-
Analisi Vol.2
-
1. La derivata
- D_01: Derivata di una funzione in un punto: definizione
- D_02: I limiti dx. e sin. possono essere diversi
- D_03: La discontinuità implica la non derivabilità
- D_04: Funzioni continue non derivabili. Classificazione
- D_05a: Tangente al grafico di f(x) in un suo punto
- D_05b: La funzione derivata f'(x)
- D_06: Derivata della funzione inversa
-
2. Applicazioni cinematiche
- D_08: Dalla velocità media alla velocità istantanea
- D_09: Analisi cinematica di un moto rettilineo
-
3. Teoremi del calcolo differenziale
- D_07: Il differenziale df di una funzione f
- D_10: Il teorema di Fermat
- D_11: Il teorema di Rolle
- D_12: Sul significato delle ipotesi del teorema di Rolle
- D_13: Il teorema di Lagrange
- D_14: Significato delle ipotesi del th. di Lagrange
- D_15: Rolle come caso particolare di Lagrange
-
4. Crescenza, decrescenza, massimi e minimi
- D_16: Crescenza, decrescenza e segno di f'(x)
- D_17: Definizione di massimo e minimo relativi (locali)
- D_18: I Punti stazionari di una funzione
- D_19: Segno di f'(x) e andamento di f(x)
- D_20: Estremi relativi angolosi e grafico di f'(x)
- D_24: Ricerca degli estremi di f(x) in generale
-
5. Problemi di ottimizzazione
- D_21: Problema di ottimizzazione n.1
- D_22: Problema di ottimizzazione n.2
- D_23: Problema di ottimizzazione n.3
-
6. Concavità e flessi
- D_25: Definizione di concavità di f(x)
- D_27: Concavità verso l'alto e derivata prima
- D_28: Concavità verso il basso e derivata prima
- D_29: Flesso come massimo di f'(x)
- D_30: Flesso come minimo di f'(x)
- D_31: Confronto dei grafici di f(x), f'(x) e f''(x)
- D_26: Esempio riassuntivo
-
7. Integrale definito
- I_01: Integrale definito: convergenza
- I_02: Proprietà dell'integrale definito (a)
- I_03: Proprietà dell'integrale definito (b)
- I_04: Proprietà dell'integrale definito (c)
- I_05: Proprietà dell'integrale definito (d)
- I_06: Teorema della media integrale
-
8. La funzione integrale
- I_07: Introduzione alla funzione integrale
- I_09: Caso particolare (a)
- I_10: Caso particolare (b)
- I_11: Il teorema di Torricelli Barrow
- I_12: Esercizio riassuntivo sulla funzione integrale
-
9. Integrale indefinito
- I_13: La ricerca della primitiva
- I_13a: Calcolo numerico della primitiva
-
10. Calcolo di superfici volumi e archi
- I_14: Area della superficie racchiusa fra due curve
- I_15: Integrale improprio del primo tipo
- I_16: Integrale improprio del secondo tipo
- I_17: Volume di un solido di rotazione
- I_18: Volume attraverso sezioni parallele
- I_19: Il teorema di Guldino
- I_19a: Integrazione attraverso gusci cilindrici
- I_20: Lunghezza di un arco
- I_21: Superficie di un solido di rotazione
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Analisi Vol.2
Roberto Giunti, Jul 31, 2018
Table of Contents
- La derivata
- D_01: Derivata di una funzione in un punto: definizione
- D_02: I limiti dx. e sin. possono essere diversi
- D_03: La discontinuità implica la non derivabilità
- D_04: Funzioni continue non derivabili. Classificazione
- D_05a: Tangente al grafico di f(x) in un suo punto
- D_05b: La funzione derivata f'(x)
- D_06: Derivata della funzione inversa
- Applicazioni cinematiche
- D_08: Dalla velocità media alla velocità istantanea
- D_09: Analisi cinematica di un moto rettilineo
- Teoremi del calcolo differenziale
- D_07: Il differenziale df di una funzione f
- D_10: Il teorema di Fermat
- D_11: Il teorema di Rolle
- D_12: Sul significato delle ipotesi del teorema di Rolle
- D_13: Il teorema di Lagrange
- D_14: Significato delle ipotesi del th. di Lagrange
- D_15: Rolle come caso particolare di Lagrange
- Crescenza, decrescenza, massimi e minimi
- D_16: Crescenza, decrescenza e segno di f'(x)
- D_17: Definizione di massimo e minimo relativi (locali)
- D_18: I Punti stazionari di una funzione
- D_19: Segno di f'(x) e andamento di f(x)
- D_20: Estremi relativi angolosi e grafico di f'(x)
- D_24: Ricerca degli estremi di f(x) in generale
- Problemi di ottimizzazione
- D_21: Problema di ottimizzazione n.1
- D_22: Problema di ottimizzazione n.2
- D_23: Problema di ottimizzazione n.3
- Concavità e flessi
- D_25: Definizione di concavità di f(x)
- D_27: Concavità verso l'alto e derivata prima
- D_28: Concavità verso il basso e derivata prima
- D_29: Flesso come massimo di f'(x)
