El circuncentro es uno de los puntos ya vistos, pero volveremos a definirlo. [br][br][b]Definición[/b]: Llamamos [i]circuncentro[/i] al centro del círculo que está circunscrito en un triángulo. Este se forma por los bisectores perpendiculares del triángulo, y llamamos a este punto O en la siguiente figura, al igual que al radio R.

Un triángulo es disecado por sus medianas en 6 triángulos pequeños con áreas iguales.[br][br][b]Demostración:[/b] Observemos la siguiente figura:

Sea G el punto en donde las medianas se intersecan, llamado [i]centroide. [/i]Ya que son medianas, tenemos que [math]BA'=A'C[/math], [math]CB'=B'A[/math] y [math]AC'=C'B[/math]. [br][br]Notemos que [math]\left(GBA'\right)=\left(GA'C\right)[/math] ya que los triángulos tienen bases iguales y misma altura. Por tanto, a ambos les denotamos [math]x[/math]. Por la misma razón, tenemos [math]\left(GCB'\right)=\left(GB'A\right)[/math] y [math]\left(GAC'\right)=\left(GC'B\right)[/math], a las cuales denotamos [math]y[/math] & [math]z[/math].[br][br]Pero notemos que [math]\left(CAC'\right)=\left(CC'B\right)[/math] o sea, [math]2y+z=z+2x[/math], por tanto, [math]x=y[/math]. Similarmente, [math]\left(ABA'\right)=\left(AA'C\right)[/math] donde [math]y=z[/math]. Por lo tanto, [math]x=y=z[/math].

Las medianas de un triángulo se dividen una a otra en la razón 2:1, en otras palabras, las medianas de un triángulo se "trisecan". [br][br][b]Demostración[/b]: [br][br]Continuando examinando la figura anterior, notamos que [math]\left(GBA\right)=2\left(GBA'\right)[/math]. Como estos triángulos tienen la misma altura, sigue que [math]AG=2GA'[/math]. Similarmente, [math]BG=2GB'[/math] y [math]CG=2GC'[/math].[br][br]Por lo tanto, las medianas de un triángulo se dividen una a otra en la razón 2:1.

Las cevianas [math]AD[/math], [math]BE[/math], [math]CF[/math] en la siguiente figura, perpendiculares a [math]BC[/math], [math]CA[/math], [math]AB[/math], respectivamente, se les llaman las [i]alturas[/i] de [math]\text{△}ABC[/math]. Vemos que son concurrentes por el converso del Teorema de Ceva. Su punto concurrente, H, es llamado el ortocentro. [br][br]D, E, y F son los pies de las alturas, al unirlas creamos el [math]\text{△}DEF[/math] que se denomina el triángulo órtico.

Cada bisector angular de un triángulo divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a sus lados adyacentes (en medida). [br][br][b]Demostración[/b]: Observemos la siguiente figura,

Otro conjunto de cevianas importantes son los tres bisectores angulares. La figura muestra el bisector ángular AL. Si aplicamos el teorema de Ley de Senos a los dos triángulos [math]\text{△}ABL[/math] y [math]\text{△}ALC[/math], en donde sus ángulos L son sumplementarios y tienen senos iguales, obtenemos:[br][br][math]\frac{BL}{Sin\left(\frac{1}{2}\right)A}=\frac{c}{SinL}[/math], [math]\frac{LC}{sin\left(\frac{1}{2}\right)A}=\frac{b}{sinL}[/math], por tanto, [math]\frac{BL}{LC}=\frac{c}{b}[/math][br][br]Como podemos llegar a resultados similares con los bisectores angulares de los ángulos B y C, hemos demostrado el teorema.

Los bisectores angulares internos de los tres ángulos de un triángulo son concurrentes.[br][br][b]Demostración[/b]: Observemos la siguiente figura,

Cualquier punto en AL (de la figura previa a la mostrada) es equidistante a CA y AB. Similarmente, cualquier punto en el bisector angular de B es equidistante de AB y BC. Por tanto, el punto I (en la figura mostrada) donde esos bisectores se conectan está a distancias iguales [math]r[/math] de todos sus lados. Queda demostrado.[br][br]Adicionalmente, el circulo con centro [math]I[/math] y radio [math]r[/math] tiene los tres lados del triángulo como tangentes y por lo tanto es el círculo inscrito o incírculo. Llamamos I al incentro y r el inradio.