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Leitlinien und Brennpunkte
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1. Das Problem
- Brennpunkt? Leitlinie?
- Verweise
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2. conics
- parabeln - confocal
- ellipse & hyperbel - confocal
- Leitkreise, Leitgeraden ...
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3. cartesian oval
- cartesian oval - confocal
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4. bicircular 1-teilig
- bicircular quartic 1 sheet
- Sonderfall hexagonal
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5. bicircular 2-teilig
- bicircular quartic 2-sheet
- bicircular quartic 2-sheet 2
- Sonderfall harmonische Lage
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6. ... in der hyperbolischen Ebene
- Hyperbolische Gärtner-Konstruktion
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7. ... in der elliptischen Ebene
- Elliptische Gärtner
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8. Darboux Cycliden
- circles on Darboux cyclides
- Ellipsoid und Kreise
- konfokale Quadriken
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9. Fazit
- Brennpunkte Leitlinien: ein Versuch
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Leitlinien und Brennpunkte
Walter Füchte, Sep 3, 2021
Brennpunkte und Leitlinien: wie gehören sie zusammen? foci & directrices? Wann ist ein Punkt ein Brennpunkt? Wann ist eine Linie eine Leitlinie?
Table of Contents
- Das Problem
- Brennpunkt? Leitlinie?
- Verweise
- conics
- parabeln - confocal
- ellipse & hyperbel - confocal
- Leitkreise, Leitgeraden ...
- cartesian oval
- cartesian oval - confocal
- bicircular 1-teilig
- bicircular quartic 1 sheet
- Sonderfall hexagonal
- bicircular 2-teilig
- bicircular quartic 2-sheet
- bicircular quartic 2-sheet 2
- Sonderfall harmonische Lage
- ... in der hyperbolischen Ebene
- Hyperbolische Gärtner-Konstruktion
- ... in der elliptischen Ebene
- Elliptische Gärtner
- Darboux Cycliden
- circles on Darboux cyclides
- Ellipsoid und Kreise
- konfokale Quadriken
- Fazit
- Brennpunkte Leitlinien: ein Versuch
Brennpunkt? Leitlinie?
parabola
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
Oben/unten sind Beispiele für das Vorkommen von Brennpunkten und Leitlinien angezeigt. Parabeln besitzen einen (endlichen) Brennpunkt und eine Leitgerade. Möbiusgeometrisch (d.h. wenn man für die Figuren Inversionen an Kreisen zuläßt), besitzt eine solche Kurve einen einfachen und einen dreifachen Brennpunkt; rechts ist der dreifache Brennpunkt . Das Cartesische Oval besitzt 4 einfache Brennpunkte, einer liegt in . Zeichnet man einen der Brennpunkte aus, so kann man die Kurve auf 3 verschiedene Arten mit Hilfe von 3 Leitkreisen konstruieren. Was ist diesen Beispielen gemeinsam? In allen Fällen, die wir anführen, gehören die Kurven zu einem System konfokaler Kurven mit den vorgegebenen Brennpunkten. Durch jeden Punkt der Ebene , von den Brennpunkten abgesehen, gehen genau 2 orthogonale Kurven. Die Kurven sind für geeignetes Lösungskurven einer elliptischen Differentialgleichung des Typs- mit den Brennpunkten .
Je nach der Anzahl der verschiedenen Brennpunkte kann man diese auf verschiedene Arten aufteilen in 2 Punkte-Paare,
die als Grundpunkte zweier elliptischen Kreisbüschel dienen.
Durch jeden Punkt der Ebene , von den Brennpunkten abgesehen, geht aus jedem Kreisbüschel genau ein Kreis.
Die Lösungskurven der obigen elliptischen Differentialgleichung sind Winkelhalbierende dieser Kreise.
Ist die absolute Invariante der 4 Brennpunkte reell, so sind für geeignete die Lösungskurven bizirkulare Quartiken.
Es ergeben sich unter dieser Voraussetzung folgende Fälle:
- 1 einfacher, 1 dreifacher Brennpunkt: konfokale Parabeln und ihre möbiusgeometrischen Bilder.
- 2 einfache, 1 doppelt-zählender Brennpunkt: konfokale Ellipsen/Hyperbeln und ihre möbiusgeometrischen Bilder.
