[size=85][right][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [u][color=#0000ff][i][b][/b][/i][/color][/u][url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/right][br]Oben/unten sind Beispiele für das Vorkommen von [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] und [color=#0000ff][i][b]Leitlinien[/b][/i][/color] angezeigt.[br][color=#ff7700][i][b]Parabeln[/b][/i][/color] besitzen einen (endlichen) [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] und eine [color=#0000ff][i][b]Leitgerade[/b][/i][/color]. [br][color=#9900ff][i][b]Möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] (d.h. wenn man für die Figuren [color=#BF9000][i][b]Inversionen[/b][/i][/color] an [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] zuläßt), besitzt eine solche Kurve[br]einen einfachen und einen dreifachen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]; rechts ist der dreifache [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]\infty[/math].[br]Das [color=#ff7700][i][b]Cartesische Oval[/b][/i][/color] besitzt 4 einfache [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], einer liegt in [math]\infty[/math]. [br]Zeichnet man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] aus, so kann man die Kurve auf 3 verschiedene Arten [br]mit Hilfe von 3 [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color] konstruieren.[br][br][color=#cc0000][i][b]Was ist diesen Beispielen gemeinsam?[/b][/i][/color][br]In allen Fällen, die wir anführen, gehören die Kurven zu einem System [br][color=#38761D][i][b]konfokaler Kurven[/b][/i][/color] mit den vorgegebenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color].[br]Durch jeden Punkt der Ebene [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math], von den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] abgesehen, gehen genau 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonale[/b][/i][/color] Kurven.[br]Die Kurven sind für geeignetes [math]c\in\mathbb{C}[/math] Lösungskurven einer [i][b]elliptischen Differentialgleichung[/b][/i] des Typs [br][list][*][math]\left(g'\left(z\right)\right)^2=c\cdot\left(g\left(z\right)-f_1\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_2\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_3\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_4\right)[/math] mit den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] [math]f_1,f_2,f_3,f_4\in\mathbb{C}[/math].[/*][/list]Für die [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color] ist [math]g\left(z\right)=\frac{1}{4}\cdot z^2[/math] eine Lösung der Differentialgleichung [math]\left(g'\right)^2=\left(g\left(z\right)-0\right)[/math] mit dem Brennpunkt [math]f=0[/math].[br]Die invertierte [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color] genügt einer [i][b]Differentialgleichung[/b][/i] des Typs [math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f\right)\cdot\left(g-f_{\infty}\right)^3[/math] [br]mit dem einfachen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]f[/math] und dem 3-fach zählenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]f_{\infty}[/math].[br]Für das [color=#ff7700][i][b]Cartesische Oval[/b][/i][/color] unten liegen die 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf der [math]x[/math]-Achse, einer davon ist [math]\infty[/math].[br]Lösung ist eine spezielle [b]Weierstraß[/b]sche [math]\wp[/math]-[i][b]Funktion[/b][/i].[/size]

[size=85]Je nach der Anzahl der verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] kann man diese auf verschiedene Arten aufteilen in 2 [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color]-Paare,[br]die als Grundpunkte zweier [b][i][color=#cc0000]elliptischen[/color][/i][/b] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] dienen.[br]Durch jeden Punkt der Ebene [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math], von den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] abgesehen, geht aus jedem Kreisbüschel genau ein [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color].[br]Die Lösungskurven der obigen [i][b]elliptischen Differentialgleichung [/b][/i]sind [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] dieser[color=#0000ff][i][b] [color=#ff0000]Kreise[/color][/b][/i][/color]. [br]Ist die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] der 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] reell, so sind für geeignete [math]c[/math] die Lösungskurven [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color].[br]Es ergeben sich unter dieser Voraussetzung folgende Fälle:[br][/size][list][*][size=85]1 einfacher, 1 dreifacher [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt:[/b][/i][/color] [color=#38761D][i][b]konfokale [color=#ff7700]Parabeln[/color][/b][/i][/color] und ihre [color=#9900ff][i][b]möbiusgeometrischen[/b][/i][/color] Bilder.[/size][/*][*][size=85]2 einfache, 1 doppelt-zählender [i][b]Brennpunkt[/b][/i]: [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Ellipsen/Hyperbeln [/b][/i][/color][/size][size=85]und ihre [color=#9900ff][i][b]möbiusgeometrischen[/b][/i][/color] Bilder.[/size][/*][*][size=85]2 doppelt-zählende [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] oder 1 vierfach-zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt:[/b][/i][/color] ein Kreisbüschel, [br]die Grundpunkte können als [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] angesehen werden![/size][/*][*][size=85]2 verschiedene [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt-Paare[/b][/i][/color], [color=#f1c232][i][b]spiegelbildlich[/b][/i][/color] auf 2 orthogonalen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] liegend: [br][color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] 1-teilige [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color].[/size][/*][*][size=85]4 verschiedene [color=#ff0000][i][b]konzyklische[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]: [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] 2-teilige [b][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color], [/b]zB [b][i][color=#ff7700]Cartesische Ovale[/color][/i][/b].[br][/size][/*][/list]

