[b]Voraussetzungen[/b][br]Definition der Exponentialfunktion ist bekannt:[br][list][*][math]f\left(x\right)=a^x[/math] ([math]a>0[/math], [math]a\ne1[/math])[/*][*][math]D\left(f\right)=\mathbb{R}[/math]; [math]W\left(f\right)=\mathbb{R}_{>0}[/math][/*][/list][br]Definition der Logarithmusfunktion (Umkehrfunktion von[math]f\left(x\right)=a^x[/math]) ist bekannt:[br][list][*][math]h\left(y\right)=f^{-1}\left(y\right)=log_a\left(y\right)[/math] ([math]a>0[/math], [math]a\ne1[/math])[/*][*][math]D\left(f\right)=\mathbb{R}_{>0}[/math]; [math]W\left(f\right)=\mathbb{R}[/math][br][/*][/list]
[size=150][size=200][u][b]Die Ableitung der Exponentialfunktion und die Entdeckung von Besonderheiten[/b][/u][/size][/size]
[b][size=150]Die Tangentenanstiege beliebiger Funktionsstellen[/size][/b][br][br]Gegeben ist eine ([b][color=#0B5394]blaue[/color][/b]) [color=#1e84cc]Exponentialfunktion[/color] [math]f\left(x\right)=a^x[/math], sowie ihre [color=rgb(51, 51, 51)]Tangentensteigungsfunktion[/color] im Punkt [b][color=#0B5394]P[/color][/b]. [br][br]Der ([b][color=#ff0000]rote[/color][/b]) [color=#ff0000]Punkt [b]A[/b][color=rgb(51, 51, 51)] entspricht dem [color=#ff0000]Anstieg der Exponentialfunktion im Punkt P[/color], also dem Wert der Tangentensteigungsfunktion im Punkt P.[br][br]Ändere die Stelle des Punkts P, indem du den Schieberegeler px verschieben. Was fällt dir auf?[/color][/color]
Worum handelt es sich bei der, durch die Spur von A, entstandene Graph?
Es ist die Ableitungsfunktion von f(x).
An welche Funktionsart erinnert dich der, durch die Spur von A, entstandene Graph?
Es handelt sich auch um eine Exponentialfunktion.
Was fällt dir auf, wenn du einen Funktionswert von f(x) und dem [br]Anstieg von f(x) an selber Stelle ins Verhältnis setzen? Vergleiche[br] dazu die Werte in mehreren Punkten.
Das Verhältnis von [math]\frac{f\left(x\right)}{m}[/math] ist konstant! D.h. [math]f\left(x\right)\sim m[/math] (Proportionalität).
[list][*][math]f'\left(x\right)\longrightarrow[/math] Exponentialfunktion[/*][/list][list][*][math]\frac{f\left(x\right)}{f'\left(x\right)}=const.\Longleftrightarrow f\left(x\right)\sim f'\left(x\right)[/math][br][/*][/list]
[b][size=150]Entdeckung einer besonderen Zahl[/size][/b][br][br]Wir haben eine ([color=#0B5394][b]blaue[/b][/color]) [color=#1155Cc]Exponentialfunktion[/color] [math]f\left(x\right)=a^x[/math]. Des Weiteren sei die [color=#ff0000]zugehörige Ableitung[/color] ([color=#ff0000][b]rot[/b][/color]) [math]f'\left(x\right)[/math] geben.[br][br]Ändere die Basis [math]a[/math] der Exponentialfunktion (Schieberegeler für a) und schau was passiert.[br]Findest du zum Beispiel eine Basis bei der der Funktionswert von [math]f\left(x\right)[/math] immer das dreifache der Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] ist?
Für welchen Wert der Basis ist die Ableitung gleich der ursprünglichen Exponentialfunktion?[br]Kennst du diese Zahl?
Für [math]a\approx2,7[/math]. Genauer [math]a=2,7182818284...=e[/math] (Eulersche Zahl)
Was bedeutet diese Entdeckung für die Beziehung der Ableitung zur Funktion für diese Basis?