- 2 doppelt-zählende Brennpunkte oder 1 vierfach-zählender Brennpunkt: ein Kreisbüschel, die Grundpunkte können als Brennpunkte angesehen werden!
- 2 verschiedene Brennpunkt-Paare, spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegend: konfokale 1-teilige Quartiken.
- 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte: konfokale 2-teilige bizirkulare Quartiken, zB Cartesische Ovale.
cartesian oval
Sind die 4 Brennpunkte verschieden, so ist die Lösung der elliptischen Differentialgleichung
eine meromorphe doppelt periodische Funktion.
Ist die absolute Invariante n i c h t reell, so gibt es geschlossenen Lösungskurven, welche sich allerdings
nicht orthogonal schneiden. Über diese Kurven ist uns nichts bekannt. Die Lösung besitzt keine Kreis-Symmetrie!
In den oben aufgezählten Fällen jedoch gibt es mindestens eine Kreis-Symmetrie.
Die 4 Brennpunkte werden in 2 Punktepaare zerlegt, die als Grundpunkte zweier Kreisbüschel dienen.
Die absolute Invariante zweier Kreisbüschel ist genau dann reell, wenn diese Kreisbüschel einen gemeinsamen Kreis besitzen.
Konstruktion der bizirkularen Lösungskurven:
Ein Grundpunkt (Brennpunkt) f des Kreisbüschels wird ausgezeichnet.
Für das andere Kreisbüschel ist jeder Kreis des dazu orthogonalen Kreisbüschels Leitkreis einer Lösungskurve.
Durch einen Punkt q auf geht genau ein Kreis (Brennkreis) aus , der Brennkreis schneidet den Leitkreis orthogonal.
Den zugehörigen Brennkreis aus konstruieren wir wie folgt: der Kreis berühre den Leitkreis in q und gehe durch f.
Der gesuchte Brennkreis aus dem Büschel schneidet den Berührkreis orthogonal.
Die Schnittpunkte der Brennkreise sind Punkte der Lösungskurve.
Einer der winkelhalbierenden Kreise der beiden Brennkreise ist tangential an die Lösungskurve, der andere
winkelhalbierende Kreis ist orthogonal zur Lösungskurve und tangential an die orthogonale Lösungskurve.
Der Tangentialkreis berührt die Lösungskurve doppelt.
Die Spiegelung an diesem doppelt-berührenden Kreis vertauscht die beiden Brennkreise, und spiegelt f nach q.
Diese Eigenschaft ist allen bizirkularen Quartiken eigen!
Für Kegelschnitte sind die Tangenten doppelt-berührende Kreise: sie gehen durch , welcher Brennpunkt
und Kurvenpunkt in einem ist!
Das Applet oben gibt eine Übersicht über den Typ der bizirkularen Quartiken in Abhängigkeit
von der Anzahl und Lage der Brennpunkte.
In jedem Falle wird die "Konstruktion" der Quartik und der doppelt-berührenden Kreise mit
der stets gleichen Konstruktionsvorschrift angezeigt.
Der ausgewählte Brennpunkt ist stets f.
parabeln - confocal
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
Parabeln und ihre Möbius-Transformierten besitzen 1 einfachen Brennpunkt f und einen dreifach zählenden Brennpunkt . Eine Zerlegung dieser 4 Brennpunkte in 2 Punkte-Paare ist nur als { f,} und { ,} möglich. Dies liefert (euklidisch) das Geradenbüschel durch f und ein Parallelen-Büschel, z.B. die Parallelen zur -Achse. „Leitkreis“ zu f ist jede Orthogonale zum Parallelen-Büschel. Ein Brennstrahl aus dem Parallelen-Büschel schneide den Leitkreis in q. Zu dem Berühr-Kreis an den Leitkreis in q durch f gibt es genau einen zum Berühr-Kreis orthogonalen Brennstrahl durch f. Der Schnittpunkt p der Brennstrahlen ist ein Punkt der zugehörigen Parabel, die Mittelsenkrechte von f q ist eine Tangente durch p an die Parabel. Gespiegelt an der Tangente werden die Brennstrahlen und f und q vertauscht. Dies ist die übliche Brennpunkt-Leitgeraden Konstruktion der Parabel. Die umständlich erscheinende Konstruktionsbeschreibung ist jedoch im Prinzip für alle in diesem book zur Debatte stehenden Kurven mit 4 Brennpunkten gültig!