[size=85]Sind die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] verschieden, so ist die Lösung der elliptischen Differentialgleichung [br]eine [i][b]meromorphe doppelt periodische[/b][/i] Funktion.[br]Ist die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] [i]n i c h t[/i] reell, so gibt es geschlossenen Lösungskurven, welche sich allerdings [br]nicht [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color] schneiden. Über diese Kurven ist uns nichts bekannt. Die Lösung besitzt [i][b]keine[/b][/i] [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]-[color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color]! [br][br]In den oben aufgezählten Fällen jedoch gibt es mindestens eine [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]-[color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color][/size].[br]Die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] werden in 2 Punktepaare zerlegt, die als Grundpunkte zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\mathbf{\mathcal{B}_1},\mathbf{\mathcal{B}_2}[/math] dienen.[br]Die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] ist genau dann reell, wenn diese [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color][/size] einen gemeinsamen [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] besitzen.[br][br][color=#cc0000][i][b]Konstruktion der bizirkularen Lösungskurven[/b][/i][/color]:[br]Ein Grundpunkt ([color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]) [color=#00ff00][b]f[/b][/color] des [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color] [math]\mathbf{\mathcal{B}_1}[/math] wird ausgezeichnet.[br]Für das andere [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\mathbf{\mathcal{B}_2}[/math] ist jeder Kreis des dazu [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels [/b][/i][/color][math]\mathbf{\mathcal{OB}_2}[/math][color=#0000ff][i][b] Leitkreis [math]c_L[/math][/b][/i][/color] einer [color=#ff7700][i][b]Lösungskurve[/b][/i][/color].[br]Durch einen Punkt [color=#00ffff][i][b]q[/b][/i][/color] auf [math]c_L[/math] geht genau ein Kreis ([color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color]) aus [math]\mathbf{\mathcal{B}_2}[/math], der [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] schneidet den [color=#0000ff][b]Leitkreis[/b][/color] orthogonal.[br]Den zugehörigen [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] aus [math]\mathbf{\mathcal{B}_1}[/math] konstruieren wir wie folgt: der [color=#00ffff][i][b]Kreis[/b][/i][/color] [math]c[/math] berühre den [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] [math]c_L[/math] in [color=#00ffff][b]q[/b][/color] und gehe durch [color=#00ff00][b]f[/b][/color]. [br]Der gesuchte [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] aus dem Büschel [math]\mathbf{\mathcal{B}}_1[/math] schneidet den [color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color] [math]c[/math] orthogonal. [br]Die Schnittpunkte der [b][i][color=#ff0000]Brennkreise[/color][/i][/b] sind [b][i][color=#ff7700]Punkte[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff7700]Lösungskurve[/color][/i][/b].[br]Einer der winkelhalbierenden [color=#999999][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der beiden [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] ist tangential an die [i][b]Lösungskurve[/b][/i], der andere [br]winkelhalbierende Kreis ist orthogonal zur [b][i]Lösungskurve[/i][/b] und tangential an die orthogonale [b][i]Lösungskurve[/i][/b].[br]Der [color=#999999][i][b]Tangentialkreis[/b][/i][/color] berührt die [b][i]Lösungskurve[/i][/b] doppelt.[br]Die [color=#f1c232][i][b]Spiegelung[/b][/i][/color] an diesem [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreis[/b][/i][/color] vertauscht die beiden [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color], und spiegelt [color=#00ff00][i][b]f[/b][/i][/color] nach [color=#00ffff][i][b]q[/b][/i][/color].[br][color=#cc0000][i][b]Diese Eigenschaft ist allen bizirkularen Quartiken eigen![/b][/i][/color][br]Für [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] sind die [color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührende Kreise[/b][/i][/color]: sie gehen durch [math]\infty[/math], welcher [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [br]und [color=#ff7700][i][b]Kurvenpunkt[/b][/i][/color] in einem ist![/size]

[size=85]Das Applet oben gibt eine Übersicht über den Typ der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] in Abhängigkeit [br]von der Anzahl und Lage der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color].[br]In jedem Falle wird die "Konstruktion" der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] und der [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] mit[br]der stets gleichen Konstruktionsvorschrift angezeigt.[br]Der ausgewählte [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] ist stets [color=#00ff00][b]f[/b][/color]. [/size]

[size=85][right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/size][br][/right][br][i][b][color=#ff7700]Parabeln[/color][/b][/i] und ihre [b][i][color=#0000ff]Möbius-Transformierten[/color][/i][/b] besitzen 1 einfachen [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f [/color][/b] [br]und einen dreifach zählenden [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] [math]\infty[/math].[br]Eine Zerlegung dieser 4 [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] in 2 Punkte-Paare ist nur als { [b][color=#00ff00]f[/color][/b],[math]\infty[/math]} und { [math]\infty[/math],[math]\infty[/math]} möglich.[br]Dies liefert (euklidisch) das [b][i][color=#ff0000]Geradenbüschel[/color][/i][/b] durch [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b] und ein [b][i][color=#ff0000]Parallelen-Büschel[/color][/i][/b], z.B. die Parallelen zur [math]y[/math]-Achse.[br][b][i][color=#0000ff]„Leitkreis“ [/color][/i][/b]zu [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b] ist jede Orthogonale zum Parallelen-Büschel.