PAQ Cholesky-Zerlegung step by step

Beispiele
Um jeden Schritt verfolgen zu können habe ich die Zeilen- und Spalten-Operationen auch einzeln aufgeschrieben. Die simultanen Zeilen-/Spalten-Operationen zur Einheitsmatrix sind als Alternative zu den üblichen rekursiven Algorithmen gedacht.[br][br][math]\text{Choleskyzerlegung von }\mathbf{A} \vec{x} = \vec{b} \to \mathbf{A}=\mathbf{L L}^{T} . \\[br]\text{1. Für i=1, \ldots, n berechne:\quad }l_{i,i}=\left(a_{i,i}-{\sum \limits_{k=1}^{i-1} l_{i,k}{ }^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\\[br]\text{und für j=i+1, \ldots, n :\quad }l_{j,i}=\frac{1}{l_{ii}}\left(a_{j,i}-\sum \limits_{k=1}^{i-1} l_{j,k} l_{i,k}\right)\\[br]\text{2. Löse das Gleichungssystem \mathbf{L} y=b durch Vorwärtsselektion.}\\[br]\text{Für i=1, \ldots, n gilt\quad}[br]y_{i}=\frac{1}{l_{i,i}}\left(b_{i}-\sum \limits_{j=1}^{i-1} l_{i,j} y_{j}\right) .\\[br]\text{3. Löse das Gleichungssystem \mathbf{L}^{T} x=y durch Rückwärtselimination.}\\[br]\text{Für i=n, n-1, \ldots, 1 gilt\quad}[br]x_{i}=\frac{1}{l_{i,i}}\left(y_{i}-\sum \limits_{j=i+1}^{n} l_{j,i} x_{j}\right)[br][/math][br][br][br]A:={{3, 2,-1}, {2,2,0}, { -1,0,7}}[br]IE :={{3,1,1/3},{-3,1,1/3},{2,1,-2/3},{-2,1,-2/3},{3,2,-1},{-3,2,-1},{1,1,1/sqrt(3)},{-1,1,1/sqrt(3)},{2,2,sqrt(3)/sqrt(2)},{-2,2,sqrt(3)/sqrt(2)},{3,3,1/sqrt(6)},{-3,3,1/sqrt(6)},{1,1,1},{1,1,1}};[br][br][math]\small \left\{ \left(\begin{array}{rrrrrr}3&2&1&3&2&3\\3&2&1&2&1&1\\\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&-1&\frac{-2}{3}&\frac{1}{3}\\\end{array}\right), I_{A}I, \left(\begin{array}{rrrrrr}3&2&3&1&2&3\\1&1&2&1&2&3\\\frac{1}{3}&\frac{-2}{3}&-1&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\\end{array}\right) \right\} [/math][br][br][math]\Large {A= L\cdot L_{*}}\\ \small {\left(\begin{array}{rrr}3&2&-1\\2&2&0\\-1&0&7\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}\sqrt{3}&0&0\\2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}&\frac{\sqrt{6}}{3}&0\\\frac{-\sqrt{3}}{3}&\frac{\sqrt{6}}{3}&1\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}\sqrt{3}&\frac{2}{3} \; \sqrt{3}&\frac{-1}{3} \; \sqrt{3}\\0&\frac{1}{3} \; \sqrt{6}&\frac{1}{3} \; \sqrt{6}\\0&0&1\\ \end{array}\right)}[/math]

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