Analisi Vol.2
Table of Contents
- La derivata
- D_01: Derivata di una funzione in un punto: definizione
- D_02: I limiti dx. e sin. possono essere diversi
- D_03: La discontinuità implica la non derivabilità
- D_04: Funzioni continue non derivabili. Classificazione
- D_05a: Tangente al grafico di f(x) in un suo punto
- D_05b: La funzione derivata f'(x)
- D_06: Derivata della funzione inversa
- Applicazioni cinematiche
- D_08: Dalla velocità media alla velocità istantanea
- D_09: Analisi cinematica di un moto rettilineo
- Teoremi del calcolo differenziale
- D_07: Il differenziale df di una funzione f
- D_10: Il teorema di Fermat
- D_11: Il teorema di Rolle
- D_12: Sul significato delle ipotesi del teorema di Rolle
- D_13: Il teorema di Lagrange
- D_14: Significato delle ipotesi del th. di Lagrange
- D_15: Rolle come caso particolare di Lagrange
- Crescenza, decrescenza, massimi e minimi
- D_16: Crescenza, decrescenza e segno di f'(x)
- D_17: Definizione di massimo e minimo relativi (locali)
- D_18: I Punti stazionari di una funzione
- D_19: Segno di f'(x) e andamento di f(x)
- D_20: Estremi relativi angolosi e grafico di f'(x)
- D_24: Ricerca degli estremi di f(x) in generale
- Problemi di ottimizzazione
- D_21: Problema di ottimizzazione n.1
- D_22: Problema di ottimizzazione n.2
- D_23: Problema di ottimizzazione n.3
- Concavità e flessi
- D_25: Definizione di concavità di f(x)
- D_27: Concavità verso l'alto e derivata prima
- D_28: Concavità verso il basso e derivata prima
- D_29: Flesso come massimo di f'(x)
- D_30: Flesso come minimo di f'(x)
- D_31: Confronto dei grafici di f(x), f'(x) e f''(x)
- D_26: Esempio riassuntivo
- Integrale definito
- I_01: Integrale definito: convergenza
- I_02: Proprietà dell'integrale definito (a)
- I_03: Proprietà dell'integrale definito (b)
- I_04: Proprietà dell'integrale definito (c)
- I_05: Proprietà dell'integrale definito (d)
- I_06: Teorema della media integrale
- La funzione integrale
- I_07: Introduzione alla funzione integrale
- I_09: Caso particolare (a)
- I_10: Caso particolare (b)
- I_11: Il teorema di Torricelli Barrow
- I_12: Esercizio riassuntivo sulla funzione integrale
- Integrale indefinito
- I_13: La ricerca della primitiva
- I_13a: Calcolo numerico della primitiva
- Calcolo di superfici volumi e archi
- I_14: Area della superficie racchiusa fra due curve
- I_15: Integrale improprio del primo tipo
- I_16: Integrale improprio del secondo tipo
- I_17: Volume di un solido di rotazione
- I_18: Volume attraverso sezioni parallele
- I_19: Il teorema di Guldino
- I_19a: Integrazione attraverso gusci cilindrici
- I_20: Lunghezza di un arco
- I_21: Superficie di un solido di rotazione
D_01: Derivata di una funzione in un punto: definizione
E' illustrato il concetto di derivata [math]f'\left(x_0\right)[/math] come limite per [math]h\longrightarrow0[/math] del rapporto incrementale [math]\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math].[br]Il rapporto incrementale è interpretato geometricamente come coefficiente angolare delle secanti (in [color=#ff0000]rosso [/color]e [color=#ffe599]arancio[/color]) passanti per il [color=#00ff00]punto P[/color] del [color=#0000ff]grafico[/color] di [math]f\left(x\right)[/math] di coordinate [math]P\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math]. Il limite del rapporto è interpretato geometricamente come il coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione in [math]P[/math].[br]Trascina i due sliders per osservare il comportamento al limite ([math]h>0[/math] per [color=#ff0000]limite destro[/color] e [math]h<0[/math] per [color=#ffd966]limite sinistro[/color]).
