Wenn du dich in der Schule mit Funktionen beschäftigt hast, waren meistens die Funktionswerte in Abhängigkeit von einer unabhängigen Variablen von Interesse. Manchmal ging es auch um das Änderungsverhalten von Funktionen, also um die Frage, um wie viel die Funktionswerte im Vergleich zur unabhängigen Variablen wachsen bzw. fallen. Bei linearen Funktionen ist diese Veränderung, die der Steigung des Graphen entspricht, immer gleich und kann mit dem Steigungsdreieck bestimmt werden. Bei den meisten Funktionsgraphen, wie z.B. einem Funktionsgraphen, der eine Achterbahnfahrt darstellt, ändert sich die Steigung und somit das Änderungsverhalten allerdings ständig. Wie du die Steigung an einem Punkt des Graphen trotzdem bestimmen kannst und was sie z.B. in einem Weg-Zeit-Diagramm aussagt, erfährst du in diesem Lernpfad zur [b]Differentialrechnung[/b].[br]Die Differentialrechnung wird in vielen verschiedenen Wissenschaften benötigt, unter anderem in der Physik, der Biologie oder der Wirtschaftswissenschaft. Geprägt wurde sie insbesondere von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton am Ende des 17. Jahrhunderts. Die Frage, ob dies unabhängig voneinander geschah, führte zu einer Plagiatsklage, von der du [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalrechnung#Geschichte_der_Infinitesimalrechnung]hier[/url] mehr erfahren kannst.

[size=150][size=100]Wenn du dich fit im Umgang mit linearen Funktionen fühlst und weißt wie man die Steigung einer solchen Funktion bestimmen kann, darfst du diesen Abschnitt gerne überspringen. Ansonsten kannst du hier dein Wissen auffrischen.[br][br][b]Aufgabe 2.1.1:[/b][br]Eine lineare Funktion [math]f[/math] hat die Form [math]f\left(x\right)=m\cdot x+n[/math].[br]a) Verändere im folgenden Applet die Parameter [math]m[/math] und [math]n[/math] mit Hilfe der Schieberegler und beobachte, wie sich der Funktionsgraph jeweils verändert. Schreibe, wie sich die Zahlen [math]m[/math] und [math]n[/math] interpretieren lassen, in dein Heft. [br]b) Bewege die blauen Punkte [math]P_1=\left(x_1,y_1\right)[/math] und [math]P_2=\left(x_2,y_2\right)[/math] auf dem Graphen und beobachte dabei, ...[br]  1. ... wie sich [math]x_1,x_2[/math] und dadurch [math]\Delta x[/math] verändern. Schreibe in Form einer Rechenvorschrift in dein Heft, wie sich [math]\Delta x[/math] in Abhängigkeit von [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math] berechnen lässt.[br]  2. ... wie sich [math]y_1,y_2[/math] und dadurch [math]\Delta y[/math] verändern. Schreibe in Form einer Rechenvorschrift in dein Heft, wie sich [math]\Delta y[/math] in Abhängigkeit von [math]y_1[/math] und [math]y_2[/math] berechnen lässt.[br]c) Verändere erneut den Parameter [math]m[/math] mit Hilfe des Schiebereglers. Beobachte diesmal, wie sich [math]\Delta x[/math] und [math]\Delta y[/math] verändern und schreibe in Form einer Rechenvorschrift in dein Heft, wie sich [math]m[/math] in Abhängigkeit von [math]\Delta x[/math] und [math]\Delta y[/math] berechnen lässt.[br]d) Fertige in deinem Heft eine Skizze an, die deine Erkenntnisse aus a), b) und c) zusammenfasst.[/size][/size]

[size=150][size=100][b]Aufgabe 2.1.2:[/b][br]Berechne an den Graphen 1-4 (klicke auf den entsprechenden Button) jeweils die Steigung der dargestellten Funktion mit Hilfe der Rechenvorschriften aus Aufgabe 1. Schreibe deine Lösungswege in dein Heft.[br][br]Hinweis: Wenn du bei Aufgabe 1 Probleme hattest und nach fünf Minuten noch nicht auf die Lösung gekommen bist, kannst du dir die Lösung anzeigen lassen, indem du auf den Button "Lösung" klickst. Wiederhole dann mit Hilfe der Lösung die Aufgabe 1.[/size][/size]

Nun weißt du, wie man die Steigung an linearen Funktionen berechnen kann und bist für den nächsten Abschnitt gewappnet.