[br]Ein [b][i][color=#ff0000]Brennstrahl[/color][/i][/b] aus dem [color=#ff0000][b][i]Parallelen-Büsche[/i][/b][/color][b][i][color=#ff0000]l[/color][/i][/b] schneide den [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] in [b][i][color=#00ffff]q[/color][/i][/b]. Zu dem [b][i][color=#00ffff]Berühr-Kreis[/color][/i][/b] an den [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] in [b][i][color=#00ffff]q[/color][/i][/b] [br]durch [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b] gibt es genau einen zum [b][i][color=#00ffff]Berühr-Kreis[/color][/i][/b] orthogonalen [b][i][color=#ff0000]Brennstrahl[/color][/i][/b] durch [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b].[br]Der Schnittpunkt [b][i][color=#ff7700]p[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff0000]Brennstrahlen[/color][/i][/b] ist ein Punkt der zugehörigen [b][i][color=#ff7700]Parabel[/color][/i][/b], [br]die [b][i][color=#666666]Mittelsenkrechte [/color][/i][/b]von [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b] [b][i][color=#00ffff]q[/color][/i][/b] ist eine [/size][size=85][size=85][b][i][color=#666666]Tangente[/color][/i][/b][/size] durch [b][i][color=#ff7700]p[/color][/i][/b] an die [b][i][color=#ff7700]Parabel[/color][/i][/b].[br]Gespiegelt an der [b][i][color=#666666]Tangente[/color][/i][/b] werden die [b][i][color=#ff0000]Brennstrahlen[/color][/i][/b] und [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b] und [b][i][color=#00ffff]q[/color][/i][/b] vertauscht.[br]Dies ist die übliche [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]-[color=#0000ff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color] Konstruktion der [/size][size=85][size=85][b][i][color=#ff7700]Parabel[/color][/i][/b][/size].[br]Die umständlich erscheinende [b]Konstruktionsbeschreibung[/b] ist jedoch im Prinzip für alle in diesem [color=#cc0000][b]book[/b][/color] zur Debatte [br]stehenden [b][i][color=#ff7700]Kurven[/color][/i][/b] mit 4 [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] gültig![/size]

[size=85][br]Geht man zu den orthogonalen [b][i][color=#ff0000]Brennkreis-Büscheln[/color][/i][/b] von den oben verwendeten [color=#ff0000][i][b]Büscheln[/b][/i][/color] über (konzentrische [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] um [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b] [br]und Parallelen zur [math]x[/math]-Achse), so sind die [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Parabeln[/color][/i][/b] ebenfalls [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] dieser [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b].[br]Nun funktioniert eine [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] - [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] Konstuktion nicht mehr![br]Die Spiegelung-Punkte des [b][i][color=#00ff00]Brennpunkts[/color][/i][/b] an den [b][i][color=#666666]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] liegen auf der Symmetrie-Achse [br](z.B. der [math]y[/math]-Achse), diese wäre „[b][i][color=#0000ff]Leitgerade[/color][/i][/b]“, sie nützt aber nicht zur Konstruktion![br]Die [b][i][color=#666666]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] berühren die [b][i][color=#ff7700]Parabeln[/color][/i][/b] von Innen, die Mittelpunkte liegen auf der Symmetrie-Achse.[br][br]Wie ist die Zuordnung der [b][i][color=#ff0000]konzentrischen Kreise[/color][/i][/b] zu den zur Symmetrie-Achse orthogonalen [b][i][color=#ff0000]Parallelen[/color][/i][/b], die sich[br]auf einer vorgegebenen [b][i][color=#ff7700]Parabel[/color][/i][/b] schneiden?[br]Den Schnittpunkt einer [b][i][color=#ff0000]Normalen[/color][/i][/b] zur Symmetrie-Achse mit dieser spiegele man am [b][i][color=#ff7700]Parabelscheitel[/color][/i][/b] bzw. an der [br][b][i][color=#b6b6b6]Scheiteltangenten[/color][/i][/b], man erhält einen Achsenschnittpunkt mit dem zugeordneten [b][i][color=#ff0000]konzentrischen Kreis[/color][/i][/b]: [br][b][i][color=#ff0000]Normale[/color][/i][/b] und [b][i][color=#ff0000]konzentrischer Kreis[/color][/i][/b] schneiden sich auf der [b][i][color=#ff7700]Parabel[/color][/i][/b]![br]Vorgegeben sind nur der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] und ein [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b], die Symmetrieachse ergibt sich daraus. [br]Durch Variation des [b][i][color=#ff7700]Scheitels[/color][/i][/b] auf der Symmetrie-Achse erhält man mit dieser Konstruktion alle [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Parabeln[/color][/i][/b][br]mit dieser Symmetrie-Achse.[br]Bei dieser Konstruktion wird dem [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] als [b][i][color=#ff0000]Punkt-Kreis[/color][/i][/b] die [b][i][color=#0000ff]Leitgerade[/color][/i][/b] und umgekehrt zugeordnet.[br][br]Diese Zuordnung ist, auf die speziellen Verhältnisse übersetzt, gültig für alle [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b]![/size]

[size=85][size=85][size=50][right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/size][/right][/size][/size][br][br]Ein [color=#ff7700][i][b]Cartesisches Oval[/b][/i][/color][/size][size=85] besitzt 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], im Normalfall auf der [math]x[/math]-Achse, einer davon ist [math]\infty[/math].[br]Diese [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] kann man aufteilen auf 3 Weisen in 2 Punktepaare als Grundpunkte von 2 [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüscheln[/b][/i][/color].[br]Zu jeder Aufteilung gehört eine von der Spiegelung an der [math]x[/math]-Achse verschiedene Symmetrie, die [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color] [br]sind paarweise orthogonal, einer ist imaginär.[br]Exemplarisch beschreiben wir die Konstruktion für die Aufteilung { [color=#00ff00][b]f[sub]0[/sub][/b][/color], [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color] } , { [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color] [math]\infty[/math] }. Ausgezeichnet wird [/size][size=85][size=85][math]\infty[/math][/size].[br][color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] sind die Kreise des zu den [color=#ff0000][i][b]Brennkreisen[/b][/i][/color] durch [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]0[/sub][/b][/color], [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color][/size] orthogonalen [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color].