Geht man zu den orthogonalen Brennkreis-Büscheln von den oben verwendeten Büscheln über (konzentrische Kreise um f
und Parallelen zur -Achse), so sind die konfokalen Parabeln ebenfalls Winkelhalbierende dieser Kreisbüschel.
Nun funktioniert eine Leitkreis - Brennpunkt Konstuktion nicht mehr!
Die Spiegelung-Punkte des Brennpunkts an den doppelt-berührenden Kreisen liegen auf der Symmetrie-Achse
(z.B. der -Achse), diese wäre „Leitgerade“, sie nützt aber nicht zur Konstruktion!
Die doppelt-berührenden Kreise berühren die Parabeln von Innen, die Mittelpunkte liegen auf der Symmetrie-Achse.
Wie ist die Zuordnung der konzentrischen Kreise zu den zur Symmetrie-Achse orthogonalen Parallelen, die sich
auf einer vorgegebenen Parabel schneiden?
Den Schnittpunkt einer Normalen zur Symmetrie-Achse mit dieser spiegele man am Parabelscheitel bzw. an der
Scheiteltangenten, man erhält einen Achsenschnittpunkt mit dem zugeordneten konzentrischen Kreis:
Normale und konzentrischer Kreis schneiden sich auf der Parabel!
Vorgegeben sind nur der Brennpunkt und ein Scheitel, die Symmetrieachse ergibt sich daraus.
Durch Variation des Scheitels auf der Symmetrie-Achse erhält man mit dieser Konstruktion alle konfokalen Parabeln
mit dieser Symmetrie-Achse.
Bei dieser Konstruktion wird dem Brennpunkt als Punkt-Kreis die Leitgerade und umgekehrt zugeordnet.
Diese Zuordnung ist, auf die speziellen Verhältnisse übersetzt, gültig für alle bizirkularen Quartiken!
cartesian oval - confocal
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
Ein Cartesisches Oval besitzt 4 Brennpunkte, im Normalfall auf der -Achse, einer davon ist . Diese Brennpunkte kann man aufteilen auf 3 Weisen in 2 Punktepaare als Grundpunkte von 2 elliptischen Kreisbüscheln. Zu jeder Aufteilung gehört eine von der Spiegelung an der -Achse verschiedene Symmetrie, die Symmetrie-Kreise sind paarweise orthogonal, einer ist imaginär. Exemplarisch beschreiben wir die Konstruktion für die Aufteilung { f0, f1 } , { f2 }. Ausgezeichnet wird . Leitkreise sind die Kreise des zu den Brennkreisen durch f0, f1 orthogonalen Kreisbüschels. q sei ein Punkt auf einem Leitkreis. Der Berührkreis an den Leitkreis durch q ist eine Tangente des Leitkreises. Orthogonal dazu ist die Brenngerade durch f2. Die Schnittpunkte dieser Brenngeraden und des Brennkreises durch f0, f1 und q sind Punkte des Cartesischen Ovals. Einer der Winkelhalbierenden-Kreise von Brenngerade und Brennkreis ist ein doppelt-berührender Kreis. Gespiegelt an diesem werden Brennkreis und Brenngerade sowie f2 und q vertauscht. Auf die beschriebene Weise erhält man mit den drei Fällen drei verschiedene Scharen von doppelt-berührenden Kreisen. Zu jeder Schar gehört eine Symmetrie. Eine 4. Schar doppelt-berührender Kreise ist symmetrisch zur -Achse und läßt sich nicht auf diesem Wege konstruieren, siehe bicircular quartics 2-sheet! Ein Cartesisches Oval ist eine bizirkulare 2-teilige Quartik in einer speziellen Lage!bicircular quartic 1 sheet
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
Die Brennpunkte liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen, in Normalform erreicht man f, f' = -f, i/f, -i/f mit reellem f.
