Lineáris függvények GEOMATECH
Lineáris függvények 7. osztály
Table of Contents
- Ponthalmazok koordináta-rendszerben 1. (Lineáris 1.)
- Ponthalmazok koordináta-rendszerben 1. (lineáris 1)
- Függvényábrázolás, tulajdonságok
- 3. 11. Meredekség
- Lineáris függvény transzformációja_meredekség
- Lineáris függvény transzformációja 2. a paraméter
- Lineáris függvény transzformációja_eltolás
- Lineáris függvény transzformációja 3. b paraméter
- A lineáris-függvény transzformációja
- A lineáris függvény transzformációja
- Tetszőleges függvény vizsgálata kalkulussal
- Tetszőleges függvény vizsgálata kalkulussal
- Lineáris függvény gyakoroltató 1.
- Lineáris függvény gyakoroltató 1.
Ponthalmazok koordináta-rendszerben 1. (lineáris 1)
Ebben a tananyagegységben három feladatot oldhatsz meg:[br][list=1][*]Keress olyan pontokat a koordináta-rendszerben, amelyek első és második koordinátája egyenlő![/*][*]Keress olyan pontokat a koordináta-rendszerben, amelyek második koordinátája 2-vel nagyobb, mint az első![/*][*]Keress olyan pontokat a koordináta-rendszerben, amelyek második koordinátája kétszerese az elsőnek![br][/*][/list]
Fogd meg az [math]A_1[/math] pontot és húzd oda, ahol a koordinátáira teljesül a megadott feltétel! Figyeld közben a pont koordinátáit és számolj fejben!
Ha találtál a feltételnek megfelelő pontot, de még nem tudod, hol helyezkedik el az egész ponthalmaz, akkor kérj új pontot, és azt is helyezd el a koordináta-rendszerben![br]Ezt addig folytasd, amíg szükséged van rá a ponthalmaz megadásához!
Ha úgy érzed, hogy már meg tudod adni a ponthalmazt, akkor nyomd meg a „Készen vagyok” gombot! A „Ceruza” eszközre ([icon]http://tananyag.geomatech.hu/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon]) kattintva szabad kézzel rajzold meg az általad gondolt megoldást. Ha elrontottad, akkor törölheted a rajzodat, de fontos, hogy ehhez először a „Ceruza” melletti nyílra kell kattintanod, és utána a „Rajz törlése” gombra.
Ha elkészült a rajzod (és újra a nyílra kattintottál), akkor nyomd meg az Ellenőrzés gombot ([icon]http://tananyag.geomatech.hu/images/ggb/geomatech/ellen%C5%91riz_bg.png[/icon]). Ekkor a program kirajzolja a megfelelő ponthalmazt a koordináta-rendszerbe.[br]Ellenőrizd megoldásodat!
Lépj a következő feladatra!
3. 11. Meredekség
Lineáris függvény transzformációja 2. a paraméter
Bevezető feladat
Figyeld meg, hogyan hat az [math]f(x)=a\cdot x[/math] [math](x\in R)[/math] függvényre, ha megváltoztatod az [math]a[/math] paraméter értékét. A paramétert megadhatod a csúszka mozgatásával, vagy a beviteli mezőbe való beírással. Változtasd meg az értékeket, és figyeld meg, mi történik! Fogalmazd meg, hogy milyen hatással van a függvény alakjára az [math]a[/math] paraméter értékének változtatása.
1. feladat
Milyen hatással van a függvény képére, ha az [math]a[/math] paraméter negatív?
2. feladat
Milyen hatással van a függvény képére, ha az [math]a[/math] paraméter 0 és 1 közé esik?
3. feladat
Milyen hatással van a függvény képére, ha az [math]a[/math] paraméter -1 és 0 közé esik?
4. feladat
Milyen hatással van a függvény képére, ha az [math]a[/math] paraméter 1-nél nagyobb vagy -1-nél kisebb?
5. feladat
Milyen hatással van a paraméter változtatása a függvényvizsgálat szempontjaira? (Mely szempontokra van hatással?)
Lineáris függvény transzformációja 3. b paraméter
Bevezető feladat
Figyeld meg, hogyan hat az [math]f(x)=x+b[/math] [math](x\in R)[/math] függvényre, ha megváltoztatod a [math]b[/math] paraméterértékét. A paramétert megadhatod a csúszka mozgatásával, vagy a beviteli mezőbe való beírással. Változtasd meg az értékeket, és figyeld meg, mi történik! Fogalmazd meg, milyen hatással van a függvényre a [math]b[/math] paraméter értékének változtatása
1. feladat
Milyen hatással van a függvény képére, ha a [math]b[/math] paraméter negatív?
2. feladat
Milyen hatással van a függvény képére, ha a [math]b[/math] paraméter pozitív?
3. feladat
Befolyásolja-e a mozgást a [math]b[/math] paraméter nagysága, vagy csak az előjele számít?
4. feladat
Milyen hatással van a paraméter változtatása a függvényvizsgálat szempontjaira? (Mely szempontokra van hatással?)