D_08: Dalla velocità media alla velocità istantanea
L'applet mostra che in un moto (rettilineo in questo caso) la velocità istantanea al tempo [math]t[/math] è data dalla derivata della legge oraria [math]s\left(t\right)[/math] del moto.[br]Il grafico in [color=#9900ff]blu[/color] è quello della legge oraria [math]s\left(t\right)[/math] del moto esaminato.[br]La pendenza della [color=#ff7700]secante[/color] rappresenta la velocità media [math]\frac{s\left(t+\Delta t\right)-s\left(t\right)}{\Delta t}[/math] del mobile nell'intervallo di tempo [math]\left[t,t+h\right][/math].[br]Il limite del rapporto incrementale per [math]\Delta t\longrightarrow0[/math] è per definizione la velocità istantanea.[br]Trascina [color=#00ff00]P[/color] per scegliere l'istante [math]t[/math] in cui valutare la velocità istantanea.[br]Trascina lo [color=#ff00ff]slider[/color] [math]\Delta t[/math] per osservare il comportamento al limite.[br]
D_07: Il differenziale df di una funzione f
L'applet illustra il concetto di differenziale di una funzione.[br]Trascina [color=#9900ff]P[/color] lungo il grafico di [math]f\left(x\right)[/math] e osserva come variano il differenziale [math]df[/math] e l'incremento della funzione [math]\Delta f[/math]. [br]Trascina lo [color=#ff00ff]slider[/color] [math]\Delta x[/math] per osservare il comportamento al limite del differenziale. Osserva che per [math]\Delta x[/math] piccolo il [color=#93c47d]differenziale[/color] [math]df[/math] e l'[color=#ff0000]incremento[/color] [math]\Delta f[/math] si confondono.
D_16: Crescenza, decrescenza e segno di f'(x)
L'applet mostra una conseguenza importante del teorema di Lagrange.[br]Trascina lo slider per passare dal caso con derivata [color=#ff0000]positiva[/color] al caso con derivata [color=#0000ff]negativa[/color].[br]Osservare che gli incrementi [math]\Delta x=x_2-x_1[/math] e [math]\Delta y=f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)[/math] sono [color=#ff7700]concordi[/color] o [color=#9900ff]discordi[/color], determinando quindi la [color=#ff0000]crescenza[/color] o [color=#9900ff]decrescenza[/color] della funzione nei rispettivi intervalli.
D_21: Problema di ottimizzazione n.1
Ricerca del rettangolo di area massima fra quelli isoperimetrici.[br]Trascina [color=#00ff00]x[/color] lungo l'asse delle ascisse per vedere come varia l'area dei [color=#ff0000]rettangoli [/color]isoperimetrici e quando assume il valore massimo.
D_25: Definizione di concavità di f(x)
L'applet illustra la definizione di concavità, verso l'alto, verso il basso e di punto di [color=#ff00ff]flesso[/color].[br]Trascina [color=#ffd966]P [/color]lungo il grafico della funzione per osservare le reciproche posizioni della tangente e del grafico della funzione in un intorno di x. [br]Trascina lo [color=#ff0000]slider[/color] [math]\epsilon[/math] per assegnare la misura opportuna dell'intorno [math]I\left(x\right)[/math].[br]Trascina il[color=#00ff00] punto[/color] sulla tangente per controllare la relazione richiesta fra [math]t\left(x\right)[/math] e [math]f\left(x\right)[/math][br]Trascina [color=#ffd966]P[/color] sul punto di [color=#ff00ff]flesso F[/color] e osserva la relazione fra i valori di [math]t\left(x\right)[/math] e [math]f\left(x\right)[/math] trascinando il [color=#00ff00]punto [/color]all'interno dell'[color=#ff0000]intorno[/color] di [color=#ffd966]P[/color].[br]
I_01: Integrale definito: convergenza
L'applet mostra il limite delle [color=#00ff00]somme inferiore[/color] e della [color=#ff0000]somma superiore[/color].[br]Trascina lo slider superiore per modificare il numero dei rettangoli.[br]Trascina lo slider inferiore per scegliere la somma superiore, inferiore o entrambe[br]Osserva la convergenza verso un limite comune delle somme inferiore e superiore al crescere del numero dei rettangoli.