[b][size=150][size=100][size=200]Lösungen:[/size][/size][/size][/b]

Der Begriff [b]mittlere Änderungsrate[/b] beschreibt die durchschnittliche Änderung einer abhängigen Größe innerhalb eines Zeitintervalls. Im Alltag begegnet dir der Begriff ständig und ist in einem funktionalen Zusammenhang häufig sogar interessanter als die Funktionswerte zu bestimmten Zeitpunkten. Wenn man die Staatsverschuldung oder die Arbeitslosenquote in Deutschland betrachtet ist es beispielsweise häufig interessanter, Vergleiche zu vergangenen Jahren aufzustellen, als nur den aktuellen Wert zu betrachten. Ein weiteres Beispiel ist die Durchschnittsgeschwindigkeit, also die Änderung des zurückgelegten Weges innerhalb eines Zeitintervalls. Dieses Beispiel betrachten wir in der folgenden Aufgabe anhand der Anfahrt eines Sportwagens.[br][br][b]Aufgabe 3.1.1:[br][/b]Geht man der Einfachheit halber davon aus, dass ein Auto von 0 auf 100[math]\frac{km}{h}[/math] mit einer konstanten Beschleunigung anfährt, lässt sich der zurückgelegte Weg in Metern eines Porsche Carrera GT aus dem Stand mit der Funktion [math]s\left(t\right)=3.56\cdot t^2[/math] berechnen, wobei die Zeit in Sekunden angegeben wird.[br]Hinweis: Du darfst das nachfolgende CAS Applet oder deinen Taschenrechner zur Bearbeitung der Aufgaben nutzen. Schreibe aber alle Lösungswege und Antwortsätze nachvollziehbar in dein Heft.[br]a) Berechne die zurückgelegte Strecke nach 2, 4 und 6 Sekunden.[br]b) Welche Strecke hat das Auto innerhalb[list][*]der ersten zwei Sekunden, also zwischen [math]t_0=0s[/math] und [math]t_1=2s[/math],[/*][*]der nächsten zwei Sekunden, also zwischen [math]t_0=2s[/math] und [math]t_1=4s[/math],[/*][*]der nächsten zwei Sekunden, also zwischen [math]t_0=4s[/math] und [math]t_1=6s[/math],[/*][*]der ersten sechs Sekunden, also zwischen [math]t_0=0s[/math] und [math]t_1=6s[/math][/*][/list]zurückgelegt?[br]c) Wie groß waren die mittleren Änderungsraten (die Durchschnittsgeschwindigkeiten) in den zuvor genannten Zeitabschnitten?[br]d) Rechne die mittleren Änderungsraten, die du in Aufgabe c) in der Einheit [math]\frac{m}{s}[/math] ermittelt hast, in [math]\frac{km}{h}[/math] um. [br]e) Wir gehen nur von einer konstanten Beschleunigung während der Anfahrt bis auf eine Geschwindigkeit von 100[math]\frac{km}{h}[/math] aus. Warum müssen deine Lösungen der Aufgaben a) bis c) deshalb kritisch betrachtet werden und welche Lösungen sind falsch, wenn das Auto nach erreichen der 100[math]\frac{km}{h}[/math] nicht mehr mit der gleichen konstanten Beschleunigung weiterfährt?

Wir betrachten erneut die Funktion [math]s\left(t\right)=3.56\cdot t^2[/math] zur Berechnung der zurückgelegten Strecke in Metern eines Porsche Carrera GT, der aus dem Stand bis 100[math]\frac{km}{h}[/math] gleichmäßig beschleunigt.[br]Diesmal betrachten wir die Funktion, die absoluten Änderungen und die mittleren Änderungsraten graphisch.[br][br][b]Aufgabe 3.1.2:[/b][br]a) Bewege im folgenden Applet die Schieberegler so, dass[br][list][*][math]x_0=0[/math] und [math]x_1=2[/math],[/*][*][math]x_0=2[/math] und [math]x_1=4[/math],[/*][*][math]x_0=4[/math] und [math]x_1=6[/math],[/*][*][math]x_0=0[/math] und [math]x_1=6[/math][br][/*][/list]und lese jeweils die Differenz der y-Werte [math]\Delta y=y_1-y_0[/math] ab und schreibe sie in dein Heft. Berechne jeweils auch die Steigung der Sekante durch die Punkte [math]P_0[/math] und [math]P_1[/math].[br]b) Vergleiche deine Ergebnisse aus a) mit deinen Ergebnissen aus b) und c) der Aufgabe 3.1.1. [br]Schreibe in dein Heft, wie [math]\Delta x,\Delta y[/math] und die Steigung [math]m[/math] der Sekante durch die Punkte [math]P_0[/math] und [math]P_1[/math] mit deinen Ergebnissen aus Aufgabe 1 b) und c) zusammenhängen.