Die Brennkreis-Büschel sind zB. das elliptische Büschel durch f und f, und das hyperbolische Büschel mit i/f und-i/f als Grundpunkten. Wählt man den Brennpunkt f aus, so sind die Kreise durch i/f, -i/f die Leitkreise. Die Konstruktion verläuft nun wie in den Fällen zuvor: Zu einem Punkt q auf dem Leitkreis konstruiere man den Berührkreis an den Leitkreis durch q und f. Der Brennkreis aus dem hyperbolischen Kreisbüschel um i/f, -i/f und der Brennkreis durch f, f', der orthogonal zum Berührkreis verläuft, schneiden sich auf der 1-teiligen Quartik. Einer der beiden Winkelhalbierenden-Kreise der Brennkreise ist doppelt-berührender Kreis. In diesem Fall funktioniert die Konstruktion mit den orthogonalen Brennkreis-Büscheln direkt: Symmetrie-Achse ist die -Achse. Spiegelt man einen Schnittpunkt des einen Brennkreis-Büschels mit der -Achse an dem -symmetrischen Scheitelkreis, so erhält man einen Schnittpunkt des zugeordneten Brennkreises aus dem anderen Büschel. Auch hier sind wieder die Punktkreise zu den Brennpunkten den entsprechenden Leitkreisen zugeordnet und umgekehrt.bicircular quartic 2-sheet
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
Eine bizirkulare Quartik mit 4 verschiedenen konzyklischen Brennpunkten: durch eine geeignete Möbiustransformation erreicht man stets obige Normalform. Brennpunkte sind f : reell und oBdA f > 1, und f' = -f, f'' = 1/f, f''' = -1/f. Die konfokalen Quartiken sind symmetrisch zu den Achsen und dem Einheitskreis. Das Produkt der 3 Spiegelungen ergibt die Spiegelung am imaginären Kreis. Für jede Konstruktion wird f ausgewählt. Zu einer Quartik und dem ausgewählten Brennpunkt f gehören 3 verschiedene Leitkreise. Diese liegen in einem hyperbolischen Kreisbüschel mit f als einem Grundpunkt und einem 2.ten Grundpunkt f#. Liegt dieser 2.te Grundpunkt in einem der Symmetrie-Kreis-Schnittpunkte, so ist die Quartik eine Cassini-Quartik! Konstruktion exemplarisch: Das elliptische Kreisbüschel mit den Grundpunkten f , f'' und mit den Grundpunkten f' , f''' sind symmetrisch zum imaginären Kreis. Leitkreise bei ausgewähltem Brennpunkt f sind die Kreise des zu orthogonalen hyperbolischen Kreisbüschels. Zu einem Punkt q auf einem Leitkreis ciL sei der Berührkreis an ciL durch q und f konstruiert. Der zu diesm Berührkreis orthogonale Brennkreis aus durch f schneidet den Brennkreis durch f', f'', q in 2 Punkten der Quartik. Einer der beiden winkelhalbierenden-Kreise der Brennkreise ist doppelt-berührender Kreis der Quartik. An diesem gespigelt werden die Brennkreise sowie q und f vertauscht. Diese Eigenschaft dient auch dazu, diesen doppelt-berührenden Kreis herauszufiltern. Mit dieser Konstruktion erhält man 3 Scharen doppelt-berührender Kreise jeweils zu einer anderen Symmetrie. Es gibt jedoch noch eine 4. Schar doppelt-berührender Kreise: diese sind symmetrisch zur Hauptachse, das ist der Kreis, auf welchem die Brennpunkte liegen. Die Kreise dieser Schar können nicht mit Hilfe eines Leitkreises konstruiert werden. Eine alternative Konstruktionsvorschrift: siehe nächste Seite.Hyperbolische Gärtner-Konstruktion
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
