenly Mathematics[/b]: [i]The Forgotten Art of Spherical Trigonometry[/i][/url] de Glen Van Brummelen.
Au commencement sont les bases de la géométrie sphérique (chapitres [b]1[/b] à [b]4[/b]). Puis l'on découvre qu'il existe des pendants des lois des cosinus et des sinus pour de triangles sphériques (chapitre [b]5[/b]) qui suffisent, comme dans le plan, à résoudre n'importe quel triangle sphérique (chapitre [b]7[/b]). Après quelques rappels des conventions de localisation sur la Terre (chapitre [b]8[/b]), l'on résout trois problèmes classiques de trigonométrie sphérique (chapitre [b]9[/b]).
Au chapitre [b]10[/b], l'on trouvera des outils permettant de produire ses propres constructions sur une sphère.
Finalement, l'auteur rassemble quelques trouvailles (chapitres [b]11[/b] et [b]12[/b]) qui ne font pas partie du cours, mais qui sont des extensions naturelles et d'une grande beauté.
Il est évident que quiconque disposant des rudiments de l'algèbre linéaire peut atteindre la destination beaucoup plus rapidement. Mais il aurait été plus long d'exposer correctement ces notions que d'y aller directement, avec le peu que nous estimions connaître.
L'auteur s'est à dessein contenté, à de nombreux endroits, de n'exposer que les idées intuitives de ce qui pourrait s'allonger en une preuve, car ces idées qui appellent aux sens demeurent souvent bien plus convaincantes que lorsqu'on les étire pour plaire à la rigueur (c'est, en quelque sorte, à l'opposé d'une bonne histoire de pêche).
Ce sont des notes de cours qui ne se substituent pas à un cours. Elles sont un support à l'intelligence d'un enseignant de talent.
En somme, ce qu'il faut comprendre, c'est que cet ouvrage qui flotte dans le nuage s'adresse à l'intelligence et à la curiosité dont font preuve les étudiants de [url=https://www.cegeplimoilou.ca/formations/diplomes-d-etudes-collegiales-dec-technique/230a0-technologie-de-la-geomatique-information-geospatiale-et-cartographie/]géomatique[/url] du [url=https://www.cegeplimoilou.ca]Cégep Limoilou[/url]. Peut-être que d'autres y trouveront leur compte, qui sait, même si cela n'a pas d'importance.
[right][i]Patrice Tremblay[/i]
[color=#888]Automne 2016[/color][/right]
Table of Contents
Les 3 points de départ
Les plans en trois points
Une sphère coupée par un plan
Les grands cercles
Les grands cercles
Les arcs en degrés
Les triangles sphériques
Les triangles sphériques
Les angles sphériques
Des droites courbées
L'inégalité triangulaire
Le plus court chemin
a + b + c < 360°
Des différences remarquables
Les lois des cosinus et des sinus
La loi des cosinus sphérique
La distance entre deux points sur la Terre
La loi des sinus sphérique
Le triangle polaire
Le triangle polaire
Le polaire du polaire est l'original
Les côtés et les angles en supplémentaire
Comment dédoubler des résultats
La résolution de tous les triangles sphériques
a-b-c
A-B-C
a-C-b
A-c-B
A-a-b
a-A-B
Sur la Terre
La position d'un point sur une sphère
Les coordonnées géographiques
L'orthodromie
Les caps
Trois exemples d'application
La distance entre deux points sur la Terre
Un problème de navigation
Voyage sur un parallèle du monde
Le point final (où l'on produit entre autres ses propres constructions)
Des constructions sur une sphère
Des constructions sur la Terre
Bibliographie
En rappel (l'aire d'un triangle sphérique)
Le théorème de Girard (ou l'aire d'un triangle sphérique)
Les grands cercles sont les objets de base de la géométrie sphérique. Comme nous le verrons plus loin, les grands cercles sont les [i]droites[/i] de la sphère.
Comme en trigonométrie plane, les triangles (sphériques) sont les figures les plus importantes de la trigonométrie sphérique. Si l'on arrive à résoudre ces triangles sphériques, et nous y arriverons, à partir de quelques informations les caractérisant (par exemple, deux angles et un côté), nous pourrons mesurer des distances et des angles sur la sphère sans les mesurer directement.
C'est dans ce chapitre que l'on montre que le chemin le plus court entre deux points sur la sphère est l'arc de grand cercle les joignant. C'est pourquoi les arcs de grands cercles sont des segments de droites sphériques (même si, de prime abord, [i]droite[/i] et [i]sphérique[/i] semblent être des concepts diamétralement opposés).
On peut résoudre tous les triangles planaires à l'aide de la loi des cosinus (qui met en relation 3 côtés et 1 angle) et de la loi des sinus (qui met en relation des paires côté-angle). Deux lois similaires existent sur la sphère et permettront, comme dans le plan, de résoudre tous les triangles sphériques. Nous pourrons alors parler sérieusement de trigonométrie sphérique.
Il suffit de connaître [b]trois[/b] informations d'un triangle sphérique [math]ABC[/math] parmi les six (3 côtés et 3 angles) afin de le résoudre complètement (c'est-à-dire trouver les trois autres informations). Comme en trigonométrie plane, il y a six cas possibles, que l'on résoudra à l'aide des lois des sinus et des cosinus :
[list=1][*] Trois côtés ([math]a[/math]-[math]b[/math]-[math]c[/math])
[*] Trois angles ([math]A[/math]-[math]B[/math]-[math]C[/math])
[*] Un angle et ses deux côtés adjacents ([math]a[/math]-[math]C[/math]-[math]b[/math])
[*] Un côté et ses deux angles adjacents ([math]A[/math]-[math]c[/math]-[math]B[/math])
[*] Un angle, son côté opposé et un côté adjacent ([math]A[/math]-[math]a[/math]-[math]b[/math])
[*] Un côté, son angle opposé et un angle adjacent ([math]a[/math]-[math]A[/math]-[math]B[/math])[/list]
Dans ce chapitre, nous discutons de la façon de se localiser sur la Terre, de ce qu'on appelle une distance orthodromique, ainsi que des caps de départ et d'arrivée.
Ce chapitre contient trois questionnements classiques de distance (déjà vu au chapitre 5) et de navigation sur la Terre. Vous trouverez en abondance, dans les exercices, d'autres problèmes du même acabit.
Les feuilles contenant les quelques projections ne sont que visuelles; les explications, qui seraient probablement nécessaires, suivront dans les autres cours de géomatique.
[b][color=#d69210]ATTENTION[/color][/b] Ces appliquettes sont expérimentales et un tant soit peu lourdes : elles pourraient imploser sous leur propre poids...