[br][color=#00ffff][b]q[/b][/color] sei ein Punkt auf einem [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color][/size]. Der [color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color] an den [/size][size=85][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color][/size][/size] durch [/size][size=85][size=85][color=#00ffff][b]q[/b][/color][/size] ist eine Tangente des [/size][size=85][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Leitkreises[/b][/i][/color][/size][/size].[br]Orthogonal dazu ist die [color=#ff0000][i][b]Brenngerade[/b][/i][/color] durch [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color]. Die Schnittpunkte dieser [color=#ff0000][i][b]Brenngeraden[/b][/i][/color] und [br]des [color=#ff0000][i][b]Brennkreises[/b][/i][/color] durch [/size][/size][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]0[/sub][/b][/color], [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color][/size] und [/size][/size][size=85][size=85][size=85][color=#00ffff][b]q[/b][/color][/size] sind [color=#ff7700][i][b]Punkte[/b][/i][/color] des [color=#ff7700][i][b]Cartesischen Ovals[/b][/i][/color]. Einer der Winkelhalbierenden-Kreise von[br][color=#ff0000][i][b]Brenngerade[/b][/i][/color] und [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] ist ein [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreis[/b][/i][/color]. [br]Gespiegelt an diesem werden [color=#ff0000][i][b]Brennkreis [/b][/i][/color]und [color=#ff0000][i][b]Brenngerade[/b][/i][/color] sowie [/size][/size][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color][/size] und [/size][/size][size=85][size=85][size=85][color=#00ffff][b]q[/b][/color][/size] vertauscht.[br]Auf die beschriebene Weise erhält man mit den drei Fällen drei verschiedene Scharen von [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color].[br]Zu jeder Schar gehört eine [color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color].[br]Eine 4. Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color] ist [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zur [math]x[/math]-Achse und läßt sich nicht auf diesem Wege [br]konstruieren, siehe [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp#chapter/701764][color=#0000ff][u][i][b]bicircular quartics 2-sheet[/b][/i][/u][/color][/url]! Ein [color=#ff7700][i][b]Cartesisches Oval[/b][/i][/color] ist eine [br][color=#ff7700][i][b]bizirkulare 2-teilige Quartik[/b][/i][/color] in einer speziellen Lage! [/size][/size]

[size=85][right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/size][br][/right][left]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegen spiegelbildlich auf 2 [color=#f1c232][i][b]orthogonalen Kreisen[/b][/i][/color], in Normalform erreicht man [color=#00ff00][b]f[/b][/color], [color=#00ff00][b]f'[/b][/color] = -[color=#00ff00][b]f[/b][/color], i/[color=#00ff00][b]f[/b][/color], -i/[color=#00ff00][b]f[/b][/color] mit reellem [color=#00ff00][b]f[/b][/color].[br][/left]Die [color=#ff0000][i][b]Brennkreis-Büschel[/b][/i][/color] sind zB. das [color=#ff0000][i][b]elliptische Büschel[/b][/i][/color] durch [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size] und [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size], und das [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Büschel[/b][/i][/color] mit [/size][size=85][size=85]i/[color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size] und[/size][size=85][size=85]-i/[color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size] als[br]Grundpunkten. Wählt man den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color] aus, so sind die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] durch [/size][size=85][size=85]i/[color=#00ff00][b]f[/b][/color], -i/[color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size] die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color].[br]Die Konstruktion verläuft nun wie in den Fällen zuvor:[br]Zu einem Punkt [color=#00ffff][b]q[/b][/color] auf dem [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] konstruiere man den [color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color] an den [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] durch [color=#00ffff][b]q[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f[/b][/color].[br]Der [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] aus dem [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] um [/size][size=85][size=85][size=85]i/[color=#00ff00][b]f[/b][/color], -i/[color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size][/size] und der [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] durch [color=#00ff00][b]f[/b][/color], [color=#00ff00][b]f'[/b][/color], der orthogonal zum [br][color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color] verläuft, schneiden sich auf der [color=#ff7700][i][b]1-teiligen Quartik[/b][/i][/color]. [br]Einer der beiden [color=#999999][i][b]Winkelhalbierenden-Kreise[/b][/i][/color] der [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] ist [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreis[/b][/i][/color].[br][br]In diesem Fall funktioniert die Konstruktion mit den orthogonalen [color=#ff0000][i][b]Brennkreis-Büscheln[/b][/i][/color] direkt:[br][color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Achse[/b][/i][/color] ist die [math]y[/math]-Achse.[br]Spiegelt man einen [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkt[/b][/i][/color] des einen [color=#ff0000][i][b]Brennkreis-Büschels[/b][/i][/color] mit der [math]y[/math]-Achse an dem [math]y[/math]-[color=#b6b6b6][i][b]symmetrischen Scheitelkreis[/b][/i][/color], [br]so erhält man einen [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkt[/b][/i][/color] des zugeordneten [color=#ff0000][i][b]Brennkreises[/b][/i][/color] aus dem anderen [color=#ff0000][i][b]Büschel[/b][/i][/color].[br]Auch hier sind wieder die [color=#ff0000][i][b]Punktkreise[/b][/i][/color] zu den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] den entsprechenden [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color] zugeordnet und umgekehrt.[/size]

