[size=85][size=85][size=85][size=85][right][size=50][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](09.Januar. 2021)[br][/b][/color][/size][/size][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Diese Seite ist auch eine Aktivität des[/color][/color][/size][/size][/size][/size][b][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000] [color=#980000][i][b]Geogebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV][color=#0000ff][u][b]Sechseck-Netze[/b][/u][/color][/url][/color][/color][/size][/size][/size][/size][/b][/color][/size][/size][/size][/size][br][/right][/size]Quelle: [url=https://www.researchgate.net/publication/256762720_New_examples_of_hexagonal_webs_of_circles]Fedor Nilov "New examples of hexagonal webs of circles" sept 2013[/url] [br]Beispiel 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[/img][/td][td][i][u][b]Beispiel (e)[/b][/u][/i]: (Aus dem Artikel von [b]Fedor Nilov[/b])[br]In einer [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] mit der [color=#0000ff][i][b]Exzentrizität[/b][/i][/color] [math]\epsilon=\frac{1}{\sqrt{2}}[/math] erzeugen die im Inneren [br][color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] und die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color]s[br]durch die beiden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color].[br]Zur Konsruktion dieses Beispiels: siehe die nachfolgenden Applets:[br]Zu einem [i][b]Punkt[/b][/i] im Inneren sind die beiden [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [br]durch diesen [i][b]Punkt[/b][/i] zu konstruieren.[br]Für [i][b]Punkte[/b][/i] im Äußeren ist es einfach, mit Hilfe des [color=#0000ff][i][b]Leitkreises[/b][/i][/color] bzw. der [br][color=#0000ff][i][b]Leitgraden[/b][/i][/color] die [color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] bzw. [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] zu konstruieren.[br] [/td][/tr][/table][br]Das Applet oben soll andeuten, dass die im Inneren einer [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise [/b][/i][/color]nicht notwendig [br]reelle [color=#ff7700][i][b]Berührpunkte[/b][/i][/color] besitzen müssen - durch jeden Punkt im Inneren der [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] gehen 2 [color=#999999][i][b]doppelt-berührende Kreise[/b][/i][/color].[br]Der [i][b]Berührort [/b][/i](siehe die Beispiele zuvor!) besteht aus der [color=#ff7700][i][b]Ellipse, [/b][/i][/color]der Strecke zwischen den Hauptscheiteln[br]und dem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] um den Ellipsenmittelpunkt durch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]. Dieser [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] berührt die [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] in den Nebenscheiteln[br] - dies charakterisiert die [color=#ff7700][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color] mit der vorliegenden [color=#0000ff][i][b]Exzentrizität[/b][/i][/color]![br][/size]

[size=85][u][i][b]Zur Erklärung der Konstruktion im Applet:[/b][/i][/u][br]Bekanntlich sind die [color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] einer [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] der Geraden durch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] ([color=#ff0000][i][b]Brennstrahlen[/b][/i][/color])[br] und den [color=#f1c232][i][b]Berührpunkt[/b][/i][/color] der [color=#999999][i][b]Tangente[/b][/i][/color]. [br][color=#999999][i][b]Tangente[/b][/i][/color] und [color=#999999][i][b]Normale[/b][/i][/color] sind die [i][b]"[color=#0000ff]Mittel-Kreise[/color]"[/b][/i], dh. die [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierenden [/color][/i][/b]der [color=#ff0000][i][b]Brennstrahlen[/b][/i][/color].[br]Orthogonal zu den [color=#ff0000][i][b]Brennstrahlen[/b][/i][/color] durch die [i][b][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/b][/i] sind die [i][b][color=#ff0000]konzentrischen Kreise[/color][/b][/i] um die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color].[br]Schneiden sich die beiden [color=#ff0000][i][b]konzentrischen Kreise[/b][/i][/color] um die beiden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf der [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color], so ist die [color=#999999][i][b]Tangente[/b][/i][/color] [br]ebenfalls [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color].[br]Die[color=#0000ff][i][b] Mittelkreise[/b][/i][/color] zu diesen beiden [color=#ff0000][i][b]Brennkreisen[/b][/i][/color] ist der innenliegende [color=#999999][i][b]doppelt-berührende Kreis[/b][/i][/color] und der dazu [color=#999999][i][b]orthogonale Kreis[/b][/i][/color].[br]Beide liegen [color=#BF9000][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zur Hauptachse.