[b][size=150][size=100][size=200]Lösungen:[/size][/size][/size][/b]

Im letzten Kapitel hast du gelernt, dass mittlere Änderungsraten graphisch durch Sekanten und lokale Änderungsraten durch Tangenten dargestellt werden und über die Steigung berechnet werden können. Außerdem hast du eine Möglichkeit kennengelernt, die Steigung eines Graphen an einem ausgewählten Punkt annähernd zu ermitteln.[br]Dieses Verfahren sollst du in der nächsten Aufgabe nochmals einüben.[br][br][b]Aufgabe 4.1.1:[/b][br]Übertrage die folgende Tabelle in dein Heft und trage die zum jeweiligen x-Wert gehörenden angenäherten y-Werte und Steigungen m des folgenden Graphen ein.[br][table][tr][td]x[/td][td]-3[/td][td]-2[/td][td]-1[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][/tr][tr][td]f(x)[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td]m[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]Um die Steigung zu ermitteln, verschiebe [math]P_0[/math] an die entsprechende Stelle und verkleinere den Abstand zwischen [math]P_0[/math] und [math]P_1[/math] bis die Sekante annähernd eine Tangente durch [math]P_0[/math] ist.[br][br]

[b]Aufgabe 4.1.2:[/b][br]Im folgenden Applet wird die gleiche Funktion abgebildet und im rechten Fenster so nah rangezoomt, dass sie linear erscheint. Einen solchen rangezoomten Ausschnitt eines Graphen nennen wir lokale lineare Approximation des Graphen.[br]a) Bewege [math]P_0[/math] an dieselben Stellen wie in Aufgabe 1 und berechne schriftlich jeweils die Steigung der lokalen linearen Approximation, indem du annimmst, dass der Graph im rechten Fenster linear ist.[br]b) Vergleiche die Ergebnisse mit denen aus Aufgabe 1. Welche Ergebnisse hältst du für genauer? Schreibe deine Begründung in dein Heft.

[b][size=200]Lösungen:[/size][/b]

In den vorangegangenen Kapiteln hast du bereits mittlere Änderungsraten und Sekantensteigungen berechnet. Da diese Berechnung für die Differentialrechnung von zentraler Bedeutung ist, wird sie im Folgenden in einer Definition mit ihrem Fachbegriff [b]Differenzenquotient[/b] festgehalten.

[b][size=200]Lösungen:[/size][/b]

Du hast bereits gelernt, wie du den Differentialquotient [math]f'\left(x_0\right)[/math] einer Funktion [math]f[/math] an der Stelle [math]x_0[/math] annähernd bestimmen kannst, wenn sie an dieser Stelle differenzierbar ist. Ist eine Funktion auf dem ganzen Definitionsbereich differenzierbar, kann jeder Stelle [math]x[/math] die entsprechende Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] zugeordnet werden, um eine Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] zu erhalten.[br]Die Ableitungsfunktion wird kurz auch einfach Ableitung genannt. Man muss sich aber dem Unterschied zwischen einer Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt (dem Differentialquotienten) und der allgemeinen Ableitung (der Ableitungsfunktion) einer Funktion bewusst sein.[br][br][b]Aufgabe 6.1.1:[br][/b]Hinweis: Klicke erst in Aufgabe b) auf den Button "Spur". Du kannst die Ausgangssituation jederzeit mit Klick auf die Pfeile oben rechts herstellen.[br]a) Bewege im folgenden Applet den Punkt [math]P\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math] am Graphen der Funktion [math]f\left(x\right)=x^2[/math] entlang. Es wird automatisch auch der Punkt [math]P'\left(x_0,f'\left(x_0\right)\right)[/math] eingezeichnet. Beschreibe in deinem Heft, wie sich [math]P'[/math] in Abhängigkeit von [math]P[/math] verändert. Beschreibe insbesondere, wie die Steigung in [math]P[/math] mit dem y-Wert von [math]P'[/math] zusammenhängt.[br]b) Klicke nun auf Spur, damit [math]P'[/math] bei der Bewegung eine Spur hinterlässt. Die angezeigte Spur entspricht der Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math].[br]Die Ableitungsfunktion ist in diesem Fall linear. Bestimme daher die Steigung m der Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] sowie den y-Achsenabschnitt n und stelle die Funktionsgleichung [math]f'\left(x\right)=m\cdot x+n[/math] auf.

