Ein Jäger spaziert mit seinem Hund zu einer 10 km entfernten Hütte. Dem Hund ist der Jäger allerdings zu langsam, sodass er lieber alleine zur Jagdhütte läuft. Dort kehrt er sofort um und läuft seinem Herrchen entgegen. Sobald er den Jäger erreicht hat, kehrt er wieder um und läuft bis zur Jagdhütte und so weiter.
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Angenommen, der Hund ist genau doppelt so schnell wie der Jäger. Wo treffen sich die beiden zum ersten (zweiten, dritten) mal wieder?[br]
Nach ungefähr 6,667 km (8,889 km, 9,630 km).[br]Erklärung: Wenn der Hund an der Hütte ist (bei 10 km), ist der Jäger bei 5 km. Betrachten wir jetzt die restlichen 5 km. Der Jäger schafft genau 1/3 und der Hund 2/3 der Strecke. [br]Der erste Treffpunkt ist also bei [math]T_1=5km+\frac{1}{3}\cdot5km=6,667km[/math]. Dies ist genau 2/3 der Gesamtstrecke.[br][br]Wie kommen wir auf den zweiten Treffpunkt?[br]Der Jäger muss noch 3,333 km zurücklegen. Der Hund und der Jäger werden sich wieder bei 2/3 dieser Strecke treffen (kannst du das auch ausrechnen?) Also [math]T_2=\frac{2}{3}\cdot3,333km+6,667km=8,889km[/math][br]Wie kommen wir auf den dritten Treffpunkt?[br]Der Jäger muss noch 1,111 km zurücklegen. Der Hund und der Jäger werden sich wieder bei 2/3 dieser Strecke treffen. Also [math]T_3=\frac{2}{3}\cdot1,111km+8,889km=9,639km[/math]
Welche Gesamtstrecke hat der Hund bis zu diesen Begegnungen jeweils zurückgelegt?
13,333 km, (17,778 km, 19,259 km).
Welche Gesamtstrecke hat der Hund zurückgelegt, wenn der Jäger schließlich die Jagdhütte erreicht?
Der Hund hat genau 20 km zurückgelegt. (Er läuft ja genau doppelt so schnell wie der Jäger, der 10 km zurücklegt. Der Hund hört genau dann auf zu laufen, wenn der Jäger an der Hütte aufhört.)
Inwiefern ist diese Frage sehr theoretisch? Wie oft treffen Jäger und Hund insgesamt aufeinander, bevor der Jäger die Hütte erreicht? Erwarten den Hund irgendwelche technischen Probleme?
Der Jäger und der Hund treffen unendlich oft aufeinander, bevor der Jäger die Hütte erreicht. Daher ist die Frage auch nur sehr theoretisch. [br]Dies ist für den Hund in der Praxis natürlich nicht machbar, da er, sobald die Distanz des Jägers zur Hütte sehr gering wird, nicht mehr schnell genug die Richtung wechseln kann.
Aufgabe entnommen aus Cramer, E., Heitzer, J., Helmin, K., Henn, G., Mittler, K., Polaczek, C., Walcher, S., Wittich, O., Zimmermann, M. (2018): iMPACt. Schülerarbeitsheft. Grundlagenkurs Folgen und Reihen. Komplexe Zahlen.