Planos para el cálculo de la superficie de Villamiel, en 1660. Exposición del Archivo General de Simancas.
1ºBachillerato Ciencias. Trigonometría y Geometría
Trigonometría de Bachillerato (Currículum de Extremadura, España)
Table of Contents
- Definiciones
- Ángulos y razones trigonométricas
- Dibujo del ángulo, conocidas sus razones
- Funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente)
- Giros y Trigonometría
- Razones Trigonométricas de la suma/diferencia de ángulos
- Ejercicios y problemas
- Teorema Fundamental de la Trigonometría
- Ecuaciones trigonométricas sencillas
- Ec. trigonométricas (factorizables)
- Cálculo de distancias por Observación Simple (Trigonometría)
- Doble Observación (con Ángulo de depresión)
- Doble Observación (con ángulo de elevación)
- Distancia entre dos Puntos Inaccesibles
- Teorema de Pitágoras. Problemas
- La escalera de caracol y el Teorema de Pitágoras
- Otras aplicaciones
- Puente río Guadiana
- Copa de vino, aplicación de ángulos
- Electromagnetic Waves
- (Conceptos Básicos)
- ¿Qué es un RADIÁN?
- Razones trigonométricas
- Ángulo de elevación y depresión
- Geometría Plana y del Espacio
- Cálculo de áreas de figuras compuestas
- Volumen de Cuerpos Básicos
- Volumen y Superficie de Cuerpos
- Ángulos en la circunferencia
- Cálculo de ángulos en la circunferencia
- Proporcionalidad Geométrica y Semejanza
- Modelado Geométrico
Ángulos y razones trigonométricas
Expresión de un ángulo en radianes y cálculo de sus razones trigonométricas: seno, coseno y tangente.
Teorema Fundamental de la Trigonometría
Aplica el teorema fundamental para encontrar las razones trigonométricas.
Puente río Guadiana
Puente río Guadiana
¿Qué es un RADIÁN?
Un RADIÁN es el ángulo que aparece cuando la longitud del arco de la circunferencia, mide lo mismo que el radio.[br]El radián no depende del del tamaño de la circunferencia.[br][br]Una circunferencia completa tiene de ángulo:[br][br] 360 ° = 2 π radianes[br][br]Anima el deslizador del ángulo que aparece en la parte de arriba a la derecha y podrás observar como aparecen los distintos ángulos, tanto en radianes como en grados sexagesimales.
¿Qué es un RADIÁN?
Actividad de Geogebra para entender lo que es un radián.
Cálculo de áreas de figuras compuestas
En los siguientes [b]ejercicios[/b], calcularemos áreas de figuras compuestas. Para resolverlos, tendremos que aplicar algún método de cálculo de áreas (ver más abajo), pues no habrá una única fórmula que nos proporcione la solución.[br]Por último, te mostraremos un caso aplicado ¡ya de 1660!, con los planos para el cálculo de la superficie de la localidad de [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Villamiel]Villamiel[/url], junto con una [b]tarea[/b] relacionado.[br][br]Si quieres practicar primero con figuras simples, puedes probar con [url=https://www.geogebra.org/m/BtcGZuqa]esta otra actividad (clic aquí)[/url].
Instrucciones
[list][*]Puedes mover el centro (marcado con "x"), para ver mejor la figura.[/*][*]Cada respuesta correcta vale 2.5 puntos, y cada fallo resta 1 punto.[/*][*]La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser [color=#6aa84f][b]verde[/b][/color].[/*][*]Pulsa el botón "corregir" para comprobar si has hecho bien la figura.[/*][*]Redondea con 2 decimales.[/*][/list]
Métodos de cálculo de áreas
Está claro que no es posible tener una fórmula para el cálculo del área de cada figura.[br]Sin embargo, conociendo algunos métodos, no es necesario que recordemos muchas. [br][list][*]De hecho, la manera de deducir el área de un polígono regular, o de un trapecio se basan en estos métodos. [/*][*]Concretamente, en el de [b]descomposición de áreas[/b].[/*][*]Podemos dividir la figura en otras más pequeñas para las que sí conozcamos la fórmula.[br][list][*]Normalmente, se trata de sumar esas áreas más pequeñas, aunque[/*][*]a veces puede resultar útil pensar que lo que se ha hecho es "recortar" una figura pequeña a una figura mayor, para la cual también tenemos fórmula de su área.[br][/*][/list][/*][/list]
La superficie de Villamiel
Como curiosidad, mostramos esta imagen de un grabado de 1660, donde se utilizan las matemáticas y, en particular, el método de descomposición de áreas, para representar y calcular de la superficie de [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Villamiel_de_Toledo]Villamiel[/url] de Toledo. [br]En este caso, la planta se ha reducido a 48 figuras geométricas.