[size=85][size=85][size=85][size=50][right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/size][/right][/size][/size][/size]Eine [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] mit 4 verschiedenen [color=#ff0000][i][b]konzyklischen[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color]: durch eine geeignete [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color][br]erreicht man stets obige Normalform.[br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind [color=#00ff00][b]f[/b][/color] : reell und oBdA [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size] > 1, und [color=#00ff00][b]f'[/b][/color] = -[/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size], [color=#00ff00][b]f''[/b][/color] = 1/[/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size], [color=#00ff00][b]f'''[/b][/color] = -1/[/size][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size][size=85].[br]Die [color=#38761D][b]konfokalen[/b][/color] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] sind [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zu den [color=#BF9000][i][b]Achsen[/b][/i][/color] und dem [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color].[br]Das Produkt der 3 Spiegelungen ergibt die Spiegelung am [color=#BF9000][i][b]imaginären Kreis[/b][/i][/color].[br]Für jede Konstruktion wird [color=#00ff00][b]f[/b][/color] ausgewählt.[br]Zu einer [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] und dem ausgewählten [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size] gehören 3 verschiedene [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color].[br]Diese liegen in einem [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size] als einem Grundpunkt und einem 2.ten Grundpunkt [color=#cc0000][b]f#[/b][/color].[br]Liegt dieser 2.te Grundpunkt in einem der [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreis-Schnittpunkte[/b][/i][/color], so ist die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] eine [b]Cassini-Quartik[/b]![br][br][color=#cc0000][i][b]Konstruktion exemplarisch:[/b][/i][/color][br]Das [color=#ff0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\mathbf{\mathcal{B}}_1[/math] mit den Grundpunkten [color=#00ff00][b]f[/b][/color] , [color=#00ff00][b]f''[/b][/color] und [math]\mathbf{\mathcal{B}}_2[/math] mit den Grundpunkten [color=#00ff00][b]f'[/b][/color] , [color=#00ff00][b]f'''[/b][/color] sind [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zum [br][color=#f1c232][i][b][color=#BF9000]imaginären Kreis[/color][/b][/i][/color].[br][color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] bei ausgewähltem [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color] sind die [color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des zu [math]\mathbf{\mathcal{B}}_2[/math] [color=#ff0000][i][b][color=#9900ff]orthogonalen[/color] hyperbolischen Kreisbüschels[/b][/i][/color].[br]Zu einem Punkt [color=#00ffff][b]q[/b][/color] auf einem [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] [color=#0000ff][b]ci[sub]L[/sub][/b][/color] sei der [color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color] an [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][b]ci[sub]L[/sub][/b][/color][/size] durch [color=#00ffff][b]q[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f[/b][/color] konstruiert.[br]Der zu diesm [color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]orthogonale Brennkreis[/b][/i][/color] aus [math]\mathbf{\mathcal{B}}_1[/math] durch [color=#00ff00][b]f[/b][/color] schneidet den [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] durch [color=#00ff00][b]f'[/b][/color], [color=#00ff00][b]f''[/b][/color], [color=#00ffff][b]q[/b][/color] in 2 [color=#ff7700][i][b]Punkten[/b][/i][/color] der[br][color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color]. Einer der beiden [color=#999999][i][b]winkelhalbierenden-Kreise[/b][/i][/color] der [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] ist [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreis[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color].[br]An diesem gespigelt werden die [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] sowie [color=#00ffff][b]q[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f[/b][/color] vertauscht.[br]Diese Eigenschaft dient auch dazu, diesen [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreis[/b][/i][/color] herauszufiltern. [br][br]Mit dieser Konstruktion erhält man 3 Scharen [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color] jeweils zu einer anderen [color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color].[br]Es gibt jedoch noch eine 4. Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color]: diese sind [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zur Hauptachse, [br]das ist der [color=#BF9000][i][b]Kreis[/b][/i][/color], auf welchem die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegen.[br]Die [color=#999999][i][b]Kreise[/b][/i][/color] dieser Schar können nicht mit Hilfe eines [color=#0000ff][i][b]Leitkreises[/b][/i][/color] konstruiert werden.[br]Eine alternative Konstruktionsvorschrift: [i][b]siehe [math]\hookrightarrow[/math] [/b][/i][url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp#material/vmzxsesf][i][b]nächste Seite[/b][/i][/url].[br][/size]

[size=85][size=85][right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color][/size][/size][size=50][size=85][/size])[/size][/right][/size][color=#ff0000][i][b]GERADEN[/b][/i][/color] in der [i][b]hyperbolischen Ebene[/b][/i] im [/size][color=#ff00ff][b][i][size=85]Poincarésches Kreisscheibenmodell[/size][/i][/b][/color][size=85] sind die zum [color=#444444][i][b]absoluten Kreis[/b][/i][/color] [math]c_{abs}[/math] senkrecht stehenden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color].[br][color=#ff0000][i][b]PUNKTE[/b][/i][/color] sind die Punkte im Inneren des [/size][size=85][size=85][color=#444444][i][b]absoluten Kreises[/b][/i][/color][/size].[br]Um den hyperbolischen ABSTAND zweier PUNKTE zu messen, schneide man die GERADE durch die PUNKTE mit dem [br][/size][size=85][size=85][color=#444444][i][b]absoluten Kreis[/b][/i][/color][/size]. Der ABSTAND wird mit Hilfe des [color=#0000ff][i][b]komplexen Doppelverhältnisses[/b][/i][/color] der zwei PUNKTE und der Schnittpunkte [br]mit dem [/size][size=85][size=85][size=85][color=#444444][i][b]absoluten Kreis[/b][/i][/color][/size][/size] berechnet. [br]Der [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] ist ein [i][b]hyperbolischer[/b][/i] KREIS mit [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color] als Mittelpunkt. [br]Die Spiegelung an der TANGENTE in [color=#00ffff][b]p[/b][/color] vertauscht die [color=#ff0000][i][b]Brenn-STRAHLEN[/b][/i][/color] sowie [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color] und [color=#00ffff][b]q[/b][/color].