Una recta en tres dimensiones, también conocida como línea recta, es una estructura geométrica que se extiende infinitamente en dos direcciones opuestas. A diferencia de una recta en dos dimensiones, que se puede representar como una línea recta en un plano, una recta en 3D se extiende en el espacio tridimensional.[br][br]En términos más técnicos, una recta en 3D se puede definir mediante un punto de origen y un vector direccional. El punto de origen es un punto específico que se encuentra en la recta, mientras que el vector direccional indica la dirección en la que la recta se extiende infinitamente.

[color=#ff0000][b]Recta 3D general[br][/b][/color]La ecuación general de una recta en 3D se puede expresar de la siguiente manera:[br][br]Ax + By + Cz + D = 0[br][br]Donde A, B y C son los coeficientes que determinan la dirección de la recta en términos de un vector dirección (A, B, C), y D es una constante.[br][br]Esta forma general de la ecuación de una recta en 3D se basa en la ecuación de un plano, donde Ax + By + Cz + D representa un plano en el espacio tridimensional.[br][br]Una recta se puede representar utilizando diferentes ecuaciones como ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas.[br][br][br][br][br][br][br]

[b][color=#ff0000]Ecuación Vectorial 3d[/color][br][/b]La ecuación vectorial de una recta en 3D se puede expresar utilizando un punto de origen y un vector direccional. La forma general de la ecuación vectorial de una recta en 3D es la siguiente:[br][br]r = r₀ + t * v[br][br]Donde:[br][br]r es un vector que representa cualquier punto en la recta.[br]r₀ es un vector que representa el punto de origen de la recta.[br]v es un vector direccional que indica la dirección de la recta.[br]t es un parámetro que toma valores reales.[br]Para obtener una ecuación vectorial específica, necesitamos el punto de origen y el vector direccional de la recta. Aquí tienes un ejemplo:[br][br]Punto de origen: P₀ = (x₀, y₀, z₀)[br]Vector direccional: ⃗v = (v₁, v₂, v₃)[br][br]La ecuación vectorial de la recta correspondiente sería:[br][br]⃗r = ⃗r₀ + t * ⃗v[br][br]Donde:[br]⃗r = (x, y, z)[br]⃗r₀ = (x₀, y₀, z₀)[br]⃗v = (v₁, v₂, v₃)[br][br]Esta ecuación nos permite encontrar cualquier punto (x, y, z) en la recta al sustituir diferentes valores de t. Por ejemplo, si t = 0, obtendríamos el punto de origen P₀, y al variar el valor de t, obtendríamos otros puntos en la recta.[br][br][img]https://aga.frba.utn.edu.ar/wp-content/uploads/2016/09/GIF012-Recta-en-R3-director-paso.gif[/img]

[b]Ejemplo ecuación vectorial [br][/b][br][size=100]Encontrar la ecuación vectorial y paramétrica de la recta, que pasa por el punto (2,2, -1) y tiene la dirección[br]del vector (2, -1,4) [br][/size]P ⃗=(2,2,-1)[br]v ⃗=(2,-1,4)[br]r ⃗=(2,2,-1)+t(2-1,4) [br](x,y,z)= (2,2,-1) + t (2,-1,4)(x,y,z)= (2,2,-1) + (2t,-t,4t) (x,y,z)= (2+2t,2-t,1-4t)>>>>>> RESPUESTA [br][br][br]Paramétrica [br]x=2+2t[br]y=2-t[br] z=-1+4t

[color=#ff0000][b]Ecuación paramétrica 3d[br][/b][/color]La ecuación paramétrica de una recta en 3D se expresa utilizando un punto de origen y dos vectores direccionales. La forma general de la ecuación paramétrica de una recta en 3D es la siguiente:[br][br]x = x₀ + at[br]y = y₀ + bt[br]z = z₀ + ct[br][br]Donde:[br](x, y, z) son las coordenadas de un punto en la recta.[br](x₀, y₀, z₀) son las coordenadas del punto de origen de la recta.[br]a, b, y c son los componentes de los vectores direccionales de la recta.[br]t es un parámetro que toma valores reales.[br][br]La ecuación paramétrica permite describir la recta en términos de cómo las coordenadas (x, y, z) varían con respecto al parámetro t. Al ajustar el valor de t, podemos obtener diferentes puntos en la recta.[br][br]Es importante destacar que en la ecuación paramétrica se utilizan dos vectores direccionales (a, b, c) en lugar de uno solo. Esto se debe a que una recta en 3D tiene infinitas direcciones posibles, por lo que se necesitan dos vectores para determinar completamente la orientación de la recta en el espacio tridimensional. Estos vectores direccionales pueden ser linealmente independientes para garantizar que la recta no sea degenerada.