GERADEN in der hyperbolischen Ebene im Poincarésches Kreisscheibenmodell sind die zum absoluten Kreis senkrecht stehenden Kreise. PUNKTE sind die Punkte im Inneren des absoluten Kreises. Um den hyperbolischen ABSTAND zweier PUNKTE zu messen, schneide man die GERADE durch die PUNKTE mit dem absoluten Kreis. Der ABSTAND wird mit Hilfe des komplexen Doppelverhältnisses der zwei PUNKTE und der Schnittpunkte mit dem absoluten Kreis berechnet. Der Leitkreis ist ein hyperbolischer KREIS mit f2 als Mittelpunkt. Die Spiegelung an der TANGENTE in p vertauscht die Brenn-STRAHLEN sowie f1 und q. Also gilt auch für ELLIPSEN in der hyperbolischen Ebene | f1, p |hyp + | f2, p |hyp = | f2, q | = . Fazit: In der hyperbolischen Ebene ist die Gärtnerkonstruktion für ELLIPSEN gültig! In der möbiusgeometrischen Wahrheit ist die ELLIPSE Teil einer 2-teiligen bizirkularen Quartik mit 4 Brennpunkten! Mit "Konstruktion mit p0" kann man durch Änderung von p0 auch das hyperbolische Pendant einer HYPERBEL in der hyperbolischen Ebene anzeigen lassen. Auch diese HYPERBEL besteht aus 2 Ästen. Möglicherweise werden auch unnötige Tangenten aus der Konstruktion angezeigt. Zur Not hilft der Refresh-Knopf!Elliptische Gärtner
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
Auch in elliptischen Ebenen kann man mit der Gärtnerkonstruktion elliptische Blumenbeete anlegen. Beweglich ist der Brennpunkt F1, mit dem Kurvenpunkt P läßt sich die ELLIPSE änderen, Q bewegt sich auf der ELLIPSE. Der Abstand von Kugel und Ebene wird geändert, indem der euklidische Abstand des Kugelmittelpunktes vom Pol der Ebene, welcher innerhalb der Kugel liegt, variiert wird. Je näher sich diese beiden Punkte kommen, um so ferner ist die Ebene. Um sie in der Ferne zu sehen, muss man hinauszoomen. Die ELLIPSE ist ein Kegelschnitt! Bei manchen Bewegungen verhalten sich ELLIPSE und LEITKREIS seltsam: das liegt an der Abstandsmessung in elliptischen Ebenen. Gemessen werden als ABSTAND Winkel, die Winkelmessung springt gerne zwischen hin- und her. In der möbiusgeometrischen Wahrheit sind die elliptischen ELLIPSEN bizirkulare 2-teilige Quartiken! Dieses Arbeitsblatt ist auch Teil des geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeugecircles on Darboux cyclides
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
Darboux Cycliden sind eine Fortsetzung der bizirkularen Quartiken auf den Möbius-Raum. Eine Darboux Cyclide besitzt mindestens eine Symmetriekugel. Die Symmetriekugeln sind paarweise orthogonal. Mit einer geeigneten Möbiustransformation des Raumes erreicht man, dass Symmetrie-Kugeln zu Koordinaten-Ebenen werden. Im obigen Beispiel ist die Cyclide symmetrisch zu den Koordinaten-Ebenen, zur Einheitskugel und zu einer orthogonalen imaginären Kugel. Der Schnitt mit den Koordinaten-Ebenen sind bizirkulare Quartiken, oben sind diese 2-teilig. Die Cyclide besitzt in den 3 Koordinaten-Ebenen insgsamt 3*4 Brennpunkte. Aus den doppelt-berührenden Kreisen in einer Koordinaten-Ebene werden doppelt-berührende Kugeln im Raum. Diese können ganz außerhalb oder ganz innerhalb der Cyclide verlaufen, von den Berührpunkten abgesehen. Andernfalls schneiden die doppelt-berührende Kugeln die Cyclide in Kreisen! Die Kreise im obigen Applet überstreifen die Cyclide, ohne irgendwo zu verschwinden. Auf dazu konfokalen Cycliden verschwinden die Kreise in Punkten; diese "Brennpunkte" sind die Schnitte der Cyclide mit den Fokalkurven. Die Cyclide oben besitzt zu jeder Koordinaten-Ebenen-Symmetrie 2 Scharen von Kreisen auf der Fläche. Aus diesen 3*2 Scharen auf der Cyclide kann man Sechsecknetze aus Kreisen bilden. Links dazu: geogebra-book Sechsecknetze geogebra-book Möbiusebene Kapitel Sechs-Eck-Gewebe 3D geogebra-book conics bicircular-quartics Darboux-cyclidenBrennpunkte Leitlinien: ein Versuch
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