- D_30: Flesso come minimo di f'(x)
- D_31: Confronto dei grafici di f(x), f'(x) e f''(x)
- D_26: Esempio riassuntivo
- Integrale definito
- I_01: Integrale definito: convergenza
- I_02: Proprietà dell'integrale definito (a)
- I_03: Proprietà dell'integrale definito (b)
- I_04: Proprietà dell'integrale definito (c)
- I_05: Proprietà dell'integrale definito (d)
- I_06: Teorema della media integrale
- La funzione integrale
- I_07: Introduzione alla funzione integrale
- I_09: Caso particolare (a)
- I_10: Caso particolare (b)
- I_11: Il teorema di Torricelli Barrow
- I_12: Esercizio riassuntivo sulla funzione integrale
- Integrale indefinito
- I_13: La ricerca della primitiva
- I_13a: Calcolo numerico della primitiva
- Calcolo di superfici volumi e archi
- I_14: Area della superficie racchiusa fra due curve
- I_15: Integrale improprio del primo tipo
- I_16: Integrale improprio del secondo tipo
- I_17: Volume di un solido di rotazione
- I_18: Volume attraverso sezioni parallele
- I_19: Il teorema di Guldino
- I_19a: Integrazione attraverso gusci cilindrici
- I_20: Lunghezza di un arco
- I_21: Superficie di un solido di rotazione
La derivata
-
1. D_01: Derivata di una funzione in un punto: definizione
-
2. D_02: I limiti dx. e sin. possono essere diversi
-
3. D_03: La discontinuità implica la non derivabilità
-
4. D_04: Funzioni continue non derivabili. Classificazione
-
5. D_05a: Tangente al grafico di f(x) in un suo punto
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6. D_05b: La funzione derivata f'(x)
-
7. D_06: Derivata della funzione inversa
D_01: Derivata di una funzione in un punto: definizione
E' illustrato il concetto di derivata come limite per del rapporto incrementale .
Il rapporto incrementale è interpretato geometricamente come coefficiente angolare delle secanti (in rosso e arancio) passanti per il punto P del grafico di di coordinate . Il limite del rapporto è interpretato geometricamente come il coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione in .
Trascina i due sliders per osservare il comportamento al limite ( per limite destro e per limite sinistro).
D_08: Dalla velocità media alla velocità istantanea
L'applet mostra che in un moto (rettilineo in questo caso) la velocità istantanea al tempo è data dalla derivata della legge oraria del moto.
Il grafico in blu è quello della legge oraria del moto esaminato.
La pendenza della secante rappresenta la velocità media del mobile nell'intervallo di tempo .
Il limite del rapporto incrementale per è per definizione la velocità istantanea.
Trascina P per scegliere l'istante in cui valutare la velocità istantanea.
Trascina lo slider per osservare il comportamento al limite.
Teoremi del calcolo differenziale
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1. D_07: Il differenziale df di una funzione f
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2. D_10: Il teorema di Fermat
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3. D_11: Il teorema di Rolle
-
4. D_12: Sul significato delle ipotesi del teorema di Rolle
-
5. D_13: Il teorema di Lagrange
-
6. D_14: Significato delle ipotesi del th. di Lagrange
-
7. D_15: Rolle come caso particolare di Lagrange
D_07: Il differenziale df di una funzione f
L'applet illustra il concetto di differenziale di una funzione.
Trascina P lungo il grafico di e osserva come variano il differenziale e l'incremento della funzione .
Trascina lo slider per osservare il comportamento al limite del differenziale. Osserva che per piccolo il differenziale e l'incremento si confondono.
Crescenza, decrescenza, massimi e minimi
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1. D_16: Crescenza, decrescenza e segno di f'(x)
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2. D_17: Definizione di massimo e minimo relativi (locali)
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3. D_18: I Punti stazionari di una funzione
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4. D_19: Segno di f'(x) e andamento di f(x)
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5. D_20: Estremi relativi angolosi e grafico di f'(x)
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6. D_24: Ricerca degli estremi di f(x) in generale
D_16: Crescenza, decrescenza e segno di f'(x)
L'applet mostra una conseguenza importante del teorema di Lagrange.