[br]Also gilt auch für [color=#ff7700][i][b]ELLIPSEN[/b][/i][/color] in der [i][b]hyperbolischen Ebene[/b][/i] | [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color], [color=#ff7700][b]p[/b][/color] |[sub]hyp[/sub] + | [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color], [color=#ff7700][b]p[/b][/color] [sub]|hyp[/sub] = | [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color], [/size][size=85][size=85][color=#00ffff][b]q[/b][/color][/size] | = [math]const[/math].[br][br]Fazit: In der [/size][size=85][size=85][i][b]hyperbolischen Ebene[/b][/i][/size] ist die [color=#cc0000][i][b]Gärtnerkonstruktion[/b][/i][/color] für [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]ELLIPSEN[/b][/i][/color][/size] gültig![br][br]In der [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrischen[/b][/i][/color] Wahrheit ist die [color=#ff7700][i][b]ELLIPSE[/b][/i][/color] Teil einer 2-teiligen [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color] mit 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color]![br][br]Mit "[color=#ff7700][b]Konstruktion mit p[sub]0[/sub][/b][/color]" kann man durch Änderung von [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][b]p[sub]0[/sub][/b][/color][/size] auch das hyperbolische Pendant einer [color=#ff7700][i][b]HYPERBEL[/b][/i][/color] in der[br][i][b]hyperbolischen Ebene[/b][/i] anzeigen lassen. Auch diese [color=#ff7700][i][b]HYPERBEL[/b][/i][/color] besteht aus 2 Ästen. Möglicherweise werden auch[br]unnötige Tangenten aus der Konstruktion angezeigt.[br]Zur Not hilft der [color=#351C75][i][b]Refresh-Knopf[/b][/i][/color]![/size]

[size=85][right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color][/size][/size][size=50][size=85][color=#ff7700][i][b][/b][/i][/color][/size])[/size][/right][br]Auch in [b]elliptischen Ebenen[/b] kann man mit der Gärtnerkonstruktion [color=#ff7700][i][b]elliptische[/b][/i][/color] Blumenbeete anlegen.[br]Beweglich ist der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]F[sub]1[/sub][/b][/color], mit dem Kurvenpunkt [color=#cc0000][b]P[/b][/color] läßt sich die [color=#ff7700][i][b]ELLIPSE[/b][/i][/color] änderen, [b][color=#cc0000]Q[/color][/b] bewegt sich auf der [color=#ff7700][i][b]ELLIPSE[/b][/i][/color]. [br]Der Abstand von [color=#ff0000][i][b]Kugel [/b][/i][/color]und [color=#BF9000][i][b]Ebene[/b][/i][/color] wird geändert, indem der euklidische Abstand des [b][i]Kugelmittelpunktes[/i][/b] vom [i][b]Pol[/b][/i] der [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Ebene[/b][/i][/color][/size], [br]welcher innerhalb der [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color][/size] liegt, variiert wird. Je näher sich diese beiden Punkte kommen, um so ferner ist die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Ebene[/b][/i][/color][/size][/size]. [br]Um sie in der Ferne zu sehen, muss man hinauszoomen. [br]Die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]ELLIPSE[/b][/i][/color][/size] ist ein [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color]![/size][br][size=85]Bei manchen Bewegungen verhalten sich [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]ELLIPSE[/b][/i][/color][/size][/size] und [color=#0000ff][i][b]LEITKREIS[/b][/i][/color] seltsam: das liegt an der Abstandsmessung [br]in [b]elliptischen[/b] [/size][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Ebenen[/b][/i][/color][/size][/size]. Gemessen werden als [b]ABSTAND[/b] Winkel, die Winkelmessung springt gerne [br]zwischen [math]\pi,\frac{\pi}{2}\mbox{ und }0[/math] hin- und her. [/size][br][size=85]In der [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrischen[/b][/i][/color] Wahrheit sind die elliptischen [color=#ff7700][i][b]ELLIPSEN[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare 2-teilige Quartiken[/b][/i][/color]![/size][br][br][size=50]Dieses Arbeitsblatt ist auch Teil des [color=#980000][i][b]geogebrabooks[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/size]

[right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/size][br][/right][br][size=85][color=#ff00ff][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color] sind eine Fortsetzung der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] auf den [color=#0000ff][b]Möbius-Raum[/b][/color].[br]Eine [/size][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Darboux Cyclide[/b][/i][/color][/size] besitzt mindestens eine [color=#BF9000][i][b]Symmetriekugel[/b][/i][/color]. Die [color=#BF9000][i][b]Symmetriekugeln[/b][/i][/color] sind paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color].[br]Mit einer geeigneten [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] des Raumes erreicht man, dass [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kugeln[/b][/i][/color] [br]zu [color=#BF9000][i][b]Koordinaten-Ebenen[/b][/i][/color] werden.[br]Im obigen Beispiel ist die [/size][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Cyclide[/b][/i][/color][/size] [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zu den [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Koordinaten-Ebenen[/b][/i][/color][/size], zur [color=#BF9000][i][b]Einheitskugel[/b][/i][/color] und zu einer orthogonalen [color=#BF9000][i][b]imaginären Kugel[/b][/i][/color].[br]Der Schnitt mit den [/size][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Koordinaten-Ebenen[/b][/i][/color][/size][/size] sind [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color], oben sind diese 2-teilig.[br]Die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Cyclide[/b][/i][/color][/size][/size] besitzt in den 3 [/size][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Koordinaten-Ebenen[/b][/i][/color][/size][/size] insgsamt [/size][size=85][size=85][b]3*4[/b] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size].