Por el teorema de Fubini la integral de una función continua [math]f[/math] sobre el rectángulo [math]R=\left[a,b\right]\times\left[c,d\right][/math], se puede calcular como:[br][br][math]\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dxdy=\displaystyle\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)dy=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)dx[/math].[br][br]Cuando [math]f[/math] es una función positiva en el rectángulo, la integral sobre el rectángulo [math]R[/math] se puede interpretar como el volumen bajo la gráfica de [math]f[/math] sobre [math]R[/math], y las integrales entre paréntesis se pueden interpretar como áreas. Si [math]f[/math] cambia de signo en el rectángulo, la integral sobre [math]R[/math] es resta de volúmenes lo que llamaremos [i]volumen con signo[/i]. De la misma manera, las integrales entre paréntesis serán [i]áreas con signo[/i].[br][br][list][*]En la primera integral iterada, la integral [math]A(y_0)=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x,y_0)\,dx[/math] es el área de la gráfica de [math]f\left(x,y_0\right)[/math] cuando [math]y=y_0[/math] y [math]x[/math] varía entre [math]a[/math] y [math]b[/math] (si no es positiva entonces la integral es un[i] área con signo[/i]). Este [i]área [/i]depende del valor [math]y_0[/math] con [math]y_0[/math] entre [math]c[/math] y [math]d[/math]. Al integrar esa función [math]A\left(y\right)[/math] entre [math]c[/math] y [math]d[/math] se obtiene la integral doble, [br][/*][/list][math]\displaystyle\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)dy=\displaystyle\int_{c}^{d}A(y)\,dy=\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dxdy[/math][br][br][list][*]De manera análoga, la integral [math]A(x_0)=\displaystyle\int_c^d f(x_0,y)\,dy[/math] es el [i]área con signo[/i] de la gráfica de [math]f\left(x_0,y\right)[/math] cuando [math]y[/math] varía entre [math]c[/math] y [math]d[/math]. En este caso [math]A\left(x_0\right)[/math] depende del valor de [math]x_0[/math] para [math]x_0[/math] entre [math]a[/math] y [math]b[/math]. Al integrar ahora esa función entre [math]a[/math] y [math]b[/math] se obtiene otro método para calcular la integral doble:[br][/*][/list][math]\displaystyle\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)dx=\displaystyle\int_{a}^{b}A(x)\,dx=\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\,dxdy[/math].

Arriba a la derecha se ve el rectángulo [math]R=\left[a,b\right]\times\left[c,d\right][/math], que es el dominio de integración. Abajo, de color azul, se ve la gráfica de [math]f\left(x,y\right)[/math] con ese dominio.[br][br]Arriba a la izquierda, al marcar la casilla "Integración primero con respecto a x" aparece en el valor de [math]y[/math] indicado por el deslizador verde, y en la parte de abajo de la construcción se aprecia la gráfica de la función [math]f\left(x,y_0\right)[/math] (con [math]y_0[/math] constante y [math]x[/math] entre [math]a[/math] y [math]b[/math]). La zona coloreada en rojo que aparece bajo la gráfica de [math]f[/math] representa la integral [math]A(y_0)=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x,y_0)\,dx[/math] y el plano azul es el plano [math]y=y_0[/math]. Al variar [math]y_0[/math] con el deslizador va variando la zona coloreada y su integral. [br][br]De forma análoga, al marcar la casilla "Integración primero con respecto a y" aparece en el valor de [math]x_0[/math] indicado por el deslizador rojo, la gráfica de la función [math]f\left(x_0,y\right)[/math] (con [math]x_0[/math] constante e [math]y[/math] entre [math]c[/math] y [math]d[/math]). La zona coloreada en verde bajo la gráfica de [math]f[/math] representa la integral [math]A(x_0)=\displaystyle\int_{c}^{d}f(x_0,y)\,dy[/math] y el plano azul es ahora el plano [math]x=x_0[/math]. Al variar [math]x_0[/math] con el deslizador va variando la zona coloreada y su integral. [br][br]La función [math]f\left(x,y\right)[/math], y los valores de [math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math] y [math]d[/math] se pueden introducir en las casillas de entrada.