In welchen Zusammenhängen treten Brennpunkte und Leitlinien auf? Konfokale Kurven in der Ebene oder konfokale Flächen im Raum setzen eine konforme Umgebung voraus. Das bedeutet: die Kurven bzw. Flächen bilden orthogonale Systeme. Das beruht auf Winkelmessung. Der einfachste Fall sind Kreisbüschel und ihre orthogonalen Kreisbüschel in der komplexen GAUSSschen Zahlenebene . Beschreiben lassen diese sich durch eine komplexe Diferentialgleichung des Typs mit . Die Grundpunkte , der Büschel lassen sich als "Brennpunkte" deuten. Dynamisch kann man die Brennpunkte als Quelle und Senke von Kreiswellen deuten, die sich längs der Kreise des orthogonalen Büschels bewegen. Vielleicht könnte man die Kreise des einen Büschels als Leitkreise deuten: entlang dieser werden Kreise des orthogonalen Büschels bewegt. Lösungen dieser Differentialgleichungen sind zB die komplexe Sinus- oder Cosinus-Funktion, geeignet transformiert. Komplex analythische Funktionen mit 3 einfachen Nullstellen der Ableitung können wir geometrisch nicht in diesem Zusammenhang deuten. Die nächst-höhere Stufe liefern die elliptischen Differentialgleichungen: . Die Lösungen - elliptische Funktionen - lassen sich interpretieren als die Überlagerung zweier Kreisbüschel oder Überlagerung der orthogonalen Büschel. Das kann auf verschiedene Weisen erfolgen. Man erhält wieder ein konfokales orthogonales Kurvensystem, Brennpunkte sind die Grundpunkte der möglichen Kreisbüschel , möglicherweise sind zusammenfallende dabei. Zu den Überlagerungen der Kreisbüschel gehören in den Schnittpunkten doppelt-berührende Kreise an die Lösungskurven. Spiegelt man einen ausgewählten Brennpunkt an den eine Lösungskurve doppelt-berührende Kreisen, so stellt man fest, dass die Spiegelpunkte auf einem Kreis, dem zugehörigen Leitkreis, liegen. Diese Leitkreise kann man umgekehrt zur Konstruktion der Kurvenpunkte und der doppel-berührenden Kreise verwenden. Im Raum mit einer konformen Struktur findet man ebenfalls konfokale paarweise orthogonale Flächensysteme. Diese besitzen paarweise orthogonale Symmetriekugeln. Wählt man diese durch geeignete Möbiustransformationen als Koordinaten-Ebenen, so erhält man in diesen die oben beschriebenen konfokalen Kurvensysteme aus bizirkularen Quartiken. Deren Symmetrieen setzen sich auf die Flächensysteme fort, auch der Typ der Quartiken bestimmt den Typ der Flächen. Es handelt sich um die längere Zeit vernachlässigten konfokalen Darboux Cycliden, zu denen die konfokalen Quadriken, Dupinsche Cycliden und Tori gehören. Im reichsten Falle besitzen diese Cycliden 5 Symmetrieen, 3*4 Brennpunkte und 3*2 Scharen von Kreisen auf den Cycliden. Diese entstehen als Schnitte der Cycliden mit doppelt-berührenden Kugeln, die sich ihrerseits aus den doppelt-berührenden Kreisen der bizirkularen Quartiken ergeben und konstruieren lassen - also wieder mit Hilfe der Leitkreise. Ob es konfokale Systeme mit einer größeren Anzahl von Brennpunkten gibt, und ob diese geometrischen Deutungen zugänglich sind, wissen wir nicht.********** z = x + i*y -> -> -> -> -> -> -> -> sin( x+ i*y ) *************
Oben werden konfokale Ellipsen und Hyperbeln mit der komplexen Sinus-Funktion dargestellt.
Die Kurven des Gitters werden mit der Sinus-Funktion auf die Kegelschnitte abgebildet.
Die Sinus-Funktion genügt der Differential-Gleichung mit den Nullstellen
der Ableitung, also den Brennpunkten +1, -1.
Die Sinus-Funktion ist einfach-periodisch.
Nach den komplex-analytischen Funktionen sin, cos, tan, exp ... scheinen uns die nächst-höhere Klasse elementarer
komplex-analytischen Funktionen die Lösungsfunktionen der elliptischen Differentialgleichungen - also
die elliptischen Funktionen zu sein. In Normalform handelt es sich um die elliptischen Differentialgleichungen
- , : 2-teilige Quartiken
- , : 1-teilige Quartiken
******************* x + iy -> -> -> -> -> -> ????( x + iy ) **********************
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