A lineáris függvény transzformációja
Bevezetés
Hogy változik az [math]f(x)=a\cdot x+b[/math] [math](x\in R)[/math] függvény görbéje, ha megváltoztatod a paramétereit ([i]a[/i], [i]b[/i])? Kísérletezz!
Feladat
Ábrázold az [math]f(x)=3x+4[/math] [math](x\in R)[/math] függvény grafikonját! [br]Az [math]f(x)=3x+4[/math] [math](x\in R)[/math] függvény grafikonját jelenítsd meg a csúszkák vagy a beviteli mezők segítségével!
Alkalmazás
Kapcsolat a valósággal
Egy testet egyenletesen melegítünk úgy, hogy két percenként 3°C-kal nő a hőmérséklete.[br]Írd fel, és ábrázold az idő és a hőmérséklet közti kapcsolatot!
1. feladat
Írd le függvénnyel a folyamatot! Add meg a függvény értelmezési tartományát és értékkészletét! Ábrázold a függvény grafikonját![br]a) Egy testet egyenletesen melegítünk. Amikor az órát indítjuk, akkor a hőmérséklete –5°C, 3 perc múlva –3°C.[br]b) Egy 7,5 cm hosszú gyertyát meggyújtanak, és percenként 0,2 cm hosszú darab ég el belőle.
2. feladat
Írj fel olyan lineáris függvényt, amelynek grafikonja átmegy az origón, és [br]a) 3 meredekségű;[br]b) –3 meredekségű;[br]c) [math]\frac{1}{4}[/math]> meredekségű;[br]d) az [math]x[/math] tengely pozitív irányával +45°-os szöget zár be!
3. feladat
Ábrázold a következő függvényeket, és mindegyik függvényről döntsd el, hogy növekedő vagy csökkenő![br]A függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza.[br]a) [math]f(x)=5x-2[/math];[br]b) [math]g(x)=-2x-1[/math];[br]c) [math]h(x)=-\frac{2}{3}x+2[/math];[br]d) [math]i(x)=0,2x-1[/math];[br]e) [math]j(x)=(2x-1)(3+x)-2(x+1)(x-1)[/math].
4. feladat
Írd fel a lineáris függvény hozzárendelési szabályát, ha grafikonja olyan egyenes, amely:[br]a) átmegy az origón,[br]b) nem megy át az origón;[br]c) átmegy a (0; 2) ponton;[br]d) átmegy a (3; 1) ponton;[br]e) áthalad a (0; 1) ponton és az az [i]x[/i] tengely pozitív irányában 1 egységet haladva 3 egységet emelkedik;[br]f) átmegy a (0; 1), (3; 0) pontokon![br]Ábrázold is a megadott függvényeket![br]Hány megoldás található az egyes esetekben?
5. feladat
Rendeld minden valós számhoz a nála hárommal nagyobb szám negyedénél eggyel kisebb számot![br]Add meg a hozzárendelési szabályt![br]Határozd meg az értékkészletet![br]Van-e a függvénynek zérushelye? Ha igen, akkor add meg![br]Vizsgáld meg a függvényt monotonitás szempontjából is!
6. feladat
Ábrázold az [math]f(x)=-3x+1[/math] [math](x\in R)[/math] függvény grafikonját![br]Pótold az [i]A[/i](0; ...), [i]B[/i](–1; ...), [i]C[/i](...; 2), [i]D[/i](...; 0) pontok hiányzó koordinátáit úgy, hogy a pont[br]a) rajta legyen a függvény grafikonján;[br]b) a függvény grafikonja „alatt” legyen;[br]c) a függvény grafikonja „felett” legyen!
Kapcsolódó érdekességek
Modellek alkotása: lineáris kapcsolatok felfedezése a hétköznapokban (pl. egységár és darabszám).[br]Időben lejátszódó történések megfigyelése, a változás megfogalmazása.[br]Fizika: időben lineáris folyamatok vizsgálata (út-idő; feszültség-áramerősség), a változás sebessége.[br]Kémia: egyenes arányosság.[br]Informatika: táblázatok készítése adott szabálynak, összefüggésnek megfelelően.[br]
Tetszőleges függvény vizsgálata kalkulussal
A beviteli mezőbe írd be a kiválasztott függvény nevét és paramétereit.[br]Tetszőlegesen választhatsz az alábbi függvények, illetve ezek kompozíciója, vagy tetszőleges függvényművelettel történő összekapcsolásaik közül:
[table][tr][td][size=100]Függvényneve és hozzárendelési szabálya[/size][/td][td][size=100]Jelölések[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]lineáris függvény: [math]f(x)=x[/math][/size][/td][td][size=100]x[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]abszolútérték-függvény: [math]f(x)=|x|[/math][/size][/td][td][size=100]abs(x)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]négyzetgyökfüggvény: [math]f(x)=\sqrt{x}[/math][/size][/td][td][size=100]sqrt(x)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]köbgyök függvény: [math]f(x)=\sqrt[3]{x}[/math][/size][/td][td][size=100]cbrt(x)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100][math]n[/math]-edik gyök függvény: [math]f(x)=\sqrt[n]{x}[/math][/size][/td][td][size=100]Gyökvonás(x,n)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]másodfokú függvény: [math]f(x)=x^n[/math][/size][/td][td][size=100]x^n[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]szinuszfüggvény: [math]f(x)=sinx[/math][/size][/td][td][size=100]sin(x)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]koszinuszfüggvény: [math]f(x)=cosx[/math][/size][/td][td][size=100]cos(x)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]tangensfüggvény: [math]f(x)=tgx[/math][/size][/td][td][size=100]tg(x)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]kotangensfüggvény: [math]f(x)=ctgx[/math][br][/size][/td][td][size=100]ctg(x)[br][/size][/td][/tr][tr][td][size=100]exponenciális függvény: [math]f(x)=e^x[/math][br][/size][/td][td][size=100]exp(x)[br][/size][/td][/tr][tr][td][size=100]logaritmusfüggvény:[br][math]f(x)=log_ax[/math], ha [math]a>0[/math] és [math]a≠1[/math][br][/size][/td][td][size=100]log(a,x)[br][/size][/td][/tr][/table]
Vizsgáld meg a függvényedet, lehetőleg minél több szempont szerint.[br]A vizsgálathoz használhatod a függvény grafikonját. Segítségképpen használhatod a görbe egy mozgatható [math]P[/math] pontját, illetve a [math]P[/math]-beli érintőt, továbbá a függvény deriváltjait. Figyeld meg, hogy van-e bármiféle kapcsolat a függvénygörbe, az érintő és a két deriváltfüggvény között. Ha igen, próbáld megfogalmazni, hogy mi az!
