[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebrabooks[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff7700][i][b]29.09.2020[/b][/i][/color])[/size][br][/right][br]

[size=85]Objekte der [i][b]projektiven Geometrie[/b][/i] sind PUNKTE, GERADEN, EBENEN etc.. [br]Grundlage ist stets ein Vektorraum [math]\mathbf{\mathcal{V}}[/math], in unserem Zusammenhang reell oder komplex; [br]die Dimensionen liegen hier zwischen 2 und 6.[br]PUNKTE sind die 1-dimensionalen Unterräume, formal: [math]p=[\mathbf{\vec{v}}]=\{\mathbf{\vec{u}}\in \mathbf{\mathcal{V}}\;|\;\mathbf{\vec{u}}=c\cdot\mathbf{\vec{v}},c\in \mathbf{K}\}[/math], [math]\mathbf{K}[/math] ist hier [math]\mathbb{R}[/math] oder [math]\mathbb{C}[/math].[br]GERADEN sind die 2-dimensionalen Unterräume, EBENEN die 3-dimensionalen Unterräume.[br][i][b]Oben links[/b][/i] wird der [math]\mathbb{R}\mathbb{P}^1[/math] angedeutet, also die reelle projektive GERADE. [br]PUNKTE [math]p=[\mathbf{\vec{u}}][/math] können in "[i]homogenen[/i]" Koordinaten [math](u_x,u_y)[/math] oder "[i]inhomogenen[/i]" Koordinaten [math](x,1)=(\frac{u_x}{u_y},1)[/math][br]beschrieben werden. Dazu schneidet man die Richtungsgeraden der Vektoren mit der [math]x[/math]-Achsen-Parallelen [math]y=1[/math]. [br]Dabei werden alle PUNKTE der GERADEN bis auf [math]\infty=[(1,0)][/math] erfasst.[br]Oben rechts wird versucht, die reelle projektive Ebene [math]\mathbb{R}\mathbb{P}^2[/math] über [math]\mathbb{R}^3[/math] darzustellen. [br]PUNKTE sind wieder die eindimensionalen Unterräume, GERADEN die 2-dimensionalen.[br]In dieser Ebene schneiden sich je zwei GERADEN! Und wieder kann man die PUNKTE in [i]homogenen[/i] Koordinaten [br](- also bis auf reelle Vielfache - ) oder in [i]inhomogenen[/i] Koordinaten (x,y,1) angeben. [br]Im 2. Falle sind die Fern-PUNKTE (u,v,0) auf der Fern-GERADEN auf diese Weise nicht miterfasst![br]Der reelle Projektive Raum [math]\mathbb{P}\mathbb{R}^3[/math] basiert auf [math]\mathbb{R}^{4}[/math], in [i]inhomogenen[/i] Koordinaten (x,y,z,1) hat man sich zum [math]\mathbb{R}^3[/math] eine [br]Fern-EBENE, Fern-GERADEN und - PUNKTE zu denken.[br][br]Diese [i][b]projektive Sichtweise[/b][/i] ist auch komplex möglich: [br]Die komplexe projektive GERADE [math]\mathbb{C}\mathbb{P}^1[/math] entpuppt sich als eine Darstellung der [color=#0000ff][i][b]reellen Möbiusebene[/b][/i][/color]! [br]Die PUNKTE [math]p=[u,v][/math], [math]u,v\in\mathbb{C}[/math] entsprechen in [i]inhomogenen[/i] Koordinaten den Punkten [math](u/v,1)=(z,1)\approx z\in\mathbb{C}[/math] in der [br][b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene. Der fehlende PUNKT ist [math]\infty=\left[\left(w,0\right)\right],w\in\mathbb{C}[/math].[br]Die [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color] sind die linearen Abbildungen [math]T=\left(\begin{array}{cc} a & b \\c & d\end{array}\right)\in \mathbf{SL}\left(2,\mathbb{C}\right)[/math] mit [math]\mathbf{det}\left(\begin{array}{cc} a & b \\c & d\end{array}\right)=1[/math];[br]Da [math]T[/math] und [math]-T[/math] dieselbe [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color][/size] erzeugen, [br]ist die Gruppe der [i][b]gleichsinnigen Möbiustransformationen[/b][/i] isomorph zu [math]\mathbf{PSL}\left(2,\mathbb{C}\right)=\mathbf{SL}\left(2,\mathbb{C}\right)\setminus \{\mathbf{id},-\mathbf{id}\}[/math].[br][/size]