[b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b]

★単調増加数列が上に有界ならば、数列は収束する。[br]さて、正項級数∑anというのはその名の通り、どの項anも正の数列からできた無限級数だ。[br][b][size=150]＜基本性質＞[/size][/b][br]・「和の有界定理」[br]正項級数が収束することと、部分和が有界なことは同値だ。[br][color=#0000ff]（理由）[/color][br]正項級数の部分和は単調増加数列になる。部分和は発散か有界かのどちらか。[br]もし、部分和が収束したら、部分和が有界となる。[br]部分和が有界であるならば、部分和は収束するから、数列は収束する。[br]・「和の一定定理」[br]収束する正項級数∑anも順番入れ替えの級数∑ankも和は同じ[br]収束するかっこつきの正項級数∑anはかっこをとった級数∑ankと和が同じ

[b][size=150]＜大小比較テスト＞[br][/size][/b]・[color=#0000ff][b]直接比較[direct comparison][/b][/color][br]　正項級数∑a[sub]n[/sub]と∑b[sub]n[/sub]がどのｎでもa[sub]n[/sub]がb[sub]n[/sub]以下のとき、[br]　小さい∑a[sub]n[/sub]が発散すれば∑b[sub]n[/sub]も発散し、大きい∑b[sub]n[/sub]が収束すれば∑a[sub]n[/sub]も収束する。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]　「an=1/n[sup]2[/sup], bn=2/n(n+1)とする。∑anが収束する」理由は？[br]　nが１以上なら 、n[sup]2[/sup]-n=n(n-1)はゼロ以上だから、2n[sup]2[/sup]はn[sup]2[/sup]+n=n(n+1)以上。[br]　だから、anはbn以下となる。[br]　一方で∑bn=2∑(1/k-1/(k+1)=2(1-1/n+1)→2(ｎ→∞のとき）で収束する。[br]　だから∑anは収束する。[br][color=#0000ff][b]・極限値比較[limit comparison][br][/b][/color]正項級数∑a[sub]n[/sub]と∑b[sub]n[/sub]でもa[sub]n[/sub]/b[sub]n[/sub]以の極限値が有界な正数ならば、２つの級数の発散と収束は一致する。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]　「an=1/(n[sup]2[/sup]-lnn) bn=1/n[sup]2[/sup]とする。∑anが収束する」理由は？[br] ∑1/n2はp乗数列でｐ＝２は１より大きいから収束する。[br]　しかし、anはbnより大きいから、直接比較は役立たない。[br] ロピタルの定理を２回使うと、[br]　lim an/bn=lim n2/(n2-lnn) =lim 2/(2+n[sup]2[/sup])=2/2=1は有界で正の極限値だから、テストに合格する。[br]　だから、∑bnが収束するから∑anも収束する。[br][size=150][b]＜Rootテスト＞[/b][/size][br]コーシーのべき根テスト[br]正項級数∑a[sub]n[/sub]について、[b]a[sub]n[/sub]のｎ乗根の数列[/b]がｒに収束するとき、[br][color=#0000ff][b]ｒが０以上１未満なら∑a[sub]n[/sub]は収束し、１より大きいと∑a[sub]n[/sub]は発散する。[br][/b]（例）[br][/color]「級数S=∑((an+b)/(cn+d))[sup]n[/sup]は収束・発散」はどうなる？[br]　数列のｎ乗根は(an+b)/(cn+d)=(a+b/n)/(c+d/n)→a/c（ｎ→∞のとき）[br]　だから、a/cが１未満のとき収束し、１より大きいとき発散する。[br][br][b][size=150]＜Ratioテスト＞[br][/size][/b]ダランベールの比テスト[br]正項級数∑a[sub]n[/sub]について、[b]a[sub]n+1[/sub]/a[sub]n[/sub]の数列[/b]がｒに収束するとき、[br][color=#0000ff][b]ｒが０以上１未満なら∑a[sub]n[/sub]は収束し、１より大きいと∑a[sub]n[/sub]は発散する。[br][/b]（例）[/color][br]「an=x[sup]n[/sup]/n!とするとき、級数∑anの収束・発散」どうなる？[br]　a[sub]n+1[/sub]/a[sub]n [/sub]= (x[sup]n+1[/sup]/(n+1)!)/(x[sup]n[/sup]/n!)=x/n+1→x/∞=0(ｎ→∞のとき）」[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「an=n[sup]n[/sup]/n!とするとき、級数∑anの収束・発散」どうなる？[br] a[sub]n+1[/sub]/a[sub]n[/sub]=((n+1)[sup]n+1[/sup]/(n+1)!)/(n[sup]n[/sup]/n!)=(n+1)[sup]n+1[/sup]/n[sup]n[/sup]・(n+1)=((n+1)/n)[sup]n[/sup]=(1+1/n)[sup]n[/sup]→e(2.718281828...)[br] eは１より大きいので、級数は発散する。