Tarea 1. Analizando el plano
Como se ve en la figura, para calcular la superficie de este terreno, dividieron el recinto amurallado en 48 parcelas para las cuales sí podían calcular el área aplicando una fórmula conocida. [br]Usaron las longitudes que sí podían medir sobre el terreno o en el mapa, usando proporcionalidad geométrica (la escala del mapa).[br][br]Ahora es [b]nuestro turno[/b] para hacer un pequeño análisis de estas figuras. Puedes elegir el plano anterior de Villamiel o elegir alguno similar de estos [url=https://www.mcu.es/ccbae/es/consulta/resultados_navegacion.do?busq_sobreautoridades=BAA20160058697&descrip_sobreautoridades=Obras%20sobre%20este%20tema:%20Planos%20catastrales-#[#BAA20060371421##]planos catastrales del S.XVII (archivo de Simancas)[/url] [también está el de Villamiel, por si se necesita con más resolución].[br]Se trata de, bien en forma de [b]tabla [/b]o en forma de [b]lista[/b], clasificar [br][list][*]cuáles han utilizado y [/*][*]cuántas hay de cada tipo. [br][list][*]Indicaremos los números de parcela de cada tipo[/*][*]también pondremos cuántas son en total.[/*][*]Por supuesto, la suma de todas deberá ser las 48 parcelas.[br][/*][/list][/*][*]Haremos un dibujo esquemático de este tipo de figura. [br]Como curiosidad, fíjate en que casi ninguno de los trapecios rectángulos está apoyado en sus bases.[/*][*]Pondremos la fórmula que nos permite calcular su área.[br][/*][/list]Puedes hacerlo en tu libreta, o bien en el espacio que proporcionamos a continuación.[br]
Tarea 2. Nuestro turno
Por último, es nuestro turno de hacer un plano como el de Villamiel, para el que calcularemos su superficie.[br][list=1][*]Podemos elegir nuestra "villa": pueblo, ciudad, o una localidad que nos guste, y hacer su plano aproximado.[br][list][*]También podemos buscarlo en internet,[/*][*]o bien hacer uno enteramente de nuestra invención... pero que se ajuste a la estructura de una ciudad de, por ejemplo, el siglo XVII.[/*][*]¡Pero ten cuidado de poner medidas que sean razonables![br][/*][/list][/*][*]Puedes hacer una simplificación del plano para que no salgan tantas parcelas como en el caso de Villamiel.[/*][*]Tendrás que proponer una descomposición en figuras simples para el cálculo del área.[br][list][*]Toma como ejemplo el plano de Villamiel, procurando usar figuras grandes, para no tener que hacer muchos cálculos.[br][/*][/list][/*][*]Ojo al hacer la simplificación del plano: deben aparecer al menos tres formas geométricas diferentes en la descomposición en figuras simples.[/*][*]Efectúa los correspondientes cálculos de áreas y deja todo apuntado en tu libreta, junto con [br][list][*]el dibujo que hayas hecho de tu "villa",[/*][*]las medidas tomadas[br][/*][*]las áreas parciales[/*][*]el área total de la villa.[br][/*][/list][/*][*]Como siguiente apartado, incluye también el perímetro del recinto amurallado (o de la población, si no has dibujado muralla).[br][list][*]No es necesario que hagas el cálculo exacto de lados inclinados u otras longitudes que te falten (utilizando el teorema de Pitágoras o similar). [/*][*]Puedes medir en tu plano con la regla y, por proporcionalidad (el plano está a escala), calcular qué longitud le corresponde en la realidad.[/*][/list][/*][/list]Muestra la libreta con tu trabajo a tu profesor/a, o incluye aquí la redacción de la solución, junto con el enlace al dibujo de tu "villa".