[b]Ejemplo ecuación paramétrica [br][/b][br]Considera dos rectas en el espacio tridimensional. La primera recta, r₁, pasa por el punto P₀(1, -2, 3) y está dirigida por el vector v₁ = (2, 1, -1). La segunda recta, r₂, pasa por el punto Q₀(4, 0, -1) y está dirigida por el vector v₂ = (-1, 3, 2). Encuentra la ecuación paramétrica de la recta que es perpendicular a ambas rectas r₁ y r₂ y pasa por el punto P₀.[br][br]Solución:[br]Para encontrar una recta perpendicular a ambas r₁ y r₂, necesitamos encontrar un vector que sea perpendicular a ambos vectores direcciones ⃗v₁ y ⃗v₂.[br][br]Primero, encontraremos el vector perpendicular utilizando el producto cruz entre los vectores direcciones v₁ y v₂:[br][br]⃗n = ⃗v₁ × ⃗v₂[br][br]⃗n = (2, 1, -1) × (-1, 3, 2)[br][br]Utilizando las propiedades del producto cruz, podemos calcular el vector perpendicular n:[br][br]⃗n = (5, -3, 7)[br][br]Ahora que tenemos el vector perpendicular n = (5, -3, 7), podemos utilizarlo en la ecuación paramétrica de una recta para encontrar la recta perpendicular.[br][br]La ecuación paramétrica de la recta perpendicular sería:[br][br]x = x₀ + at[br]y = y₀ + bt[br]z = z₀ + ct[br][br]Sustituyendo los valores correspondientes:[br][br]x = 1 +5t[br]y = -2 - 3t[br]z = 3 + 7t[br]

[color=#ff0000][b]Ecuación simétrica 3d[br][/b][/color]La ecuación simétrica de una recta en 3D se expresa utilizando las coordenadas de un punto en la recta y las proporciones en las que los ejes se dividen. La forma general de la ecuación simétrica de una recta en 3D es la siguiente:[br][br](x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c[br][br]Donde:[br][br](x, y, z) son las coordenadas de cualquier punto en la recta.[br](x₀, y₀, z₀) son las coordenadas de un punto conocido en la recta.[br]a, b y c son las proporciones en las que los ejes se dividen para llegar al punto (x, y, z).[br]La ecuación simétrica representa una relación de proporcionalidad entre las diferencias entre las coordenadas de un punto y el punto conocido en la recta.[br][br]Es importante tener en cuenta que si alguno de los valores a, b o c es igual a cero, la ecuación simétrica no es aplicable ya que resultaría en una división por cero.[br][br]Si conoces un punto específico en la recta y las proporciones a, b y c, puedes sustituir estos valores en la ecuación simétrica para obtener la ecuación simétrica de la recta.

[b]Ejemplo ecuación simétrica [br][/b][br]Encontrar la ecuación simétrica de la línea que pasa por los puntos A(1, 2, 3) y B(3, 0, 7).[br][br]Para encontrar la ecuación simétrica de una línea en 3D que pasa por dos puntos, primero debemos encontrar el vector director de la línea. El vector director de una línea que pasa por dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) es el vector AB = [x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1].[br][br]En este caso, el vector director de la línea es AB = [3 - 1, 0 - 2, 7 - 3] = [2, -2, 4].[br][br]Una vez que tenemos el vector director de la línea, podemos encontrar sus ecuaciones paramétricas. Si una línea pasa por el punto (x0, y0, z0) y es paralela al vector v = [a, b, c], sus ecuaciones paramétricas son:[br][br]x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct[br][br]En este caso, las ecuaciones paramétricas de la línea son:[br][br]x = 1 + 2t y = 2 - 2t z = 3 + 4t[br][br]Para encontrar la ecuación simétrica de la línea, debemos despejar t de cada una de las ecuaciones paramétricas y luego igualarlas. Despejando t de cada una de las ecuaciones paramétricas tenemos:[br][br]t = (x - 1)/2 t = (y - 2)/(-2) t = (z - 3)/4[br][br]Igualando las expresiones para t obtenemos la ecuación simétrica de la línea:[br][br](x - 1)/2 = (y - 2)/(-2) = (z - 3)/4[br][br]Esta es la ecuación simétrica de la línea que pasa por los puntos A(1, 2, 3) y B(3, 0, 7).