Um die Gleichung [math]f\left(x\right)=0[/math] zu lösen bzw. die Nullstellen der Funktion f mit dem allgemeinen Iterationsverfahren zu bestimmen, muss sie auf die Form [math] x = \varphi (x)[/math] gebracht werden.[br][br][i]Ist [/i][math]x^{*}[/math][i] eine Lösung von [/i][math] x = \varphi (x)[/math][i], dann ist [/i][math]x^{*}[/math][i] auch eine Lösung der Gleichung [/i][math]f\left(x\right)=0[/math][i].[/i][br][br][b]Allgemeines Iterationsverfahren[/b][list][*]Lege einen geeigneten Startwert [math]x_{1}[/math] fest und berechne den Näherungswert [math]x_{2}[/math] mit [math]x_{2} = \varphi (x_{1})[/math][/*][*]durch Fortsetzen der Iteration mit [math]x_{n+1} = \varphi (x_{n})[/math] ergibt sich eine Folge von Näherungswerten [math] [/math][/*][/list][br][b]Hinreichendes Konvergenzkriterium[/b][br]Besitzt die Gleichung [math] x = \varphi (x)[/math] im Intervall [a; b] die Lösung [math]x^{*}[/math] und ist [math]\varphi[/math] differenzierbar mit [math]\left|\varphi'\left(x\right)\right|<1[/math] in [math]\left[a,b \right][/math], so konvergiert die durch [math]x_{n+1} = \varphi (x_{n})[/math] definierte Folge gegen [math]x^{*}[/math].[br]Beachte, dass die Bedingungen in diesem Fall hinreichend aber nicht notwendig sind. [br][br][b]Beispiel[/b][br]Berechne näherungsweise die Lösung der Gleichung a·x³ + b·x² + c = 0.[br]Lösung[br] (1) Die Gleichung kann umgeformt werden zu [br] [math]x \cdot (a \cdot x^2 + b \cdot x) = -c [/math][br] [math] a \cdot x^2 + b \cdot x = -\frac{c}{x} [/math][br] [math] b \cdot x = -a \cdot x^2 - \frac{c}{x} [/math][br] [math] x = - \frac{a}{b} \cdot x^2 - \frac{c}{b \cdot x} [/math][br] [br] (2) Die Gleichung kann aber auch umgeformt werden zu [br] [math]x^2 \cdot (a \cdot x + b) = -c [/math][br] [math] a \cdot x + b = - \frac{c}{x^2} [/math][br] [math] a \cdot x = -b -\frac{c}{x^2}[/math][br] [math] x = -\frac{b}{a} -\frac{c}{a \cdot x^2}[/math][br] [br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere den Startwert und beobachte die Auswirkungen.[br][br]Gib die andere Möglichkeit für die Funktion [math] \varphi(x) [/math] in Abhängigkeit von den Koeffizienten a, b und c in das Eingabefeld ein und untersuche das Lösungsverhalten.[br]Gegen welchen Fixpunkt konvergiert das Verfahren nun?

Literatur[br]Duden: Basiswissen Schule, Mathematik Arbitur, PAETEC und Bibliographisches Institut 2003