[b]Aufgabe 6.1.2:[br][/b]Bewege im folgenden Applet den Punkt [math]P\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math] am Graphen der Funktion [math]f\left(x\right)=x^3[/math] entlang. Der Punkt [math]P'\left(x_0,f'\left(x_0\right)\right)[/math] hinterlässt automatisch eine Spur, die der Ableitungsfunktion [math]f'\left(x_0\right)[/math] entspricht.[br]Beobachte [math]P'[/math] und die entstehende Spur und stelle eine Vermutung auf wie die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] lautet.

[b]Aufgabe 6.1.3:[br][/b]a) Verändere die Variable n per Schieberegler und beobachte, wie sich [math]f\left(x\right)[/math] und die Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] verändern. Schreibe deine Beobachtungen in dein Heft.[br]b) Verändere nun die Variable m per Schieberegler und beobachte erneut, wie sich [math]f\left(x\right)[/math] und die Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] verändern. Schreibe deine Beobachtungen in dein Heft.[br]c) Verändere nun abwechselnd m und n und beobachte, wie sich [math]f\left(x\right)[/math] und die Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] verändern. Schreibe in dein Heft, wie die Ableitungsfunktion einer linearen Funktion allgemein in Abhängigkeit von m und n berechnet werden kann.

[b][size=200]Lösungen:[/size][/b]

Bisher hast du den Differentialquotienten nur annähernd bestimmt.[br]Es gibt aber auch eine Möglichkeit, den Differentialquotienten algebraisch exakt zu berechnen, die du in den folgenden Aufgaben kennenlernen wirst.[br][br][b]Aufgabe 7.1.1:[/b][br]Im folgenden Applet ist dargestellt, wie der Differentialquotient der Funktion [math]f\left(x\right)=x^2+1[/math] an der Stelle [math]x_0=2[/math] exakt bestimmt werden kann.[br]a) Lass dir schrittweise den Lösungsweg anzeigen, indem du jeweils auf den Button "Nächste Zeile" klickst, und vollziehe den Lösungsweg nach. [br]b) Berechne auf die gleiche Weise den Differentialquotienten an der Stelle [math]x_0=3[/math]. [br]Deine Rechnung kannst du überprüfen, indem du im Applet [math]x_0[/math] über das Eingabefeld auf 3 setzt.[br]c) Berechne den Differentialquotienten der Funktion [math]f\left(x\right)=x^3[/math] an der Stelle [math]x_0=1[/math].[br]Kontrolliere deine Rechnung, indem du die [math]f\left(x\right)[/math] und [math]x_0[/math] über die Eingabefelder anpasst.

Da es die algebraische Berechnung der Ableitung vereinfachen kann, wird häufig eine alternative Schreibweise des Differentialquotienten verwendet. Dabei wird [math]x[/math] als [math]x_0+h[/math] definiert.[br]Eingesetzt in die Definition des Differentialquotienten erhalten wir[br][math]f'\left(x_0\right)=\lim_{x_0+h\to x_0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{x_0+h-x_0}[/math]

[b]Aufgabe 8.1.2:[/b][br]Erstelle eine Skizze mit[br][list][*]dem Graphen von [math]f\left(x\right)=x^2[/math],[/*][*]dem Punkt [math]P_0=\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math], wobei [math]x_0=1[/math] ist,[/*][*]dem Punkt [math]P_1=\left(x_0+h,f\left(x_0+h\right)\right)[/math], wobei [math]h=1[/math] ist,[/*][*]der Sekante durch [math]P_0[/math] und [math]P_1[/math],[/*][*]einem Steigungsdreieck über [math]P_0[/math] und [math]P_1[/math], welches mit h und [math]\Delta y[/math] beschriftet ist.[/*][/list]

[b]Aufgabe 8.1.3:[br][/b]Begründe in deinem Heft, wieso es für die Bestimmung der mittleren Änderungsrate, der momentanen Änderungsrate, der Sekantensteigung und der Tangentensteigung keinen großen Unterschied macht, wenn Differenzenquotient und Differentialquotient über die h-Schreibweise definiert werden.

