Zentraler Grenzwertsatz

Ziel

Ziel des Arbeitsblattes ist, eine Approximation der Binomialverteilung für grosse n zu entdecken.

Aufgabe

Gezeigt ist die Binomialverteilung für p=0.5.[br][br]Setzen Sie n auf 10, 100, 1'000, 5'000 und 10'000.[br][list=1][*]Wie viel Zeit braucht der Computer, um die Verteilung zu berechnen? Erkennen Sie ein potentielles Problem?[/*][*]Erkennen Sie eine Gesetztmässigkeit für den Mittelwert? Erklären Sie diesen anhand der Formel für den Mittelwert der Binomialverteilung.[/*][*]Erkennen Sie eine Gesetztmässigkeit für die Standardabweichung? Erklären Sie diesen anhand der Formel für die Standardabweichung der Binomialverteilung.[/*][*]Kennen Sie eine Verteilung, die sehr ähnlich aussieht? (Hilfe: Drücken Sie auf den Button mit der roten Kurve oben rechts.)[/*][/list]

Binomialverteilung

Formulierung des Grenzwertsatzes

Nun benutzen wir Ihre Erkenntnisse.[br][list=1][*]Geben Sie eine Formel für eine verschobene Binomialverteilung mit Mittelwert 0 an. (Benutzen Sie die Formel aus 2. der vorangegangenen Aufgabe.)[/*][*]Geben Sie eine Formel für eine gestauchte Binomialverteilung mit Standardabweichung 1 (und Mittelwert 0) an. (Benutzen Sie die Formel aus 3. der vorangegangenen Aufgabe.)[/*][*]Benutzen Sie die eben konstruierte Verteilung und die Erkenntnis aus 4. der vorangegangenen Aufgabe um einen Approximationssatz zu formulieren.[/*][/list][br]

Anwendung

Lösen Sie nun die folgende Aufgabe.[br][br]Von allen Kindern in der EU zwischen 7 und 11 Jahren haben 70% ein eigenes Handy. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 400'000 Kindern in der Schweiz zwischen 7 und 11 Jahren mindestens 260'000 Kinder ein eigenes Handy besitzen? Wir nehmen an, dass die Schweiz repräsentativ für die EU ist.