[br]Aus den [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color] in einer [/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Koordinaten-Ebene[/b][/i][/color][/size][/size][/size] werden [color=#6d9eeb][i][b]doppelt-berührende Kugeln[/b][/i][/color] im Raum.[br]Diese können ganz außerhalb oder ganz innerhalb der [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Cyclide[/b][/i][/color][/size][/size] verlaufen, von den [color=#ff7700][i][b]Berührpunkten[/b][/i][/color] abgesehen.[br]Andernfalls schneiden die [/size][size=85][size=85][color=#6d9eeb][i][b]doppelt-berührende Kugeln[/b][/i][/color][/size] die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Cyclide[/b][/i][/color][/size][/size] in [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color]![br]Die [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size] im obigen Applet überstreifen die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Cyclide[/b][/i][/color][/size][/size], ohne irgendwo zu verschwinden.[br]Auf dazu [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Cycliden[/b][/i][/color][/size][/size] verschwinden die [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size] in Punkten; diese "[color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]" sind die Schnitte der [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Cyclide[/b][/i][/color][/size][/size] mit[br]den [color=#274E13][i][b]Fokalkurven[/b][/i][/color].[br]Die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Cyclide[/b][/i][/color][/size][/size] oben besitzt zu jeder [color=#BF9000][i][b]Koordinaten-Ebenen-Symmetrie[/b][/i][/color] 2 Scharen von [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color][/size] auf der Fläche.[br]Aus diesen [b]3*2[/b] Scharen auf der [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Cyclide[/b][/i][/color][/size][/size] kann man [math]2^3[/math][math]=8[/math] [color=#ff7700][i][b]Sechsecknetze[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] bilden.[br][color=#cc0000][i][b]Links dazu:[/b][/i][/color][br][color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [math]\hookrightarrow[/math] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV]Sechsecknetze[/url][/b][/i][/u][/color][br][/size][size=85][size=85][color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][/size] [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/456704][color=#0000ff][u][i][b]Möbiusebene Kapitel Sechs-Eck-Gewebe 3D[/b][/i][/u][/color][/url][br][/size][size=85][size=85][size=85][color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][/size][/size] [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5][color=#0000ff][u][i][b]conics bicircular-quartics Darboux-cycliden[/b][/i][/u][/color][/url][/size]

[right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/size][/right][br][size=85][color=#cc0000][i][b]In welchen Zusammenhängen treten Brennpunkte und Leitlinien auf?[/b][/i][/color][br][color=#38761D][i][b]Konfokale Kurven[/b][/i][/color] in der Ebene oder [color=#38761D][i][b]konfokale Flächen[/b][/i][/color] im Raum setzen eine [color=#0000ff][i][b]konforme[/b][/i][/color] Umgebung voraus.[br]Das bedeutet: die Kurven bzw. Flächen bilden [i][b]orthogonale Systeme[/b][/i]. Das beruht auf Winkelmessung.[br][br]Der einfachste Fall sind [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] und ihre [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Kreisbüschel[/b][/i][/color] in der [br][i][b]komplexen[/b][/i] [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math].[br]Beschreiben lassen diese sich durch eine [i][b]komplexe Diferentialgleichung[/b][/i] des Typs [math]g'\left(z\right)=c\cdot\left(g\left(z\right)-f_1\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_2\right)[/math] [br]mit [math]c\in\mathbb{C}[/math].[br]Die Grundpunkte [math]f_1[/math], [math]f_2[/math] der Büschel lassen sich als "[/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size]" deuten.[br][color=#9900ff][i][b]Dynamisch[/b][/i][/color] kann man die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] als [color=#00ff00][i][b]Quelle[/b][/i][/color] und [color=#00ff00][i][b]Senke[/b][/i][/color] von [i][b]Kreiswellen[/b][/i] deuten, die sich längs der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [br]des [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Büschels[/b][/i][/color] bewegen.[br]Vielleicht könnte man die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des einen [color=#ff0000][i][b]Büschels[/b][/i][/color] als [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] deuten: entlang dieser werden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [br]des [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Büschels[/b][/i][/color] bewegt.[br]Lösungen dieser [i][b]Differentialgleichungen[/b][/i] sind zB die komplexe [i][b]Sinus[/b][/i]- oder [i][b]Cosinus[/b][/i]-Funktion, geeignet transformiert.[br]Komplex analythische Funktionen mit 3 einfachen Nullstellen der Ableitung können wir geometrisch nicht in diesem [br]Zusammenhang deuten.[br][br]Die nächst-höhere Stufe liefern die [i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i]: [math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\cdot\left(g-f_3\right)\cdot\left(g-f_4\right)[/math].[br]Die Lösungen - [color=#9900ff][i][b]elliptische Funktionen[/b][/i][/color] - lassen sich interpretieren als die Überlagerung zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel [/b][/i][/color][br]oder Überlagerung der [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Büschel[/b][/i][/color].[br]Das kann auf verschiedene Weisen erfolgen. Man erhält wieder ein [color=#38761D][i][b]konfokales[/b][/i][/color] orthogonales Kurvensystem,[br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind die Grundpunkte [math]f_1,f_2,f_3,f_4[/math] der möglichen [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] , möglicherweise sind zusammenfallende dabei.[br]Zu den Überlagerungen der [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] gehören in den Schnittpunkten [color=#999999][i][b]doppelt-berührende Kreise[/b][/i][/color] an die [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color].