[math]f\left(x\right)=e^x\Longrightarrow f'\left(x\right)=e^x=f\left(x\right)[/math]
[list][*][math]f\left(x\right)=e^x\Longrightarrow f'\left(x\right)=e^x=f\left(x\right)[/math][br][/*][/list]
[size=150][b]Ableitung einer gestreckten Expontentialfunktion[/b][/size][br][br]Wir haben eine ([color=#1e84cc][b]blaue[/b][/color]) [color=#1e84cc]Exponentialfunktion[/color] [math]f\left(x\right)=a^x[/math] und die ([b][color=#ff0000]rote[/color][/b]) [color=#ff0000]zugehörige Ableitungsfunktion [/color][math]f'\left(x\right)[/math]. Des Weiteren haben wir eine [color=#38761D]weitere[/color] ([b][color=#38761D]grüne[/color][/b]) [color=#38761D]Exponentialfunktion[/color] [math]g\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)[/math], bei welcher es sich um eine mit dem Faktor [math]k[/math] gestreckte/getauchte Variante von [math]f\left(x\right)[/math] handelt.[br][br]Findest du einen Faktor [math]k[/math], bei dem die (grüne) Funktion [math]g\left(x\right)[/math] gleich der (roten) Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] ist, d.h. [math]g\left(x\right)=f'\left(x\right)[/math]?[br][br]Wenn du einen solchen Faktor gefunden hast, vergleiche diesen mit konkreten Anstiegen (m) von f(x) im Punkt P (Schieberegeler px). Findest du eine Stelle px, wo der Anstieg (m) gleich dem Faktor ist?[br][br]Gilt das auch für andere Basen a?
Eine Funktion [math]g\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)[/math] stimmt mit der Ableitung von [math]f'\left(x\right)[/math] überein, wenn der Faktor [math]k[/math], welchem Wert entspricht?
[list][*][math]k[/math] entspricht dem Ableitungswert [math]f'\left(x=0\right)[/math] (an der Stelle 0).[br][/*][/list]
Was folgt für die Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math], wenn wir wissen [math]f'\left(x\right)=g\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)[/math].
[math]f'\left(x\right)=g\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)=f'\left(0\right)\cdot f\left(x\right)[/math],[br]d.h. wir müssen uns [math]f'\left(x\right)[/math] in nur einem Punkt [math]x=0[/math] anschauen und haben dann schon die Ableitung!
Selbe Erkenntnis folgt auch rechnerisch aus: [math]\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^{x\cdot h}-a^x}{h} = a^x\cdot \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-a^0}{h}=a^x\cdot f'(0)[/math]
[list][*][math]f\left(x\right)=a^x\Longrightarrow f'\left(x\right)=f'\left(0\right)\cdot f\left(x\right)[/math][br][/*][/list]
[b][size=150]Zusammenhang von f'(x) und e^x[/size][/b][br][br]Gegeben ist eine ([b][color=#1e84cc]blaue[/color][/b]) [color=#1e84cc]Exponentialfunktion[/color] [math]f\left(x\right)=a^x[/math], der Anstieg von [math]f\left(x\right)[/math] im Punkt P = (0,f(0)) und die ([b][color=#9900ff]lila[/color][/b]) [color=#9900ff]e-Funktion[/color] [math]h\left(x\right)=e^x[/math].[br][br]Wir wissen bereits, dass die e-Funktion [math]e^x[/math] eine besondere Exponentialfunktion ist. Unter Bezugnahme der e-Funktion können wir auf die Ableitung [math]f'\left(0\right)[/math] schließen.[br][br]Verschiebe den Punkt R auf der X-Achse so, dass die X-Koordinate dem Anstieg in [math]f\left(0\right)[/math], also [math]f'\left(0\right)[/math] entspricht. Betrachte dann den Punkt S, welcher sich durch Betrachtung von [math]e^{f'\left(0\right)}[/math] ergibt.
Was fällt dir bei der Betrachtung von [math]e^{f'\left(0\right)}[/math] und dem Wert der Basis a auf?
[math]a=e^{f'\left(0\right)}[/math]
Was kann für [math]f'\left(0\right)[/math] mit dem Wissen, dass der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, gefolgert werden?
[math]f'\left(0\right)=log_e\left(a\right)=ln\left(a\right)[/math]
Betrachten wir nun unsere bereits bekannte Ableitungsregel: [math]f'\left(x\right)=f'\left(0\right)\cdot f\left(x\right)[/math][br]Welche Gleichung ergibt sich nun für die Ableitung von [math]f\left(x\right)[/math]?
[math]f'\left(x\right)=ln\left(a\right)\cdot f\left(x\right)[/math]