I_07: Introduzione alla funzione integrale
L'applet illustra i concetto di [color=#ff0000]funzione integrale[/color] [math]A\left(x\right)[/math] relativa ad una [color=#0000ff]funzione[/color] [math]f\left(x\right)[/math].[br]Trascina [color=#0000ff]i punti[/color] [math]x_1[/math] e [math]x_2[/math] per definire l'intervallo [math]I=\left[x_1,x_2\right][/math] in cui risulta definita la [color=#0000ff]funzione[/color] [math]f(x):I\longrightarrow R[/math].[br]Trascina il [color=#ff0000]punto [/color][math]a[/math] nell'intervallo [math]I[/math] per scegliere l'estremo inferiore della [color=#ff0000]funzione integrale[/color] [math]A\left(x\right)[/math].[br]Trascina il [color=#ff0000]punto[/color] [math]x[/math] nell'intervallo [math]\left[a,x_2\right][/math] per costruire passo-passo la [color=#ff0000]funzione integrale[/color] [math]A\left(x\right)[/math].[br]Osserva l'andamento della [color=#ff0000]funzione integrale[/color] [math]A\left(x\right)[/math] in relazione ai segni della [color=#0000ff]funzione[/color] [math]f\left(x\right)[/math]:[br][list][*]quando la [color=#0000ff]funzione[/color] [math]f\left(x\right)[/math] è positiva la [color=#ff0000]funzione integrale[/color] [math]A\left(x\right)[/math] accumula aree positive, e quindi risulta crescente;[br][/*][*]quando la [color=#0000ff]funzione[/color] [math]f\left(x\right)[/math] è negativa la [color=#ff0000]funzione integrale[/color] [math]A\left(x\right)[/math] accumula aree negative, e quindi risulta decrescente;[br][/*][*]dove la [color=#0000ff]funzione[/color] [math]f\left(x\right)[/math] si annulla passando da positiva a negativa, la [color=#ff0000]funzione integrare[/color] [math]A\left(x\right)[/math] presenta un massimo;[/*][*]dove la [color=#0000ff]funzione[/color] [math]f\left(x\right)[/math]si annulla passando da negativa a positina, la [color=#ff0000]funzione integrare[/color] [math]A\left(x\right)[/math] presenta un minimo.[/*][/list]Osserva come cambia il grafico della [color=#ff0000]funzione integrale[/color] [math]A\left(x\right)[/math] al variare del [color=#ff0000]punto[/color] [math]a\in I[/math]: [br]la differenza fra i grafici di [math]A\left(x\right)[/math] è sempre una costante.
I_13: La ricerca della primitiva
L'applet permette di esercitarsi nella ricostruzione delle [color=#ff0000]primitive[/color][math]F\left(x\right)[/math]di una [color=#0000ff]funzione[/color] [math]f\left(x\right)[/math].[br]Usa lo slider verticale per passare da una fase alla successiva.[br][list][*]Fase 1: trascina i punti [color=#0000ff]blu[/color] per modificare a piacere il grafico di [math]f\left(x\right)[/math][/*][*]Fase 2: determina gli intervalli in cui la funzione ha segno [color=#f4cccc]negativo[/color] o [color=#cfe2f3]positivo[/color].[br][/*][*]Fase 3: trascina il punto [color=#00ff00]x[/color] lungo l'asse delle ascisse per ricostruire passo-passo il grafico di una [color=#ff0000]primitiva[/color][color=#333333] (quando la [/color][color=#0000ff]funzione[/color][color=#333333] [math]f\left(x\right)[/math] è negativa la [/color][color=#ff0000]primitiva[/color][color=#333333] decresce e quando è positiva la [/color][color=#980000]primitiva[/color][color=#333333] cresce).[/color][br][/*][*]Fase 4: trascina lo [color=#ffff00]slider[/color] per osservare altre primitive. N.B. tangenti in punti di uguale ascissa sulle due diverse primitive si mantengono parallele.[br][/*][/list]
I_14: Area della superficie racchiusa fra due curve
L'applet illustra la formula di calcolo per l'area compresa fra due curve di equazioni [math]y=f\left(x\right)[/math] e [math]y=g\left(x\right)[/math] in [color=#0000ff]azzurro[/color].[br]Essa risulta equivalente a quella sotto la curva di equazione [math]y=f\left(x\right)-g\left(x\right)[/math] in [color=#ff0000]rosso[/color].[br]L'equivalenza è geometricamente giustificabile attraverso il principio di Cavalieri.[br]Infatti, trascinando lo [color=#00ff00]slider[/color] osserva che i corrispondenti segmenti sezione delle due regioni piane sono sempre congruenti.