[br]Zwischen zwei [color=#ff0000][i][b]Brennkreisen[/b][/i][/color], die sich auf der [i][b]Ellipse[/b][/i] schneiden, gibt es eine einfache Beziehung:[br]Spiegelt man einen der Hauptachsen-Schnittpunkte eines [color=#ff0000][i][b]Brennkreises[/b][/i][/color] an der [color=#999999][i][b]Tangente[/b][/i][/color] eines der [color=#ff7700][i][b]Ellipsen-Scheitel[/b][/i][/color] auf der [br]Hauptachse, so erhält man einen Hauptachsen-Schnittpunkt des anderen [color=#ff0000][i][b]Brennkreises[/b][/i][/color]. [br]Diese Beziehung ergibt auch eine Zuordnung der [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color], falls sie sich nicht schneiden. Die [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] besitzen dann[br]einen eindeutig bestimmten [color=#0000ff][i][b]Mittel-Kreis[/b][/i][/color]. Wie man erkennen kann, übernehmen diese [color=#0000ff][i][b]Mittel-Kreise[/b][/i][/color] nahtlos die Rolle der [br][color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] im Inneren der Ellipse.[br]Diese Beziehung zwischen [color=#ff0000][i][b]Brennkreisen[/b][/i][/color] und [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color] ist eine Eigenschaft von allen [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color][br]bei geeigneter Übertragung der Begriffe [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color], [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] und [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreis[/b][/i][/color].[br]Siehe dazu das Kapitel [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#chapter/365885]Kegelschnitte und Wellen[/url] im [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/b][/i][/u][/color].[/size]

[size=85]Die [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] oben besitzt die Exzentrizität [math]\epsilon=\frac{1}{\sqrt{2}}[/math]: In der Gleichung [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] ist [math]a=\sqrt{2}\cdot b[/math], der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] ist [math]f=\left(b,0\right)[/math].[br]Für die [i][b]Konstruktion[/b][/i] der [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ist diese besondere Lage nicht ausschlaggebend.[br]Der [color=#ff0000][i][b]konzentrische Kreis[/b][/i][/color] um [color=#00ff00][b]f' [/b][/color]schneidet die Hauptachse in [b][color=#ff0000]s[sub]DB[/sub][/color][/b]. Gespiegelt an der Tangente im [color=#ff7700][i][b]Ellipsen-Scheitel[/b][/i][/color] [color=#ff7700][b]s'[/b][/color] [br]erhält man den Schnittpunkt [color=#ff0000][b]s'[sub]DB[/sub][/b][/color] des zugeordneten [color=#ff0000][i][b]konzentrischen Kreis[/b][/i][i][b]es[/b][/i][/color] um [color=#00ff00][b]f[/b][/color]. [br]Wenn sich diese [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] schneiden, schneiden sie sich auf der [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color]. [br]Einer der [color=#0000ff][i][b]Mittelkreise[/b][/i][/color] ist ein [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreis[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color], möglicherweise ohne reelle [color=#ff7700][i][b]Berührpunkte[/b][/i][/color].[br][br]Die zur [math]y[/math]-Achse [color=#ffd966][i][b]symmetrischen[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] konstruiert man auf ähnliche Art:[br]Für Kegelschnitte ist [math]\infty[/math] ein doppelt-zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color].[br][color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] sind die Kreise durch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f'[/b][/color] einerseits, und die [color=#ff0000][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] zur Hauptachse andererseits.[br]Spiegelt man den Schnittpunkt [color=#ff0000][b]s[sub]y[/sub][/b][/color] eines [color=#ff0000][i][b]Brennkreises[/b][/i][/color] an dem [color=#6aa84f][i][b]Berühr-Kreis[/b][/i][/color] an die [color=#ff7700][i][b]Ellipsen-Scheitel[/b][/i][/color] auf der Nebenachse[br] (dieser [color=#38761D][i][b]Kreis[/b][/i][/color] geht im obigen speziellen Fall durch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]!), so erhält man den Schnittpunkt [color=#ff0000][b]s'[sub]y[/sub][/b][/color] der zugeordneten[br]Parallele zur Hauptachse mit der Nebenachse.[br]Die [color=#0000ff][i][b]Mittelkreise[/b][/i][/color] sind die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color], oft ohne reelle [color=#ff7700][i][b]Berührpunkte[/b][/i][/color]![br][u][i][b]Zur Definition[/b][/i][/u]: [color=#0000ff][i][b]Mittelkreis [/b][/i][/color]zweier Kreise ist ein Kreis, an welchem gespiegelt die beiden Kreise vertauscht werden.[br]Hierbei zählen die Geraden zu den Kreisen.[br][/size][br][u][i][b]Eine knifflige Konstruktionsaufgabe (?!) :[/b][/i][/u][br]Man konstruiere zu einem Punkt im Inneren einer Ellipse [br]die beiden die Ellipse [color=#b6b6b6][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] durch den vorgegebenen Punkt.