[size=150]Man kann zu jedem Punkt A die linksseitige und rechtsseitige Sekantensteigung ermitteln.[br]Dieser Wert wird für x =x(A) als y-Koordinate eines Punkte P[sub]l[/sub] bzw. P[sub]r[/sub] genommen.[br]Wenn A bewegt wird, kann man den Weg von P[sub]l[/sub] und P[sub]r[/sub] betrachten und diese Punkte [br]eine Ortslinie zeichnen lassen.[/size]
[size=150]a) Was passiert mit den beiden Punkten, wenn h sehr klein wird?[br]b) Welche Folge hat das für die Ortslinien?[br]c) Was stellen Sie fest, wenn Sie f(x) = abs(x) setzen, A auf (0, 0) ziehen und h sehr klein machen?[/size]
a) P[sub]l[/sub] und P[sub]r[/sub] kommen einander immer näher.[br]b) Auch die Ortslinien kommen einander immer näher und sind schließlich nicht mehr zu unterscheiden. [br]c) Diese Funktion ist bei 0 nicht differenzierbar, die Sekanten bleiben auch für sehr kleines deutlich unterschiedlich.[br]Die Steigungsfunktion ist an dieser Stelle mathematisch gesehen nicht definiert und hat anschaulich gesehen eine Sprungstelle.
[i]Hinweis: [br]In der Schule haben wir keinen exakten Stetigkeitsbegriff (mehr), sondern nur eine Vorstellung von anschaulicher Stetigkeit im Sinne von 'Graph durchzeichnen'. [br]Erst recht haben wir keinen Begriff von stetiger Differenzierbarkeit etc. [br]Infolgedessen muss die Argumentation bei den Steigungsfunktionen von f(x) = abs(x) auch anschaulich und etwas schwammig bleiben. [br]Anschaulich sieht es schließlich nach einer Sprungstelle der Ableitungsfunktion aus. Etwas exakter gefasst müsste man sagen, dass die auf [/i][math]\mathbb{R}[/math][i]definierte Funktion f(x) = abs(x) auf [/i][math]\mathbb{R}[/math]*[i] differenzierbar ist und f'(x) bei x = 0 eine Definitionslücke hat. [/i]