Eine Kugel wird mit Drei- und Viereckspyramiden so ausgefüllt, dass sich zwischen den Pyramiden keine Luft mehr befindet und die Grundflächen die Kugeloberfläche berühren. [br][br][b]Idee[/b][br][br]Da sich die Gesamtgrundfläche aller Pyramiden der Kugeloberfläche annähert, kann mithilfe der bekannten Formeln des Pyramiden- und Kugelvolumens die Formel der Kugeloberfläche entwickelt werden.

[b]1. Schritt[/b] (Grundfläche von z.B. 144 Pyramiden)[br][br][table][tr][td][/td][td]Die Summe [b]G[/b] der Grundflächen [b]G[sub]i[/sub][/b] aller Pyramiden (hier 144) ist näherungsweise gleich der Kugeloberfläche:[br][br][math]\Large G=G_1+ G_2 + G_3 +\dots+ G_{144}\approx O_{Kugel}[/math][/td][/tr][/table][br][br][b]2. Schritt[/b] (Grundfläche unendlich vieler Pyramiden = Kugeloberfläche)[br][br][table][tr][td][/td][td]Wird die Anzahl der Pyramiden immer größer, werden die Grundfläche immer kleiner und die Gesamtgrundfläche [b]G[/b] nähert sich immer mehr der gesuchten Kugeloberfläche an.[br][br]Geht die Anzahl der Pyramiden [b]gegen Unendlich[/b] (eine Summe ohne Endsummand), so kann dieser "[u]Grenzwert der Gesamtgrundfläche [b]G[/b][/u]" der Kugeloberfläche gleichgesetzt werden:[br][br][math]\Large G=G_1+ G_2 + G_3 +\dots = O_{Kugel}[/math][/td][/tr][/table][br][br][b]3. Schritt[/b] (Volumen unendlich vieler Pyramiden)[br][br][table][tr][td][/td][td]Das Volumen [b]V[/b] aller Pyramiden mit jeweiligen Grundfläche [b]G[sub]i[/sub] [/b]und Höhe [b]r[/b] kann mithilfe der Gesamtgrundfläche [b]G[/b] geschrieben werden:[br][br][math]\Large V_{P}=\frac{1}{3} G_1\cdot r+\frac{1}{3} G_2\cdot r+\dots+\frac{1}{3} G_{144}\cdot r=\frac{1}{3}(G_1+ G_2 +\dots+ G_{144})\cdot r = \frac{1}{3} G\cdot r[/math][/td][/tr][/table][br][br][b]4. Schritt [/b](Pyramidenvolumen basierend auf Kugeloberfläche)[br][br][table][tr][td][/td][td]Für [b]unendlich viele[/b] Pyramiden gilt [math]\Large G=O_{Kugel}[/math] (s. oben) und folglich für das Pyramidenvolumen[br][br][math]\Large V_{P}= \frac{1}{3} O_{Kugel}\cdot r[/math][/td][/tr][/table][br][br][b]5. Schritt[/b] (Pyramidenvolumen = Kugelvolumen)[br][br][table][tr][td][/td][td]Für [b]unendlich viele[/b] Pyramiden ist [b]V[sub]P[/sub][/b] gleich dem bekannten Kugelvolumen[br][br][math]\Large V_K\begin{tabular}{c}!\\ =\\ \vphantom{!}\\ \end{tabular}\frac{4}{3}\pi r^3[/math] .[br][br]Daraus folgt:[br][br][math]\Large \frac{1}{3}O_{Kugel}\cdot r \begin{tabular}{c}!\\ =\\ \vphantom{!}\\ \end{tabular} \frac{4}{3}\pi r^3[/math][br][/td][/tr][/table][br][br][b]6. Schritt[/b] (Formel für die Kugeloberfläche)[br][br][table][tr][td][/td][td]Aufgelöst nach der Kugeloberfläche ergibt sich damit:[br][br][math]\Large O_{Kugel} = 4\pi r^2[/math][/td][/tr][/table]