Trascina lo slider per passare dal caso con derivata positiva al caso con derivata negativa.
Osservare che gli incrementi e sono concordi o discordi, determinando quindi la crescenza o decrescenza della funzione nei rispettivi intervalli.
D_21: Problema di ottimizzazione n.1
Ricerca del rettangolo di area massima fra quelli isoperimetrici.
Trascina x lungo l'asse delle ascisse per vedere come varia l'area dei rettangoli isoperimetrici e quando assume il valore massimo.
Concavità e flessi
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1. D_25: Definizione di concavità di f(x)
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2. D_27: Concavità verso l'alto e derivata prima
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3. D_28: Concavità verso il basso e derivata prima
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4. D_29: Flesso come massimo di f'(x)
-
5. D_30: Flesso come minimo di f'(x)
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6. D_31: Confronto dei grafici di f(x), f'(x) e f''(x)
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7. D_26: Esempio riassuntivo
D_25: Definizione di concavità di f(x)
L'applet illustra la definizione di concavità, verso l'alto, verso il basso e di punto di flesso.
Trascina P lungo il grafico della funzione per osservare le reciproche posizioni della tangente e del grafico della funzione in un intorno di x.
Trascina lo slider per assegnare la misura opportuna dell'intorno .
Trascina il punto sulla tangente per controllare la relazione richiesta fra e
Trascina P sul punto di flesso F e osserva la relazione fra i valori di e trascinando il punto all'interno dell'intorno di P.
I_01: Integrale definito: convergenza
L'applet mostra il limite delle somme inferiore e della somma superiore.
Trascina lo slider superiore per modificare il numero dei rettangoli.
Trascina lo slider inferiore per scegliere la somma superiore, inferiore o entrambe
Osserva la convergenza verso un limite comune delle somme inferiore e superiore al crescere del numero dei rettangoli.
I_07: Introduzione alla funzione integrale
L'applet illustra i concetto di funzione integrale relativa ad una funzione .
Trascina i punti e per definire l'intervallo in cui risulta definita la funzione .
Trascina il punto nell'intervallo per scegliere l'estremo inferiore della funzione integrale .
Trascina il punto nell'intervallo per costruire passo-passo la funzione integrale .
Osserva l'andamento della funzione integrale in relazione ai segni della funzione :
- quando la funzione è positiva la funzione integrale accumula aree positive, e quindi risulta crescente;
- quando la funzione è negativa la funzione integrale accumula aree negative, e quindi risulta decrescente;
- dove la funzione si annulla passando da positiva a negativa, la funzione integrare presenta un massimo;
- dove la funzione si annulla passando da negativa a positina, la funzione integrare presenta un minimo.
I_13: La ricerca della primitiva
L'applet permette di esercitarsi nella ricostruzione delle primitivedi una funzione .
Usa lo slider verticale per passare da una fase alla successiva.
- Fase 1: trascina i punti blu per modificare a piacere il grafico di
- Fase 2: determina gli intervalli in cui la funzione ha segno negativo o positivo.
- Fase 3: trascina il punto x lungo l'asse delle ascisse per ricostruire passo-passo il grafico di una primitiva (quando la funzione è negativa la primitiva decresce e quando è positiva la primitiva cresce).
- Fase 4: trascina lo slider per osservare altre primitive. N.B. tangenti in punti di uguale ascissa sulle due diverse primitive si mantengono parallele.
Calcolo di superfici volumi e archi
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1. I_14: Area della superficie racchiusa fra due curve
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2. I_15: Integrale improprio del primo tipo
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3. I_16: Integrale improprio del secondo tipo
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4. I_17: Volume di un solido di rotazione
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5. I_18: Volume attraverso sezioni parallele
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6. I_19: Il teorema di Guldino
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7. I_19a: Integrazione attraverso gusci cilindrici
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8. I_20: Lunghezza di un arco
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9. I_21: Superficie di un solido di rotazione
I_14: Area della superficie racchiusa fra due curve
L'applet illustra la formula di calcolo per l'area compresa fra due curve di equazioni e in azzurro.
Essa risulta equivalente a quella sotto la curva di equazione in rosso.
L'equivalenza è geometricamente giustificabile attraverso il principio di Cavalieri.
Infatti, trascinando lo slider osserva che i corrispondenti segmenti sezione delle due regioni piane sono sempre congruenti.
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