1. feladat
Végezd el a függvény vizsgálatát elemi úton!
2. feladat
Válassz egy tetszőleges pontot a függvénygörbén, és kapcsold be az érintőt![br]Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha mozgatod a pontod! Az érintő állása, illetve a meredeksége (nem számszerűen) mutat-e kapcsolatot valamelyik elemzési szemponttal?[br]a) Ha igen, akkor melyikkel?[br]b) Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra! [br]c) Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor ellenőrizd, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e a sejtésed
3. feladat
Ha szerinted már megvan az összefüggés, kapcsold be az első deriváltat![br]3.1. Milyen függvényt kaptál?
4. feladat
A kapott függvény, az érintő és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között látsz-e valamilyen összefüggést? (Ahhoz, hogy könnyebben észrevedd, most is mozgasd a pontot!)[br]4.1. Ha igen, akkor melyik tulajdonsággal?[br]4.2. Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra! [br]4.3. Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor ellenőrizd, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e a sejtésed!
5. feladat
Ha szerinted már megvan az összefüggés, kapcsold be a második deriváltat![br]5.1. Milyen függvényt kaptál?
6. feladat
A kapott függvény, az érintő, az első derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között látsz-e valamilyen összefüggést? (Ahhoz, hogy könnyebben észrevedd, most is mozgasd a pontot!)[br]6.1. Ha igen, akkor melyikkel?[br]6.2. Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra! [br]6.3. Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor ellenőrizd, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e!
Lineáris függvény gyakoroltató 1.
Bevezető feladat
Fel tudod írni a lineáris függvény hozzárendelési szabályát a grafikonja alapján?[br]Próbáld ki!
Add meg a képen látható függvény hozzárendelési szabályát!
Próbálj a képen látható grafikonhoz egy feladatot kitalálni!
Alkalmazás
1. feladat
Először válassz nehézségi szintet (könnyű, közepes vagy nehéz) a csuszka segítségével![br]A Kezdés gombra ([icon]/images/ggb/geomatech/start.png[/icon]) kattintás után 10 egymást követő feladatot kapsz.[br]Minden feladatnál le kell olvasnod a koordinátatengelyről az egyenes meredekségét, és azt, hogy hol metszi az [math]y[/math][i] [/i]tengelyt. A hozzárendelés szabályát [math]f(x)=ax+b[/math][i] [/i]alakban adhatod meg. [br][list][*]Van lehetőség segítséget kérni: a jelölőnégyzetbe tett pipa után a megjelenő sárga pötty segít leolvasni a [math]b[/math][i] [/i]értékét.[br][/*][*]Ezután az Ellenőrzés gombra ([icon]/images/ggb/geomatech/ellenőriz_bg.png[/icon]) kell kattintani. [br][/*][*]Helyes: Zöld színű lesz az egyenes, ha helyesen válaszoltál.[br][/*][*]Helytelen: Piros egyenessel jelenik meg az az egyenes, melynek paramétereit beírtad.[br][/*][*]A jobb oldali táblázatra pillantva tudod összehasonlítani a válaszodat és a helyes megoldást.[br][/*][/list]A Következő gombra ([icon]/images/ggb/geomatech/kovetkezo.png[/icon]) kattintás után jön az új feladvány.[br]Az utolsó feladat után elölről lehet kezdeni a gyakorlást – kattints a [icon]http://tananyag.geomatech.hu/images/ggb/geomatech/ujra.png[/icon] gombra.
Kapcsolódó érdekességek
A „lineáris” szó arra utal, hogy a függvény grafikonja egyenes. Olyan egyenes, amely nem párhuzamos az [math]y[/math][i] [/i]koordinátatengellyel.