Hier geht es darum, dass du deine Erkenntnisse selbst einschätzt.[br]Dadurch sollst du herausfinden, ob du ein Kapitel nochmal wiederholen solltest.[br]Falls du das bereits getan hast und es deine Schwierigkeiten nicht gelöst hat, suche dir Rat bei deinem Lehrer / deiner Lehrerin, Freunden oder Familie oder suche in deinem Schulbuch oder im Internet nach Erklärungen.[br][br]Lies dir die Ziele durch. Wenn du einem Ziel nicht zustimmen kannst oder dir unsicher bist, solltest du das Kapitel wiederholen, das nach der Auflistung aufgeführt wird.[br][br]1.[br][list][*]Ich kann die Steigung von linearen Funktionen über den Graphen und die Funktionsvorschrift berechnen.[/*][*]Ich kenne den Unterschied zwischen Sekante und Tangente.[br][/*][*]Ich kann Beispiele für Sekanten und Tangenten in einen Graphen zeichnen und sie in einem Graphen erkennen.[/*][/list]Falls nicht, solltest du das 2. Kapitel wiederholen.[br][br]2.[br][list][*]Ich kenne den Unterschied zwischen mittlerer Änderungsrate und momentaner Änderungsrate.[/*][*]Mit gegebener Wertetabelle, Graphen oder Funktionsvorschrift kann ich die mittlere Änderungsrate ermitteln.[/*][*]Mithilfe der mittleren Änderungsrate kann ich die momentane Änderungsrate annähernd bestimmen.[/*][*]Ich kenne realistische Beispiele für mittlere und momentane Änderungsrate.[/*][*]Ich kann die mittlere Änderungsrate und die momentane Änderungsrate geometrisch deuten.[/*][*]Ich kann die Sekantensteigung mit der Funktionsvorschrift exakt berechnen oder graphisch bestimmen und mit ihr die Tangentensteigung annähernd bestimmen.[/*][/list]Falls nicht, solltest du das 3. Kapitel wiederholen.[br][br]3.[br][list][*]Ich weiß, wie die Steigung eines Graphen mit mittlerer und momentaner Änderungsrate, Sekante und Tangente zusammenhängt.[/*][*]Ich kann die Steigung eines Graphen an einem Punkt graphisch annähernd bestimmen.[/*][*]Ich kann die Steigung eines Graphen bei gegebener Funktionsvorschrift rechnerisch annähernd bestimmen.[/*][/list]Falls nicht, solltest du das 4. Kapitel wiederholen.[br][br]4.[br][list][*]Ich weiß, was ich mit dem Differenzenquotienten berechnen kann.[/*][*]Ich weiß, was ich mit dem Differentialquotienten berechnen kann.[/*][*]Ich kenne den Unterschied zwischen Differenzenquotienten und Differentialquotienten.[/*][*]Ich kenne reale Beispiele zur Verwendung des Differenzenquotienten und des Differentialquotienten.[/*][*]Ich kann den Differenzenquotienten zur Annäherung des Differentialquotienten verwenden.[/*][*]Ich weiß, wann eine Funktion an einem Punkt differenzierbar ist.[/*][*]Ich weiß, wann eine Funktion im Allgemeinen differenzierbar ist.[/*][*]Ich kenne Beispiele für differenzierbare Funktionen und kann mir neue Beispiele ausdenken.[/*][*]Ich kenne Gegenbeispiele für differenzierbare Funktionen und kann mir neue Gegenbeispiele ausdenken.[/*][/list]Falls nicht, solltest du das 5. Kapitel wiederholen.[br][br]5.[br][list][*]Ich kann erklären, wie eine Funktion und ihre Ableitungsfunktion geometrisch zusammenhängen.[/*][*]Ich kann zu einer gegebenen Funktion die dazugehörige Ableitungsfunktion erkennen und selbstständig skizzieren.[/*][/list]Falls nicht, solltest du das 6. Kapitel wiederholen.[br][br]6. [br][list][*]Ich kann den Differentialquotienten an einem gegebenen Punkt für ganzrationale Funktionen algebraisch berechnen.[/*][*]Ich kann die am allgemeinen Punkt [math]x_0[/math] für ganzrationale Funktionen algebraisch berechnen.[/*][/list]Falls nicht, solltest du das 7. Kapitel wiederholen.[br][br]7. [br][list][*]Für den Differentialquotienten kenne ich die alternative h-Schreibweise.[/*][*]Ich kann die h-Schreibweise und ihre Herleitung erklären.[/*][*]Ich kann auch mit der h-Schreibweise Differentialquotienten an gegebenen Punkten für ganzrationale Funktionen algebraisch berechnen.[/*][*]Ich kann auch mit der h-Schreibweise Ableitungsfunktionen am allgemeinen Punkt [math]x_0[/math] für ganzrationale Funktionen algebraisch berechnen.[/*][/list]Falls nicht, solltest du das 8. Kapitel wiederholen.