[br]Spiegelt man einen ausgewählten [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] an den eine [color=#ff7700][i][b]Lösungskurve[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85][color=#999999][i][b]doppelt-berührende Kreisen[/b][/i][/color][/size], so stellt man fest,[br]dass die Spiegelpunkte auf einem[color=#0000ff][i][b] Kreis[/b][/i][/color], dem zugehörigen[color=#0000ff][i][b] Leitkreis[/b][/i][/color], liegen.[br]Diese [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] kann man umgekehrt zur Konstruktion der [color=#ff7700][i][b]Kurvenpunkte[/b][/i][/color] und der [color=#999999][i][b]doppel-berührenden Kreise[/b][/i][/color] verwenden.[br][br]Im Raum mit einer [color=#741B47][i][b]konformen Struktur[/b][/i][/color] findet man ebenfalls [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] paarweise orthogonale Flächensysteme.[br]Diese besitzen paarweise orthogonale [color=#f1c232][i][b]Symmetriekugeln[/b][/i][/color].[br]Wählt man diese durch geeignete [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color] als[color=#BF9000][i][b] Koordinaten-Ebenen[/b][/i][/color], so erhält man in diesen die oben [br]beschriebenen konfokalen Kurvensysteme aus [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color].[br]Deren [color=#f1c232][i][b]S[/b][/i][i][b]ymmetrieen[/b][/i][/color] setzen sich auf die Flächensysteme fort, auch der Typ der [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color][/size] bestimmt den Typ der Flächen.[br]Es handelt sich um die längere Zeit vernachlässigten [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#351C75][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color], zu denen die [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color][/size] [color=#ff7700][i][b]Quadriken[/b][/i][/color],[br][color=#351C75][i][b]Dupinsche Cycliden[/b][/i][/color] und [color=#351C75][i][b]Tori[/b][/i][/color] gehören.[br]Im reichsten Falle besitzen diese [/size][size=85][size=85][color=#351C75][i][b]Cycliden[/b][/i][/color][/size] [b]5[/b] [/size][size=85][size=85][color=#f1c232][i][b]S[/b][/i][i][b]ymmetrieen[/b][/i][/color][/size], [b]3*4[/b] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und [b]3*2[/b] Scharen von [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] auf den [/size][size=85][size=85][color=#351C75][i][b]Cycliden[/b][/i][/color][/size].[br]Diese entstehen als Schnitte der [/size][size=85][size=85][color=#351C75][i][b]Cycliden[/b][/i][/color][/size] mit [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kugeln[/b][/i][/color], die sich ihrerseits aus den [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[br]Kreisen[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] ergeben und konstruieren lassen - also wieder mit Hilfe der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color].[br][br][br]Ob es [color=#38761D][i][b]konfokale Systeme[/b][/i][/color] mit einer größeren Anzahl von [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] gibt, und ob diese geometrischen Deutungen [br]zugänglich sind, wissen wir nicht.[/size]

[size=85]Oben werden [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color] und [color=#ff7700][i][b]Hyperbeln[/b][/i][/color] mit der [color=#0000ff][i][b]komplexen[/b][/i][/color] [b]Sinus[/b]-Funktion dargestellt.[br]Die Kurven des Gitters werden mit der [b]Sinus[/b]-Funktion auf die [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] abgebildet.[br]Die [b]Sinus[/b]-Funktion genügt der [i][b]Differential-Gleichung[/b][/i] [math]\left(g'\right)^2=\left(g-1\right)\cdot\left(g+1\right)=g^2-1[/math] mit den [i]Nullstellen[/i][br]der Ableitung, also den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] +1, -1.[br]Die [b]Sinus[/b]-Funktion ist einfach-periodisch.[br][br]Nach den komplex-analytischen Funktionen [b]sin[/b], [b]cos[/b], [b]tan[/b], [b]exp[/b] ... scheinen uns die nächst-höhere Klasse elementarer [br][i][b]komplex-analytischen Funktionen[/b][/i] die Lösungsfunktionen der [color=#9900ff][i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i][/color] - also [br]die [color=#9900ff][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color] zu sein. In Normalform handelt es sich um die [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i][/color][/size][br][/size][list][*][size=85][math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f\right)\cdot\left(g+f\right)\cdot\left(g-\frac{1}{f}\right)\cdot\left(g+\frac{1}{f}\right)=c\cdot\left(g^4-\left(f^2+\frac{1}{f^2}\right)\cdot g^2+1\right)[/math], [math]f\in\mathbb{R}[/math]: [color=#ff7700][i][b]2-teilige Quartiken[/b][/i][/color][/size][br][/*][*][size=85][math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f\right)\cdot\left(g+f\right)\cdot\left(g-\frac{i}{f}\right)\cdot\left(g+\frac{i}{f}\right)=c\cdot\left(g^4-\left(f^2-\frac{1}{f^2}\right)\cdot g^2-1\right)[/math], [math]f\in\mathbb{R}[/math]: [color=#ff7700][i][b]1-teilige Quartiken[/b][/i][/color][/size][/*][/list][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]Elliptischen Funktionen[/b][/i][/color][/size] sind [i][b]doppelt-periodisch[/b][/i]: ein wie unten dargestelltes Gitter wird auf die [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [i][b]Lösungskurven[/b][/i] [br]so abgebeildet, dass bei Vergrößerung in beiden Richtungen die Kurven wiederholt durchlaufen werden![br]Leider sind die [color=#9900ff][i][b]elliptischen Lösungsfunktionen[/b][/i][/color] nicht in [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] implementiert, sonst könnte man mit ihrer Hilfe[br]die [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] wie die [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color][/size] [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] mit Hilfe der [b]Sinus[/b]-Funktion darstellen.[br]Die erwünschten [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color][/size] sind [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformierte[/b][/i][/color] der [b]Jacobi[/b]schen [/size][size=85][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color][/size][/size] oder [br]von speziellen [i][b]Weierstrass[/b][/i]schen Funktionen [math]\wp[/math].[br]Die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color][/size] unten sind als Liste [i][b]impliziter Kurven[/b][/i] definiert, dies verzögert das Applet mitunter beträchtlich.[/size]