Planimetrie

Ondřej Chobot, Nov 6, 2020

Úlohy z učebnice Matematika pro gymnázia - Planimetrie (Eva Pomykalová) Číslování úloh dle 4. dotisku z roku 1993

Table of Contents

  1. Geometrické útvary v rovině
    1. Součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku
    2. Součet vedlejších úhlů konvexního mnohoúhelníku
    3. Středový a obvodový úhel
    4. Pythagorova věta
    5. Euklidovy věty
    6. Mocnost bodu ke kružnici - vnější
    7. Mocnost bodu ke kružnici - vnitřní
  2. Množiny bodů, základní konstrukce
    1. Množina bodů - kružnice
    2. Množina bodů - ekvidistanta přímky
    3. Množina bodů - osa pásu
    4. Množina bodů - osa úhlu
    5. Množina bodů - osa úsečky
    6. Množina bodů - kružnice nad průměrem (Thaletova kružnice)
    7. Množina bodů, ze kterých je vidět úsečka pod daným úhlem
    8. Množina bodů, ze kterých je vidět úsečka pod daným úhlem - postup konstrukce
    9. Konstrukce - tečna ke kružnici - bod mimo - 1
    10. Konstrukce - tečna ke kružnici - bod mimo - 2
    11. Konstrukce - tečna ke dvěma kružnicím - vnitřní dotyk
    12. Konstrukce - tečna ke dvěma kružnicím - vnější dotyk
  3. Konstrukce na základě výpočtu
    1. Konstrukce - redukční úhel
    2. Konstrukce - odmocnina - součtu, rozdílu
    3. Konstrukce - odmocnina součinu
    4. Konstrukce - 4. geometrická úměrná
    5. Konstrukce - obdélník na čtverec stejného obsahu
    6. Konstrukce - Pythagorova spirála
    7. Konstrukce - zlatý řez
    8. Úloha 2.0 - konstrukce úsečky dané délky
  4. Konstrukční úlohy
    1. Úloha - 2.0 - trojúhelník - c, tb, vb - řešení 1
    2. Úloha - 2.0 - trojúhelník - c, tb, vb - řešení 2
    3. Úloha - 2.0 - trojúhelník ta, tb, tc
    4. Úloha - 2.0 - trojúhelník - b, vc, ro
    5. Úloha - 2.17 - úhlopříčka je vidět pod úhlem
    6. Úloha - 2.19 A - trojúhelník - c, a, tc
    7. Úloha - 2.19 B - trojúhelník - c, a, gamma
    8. Úloha - 2.19 C - trojúhelník - c, vc, tc
    9. Úloha - 2.19 D - trojúhelník - c, α, va
    10. Úloha - 2.20 A - trojúhelník - a, b, β
    11. Úloha - 2.20 B - trojúhelník - a, γ, tc
    12. Úloha - 2.20 C - trojúhelník - a, va, tb
    13. Úloha - 2.20 D - trojúhelník - a, vb, tc
    14. Úloha - 2.21 A - trojúhelník - va, c, tb
    15. Úloha - 2.21 B - trojúhelník - va, b, vb
    16. Úloha - 2.21 C - trojúhelník - va, vb, c
    17. Úloha - 2.22 A - trojúhelník - ta, a, γ
    18. Úloha - 2.22 B - trojúhelník - ta, a, v_a
    19. Úloha - 2.22 C - trojúhelník - ta, β, tb
    20. Úloha - 2.23 A - trojúhelník - a, vb, ta - umístění a
    21. Úloha - 2.23 B - trojúhelník - a, vb, ta - umístění vb
    22. Úloha - 2.24 - trojúhelník - γ, va, r
    23. Úloha - 2.25 - trojúhelník - a, α, ρ
    24. Úloha - 2.26 - rovnostranný trojúhelník - r
    25. Úloha - 2.27 - rovnoramenný trojúhelník - vc, ta
    26. Úloha - 2.28 - pravoúhlý trojúhelník - a, ρ
    27. Úloha - 2.29 A - kosočtverec - v, e
    28. Úloha - 2.29 B - kosočtverec - f, ρ
    29. Úloha - 2.30 A - kosodelník - a, α, e
    30. Úloha - 2.30 B - kosodelník - e, f, va
    31. Úloha - 2.31 A - lichoběžník - b, v, e, f
    32. Úloha - 2.31 B - lichoběžník - b, c, alfa, e
    33. Úloha - 2.32 A - čtyřúhelník - a, alfa, gama, delta, e
    34. Úloha - 2.32 B - čtyřúhelník - a, c, e, f, α
    35. Úloha - 2.33 A - tětivový čtyřúhelník - a, β, e, f
    36. Úloha - 2.33 B - tečnový čtyřúhelník - a, b, α, ρ
    37. Úloha - 2.33 C - dvojstředový čtyřúhelník - α, β, ρ
    38. Úloha - 2.34 A - trojúhelník - tb, a, b
    39. Úloha - 2.34 B - trojúhelník - tb, a, c
    40. Úloha - 2.34 C - trojúhelník - tb, c, ta
    41. Úloha - 2.35 A - trojúhelník - c, α, tb
    42. Úloha - 2.35 B - trojúhelník - c, α, tb
    43. Úloha - 2.36 A - kosodelník - a, v, ε
    44. Úloha - 2.36 B - kosodelník - a, v, ε
  5. Shodná zobrazení
    1. Úloha - 3.0 - trojúhelník - a+b+c, α, β
    2. Úloha - 3.4 - trojúhelník ve čtverci
    3. Úloha - 3.15 A - a+b, va, c
    4. Úloha - 3.15 B - b-a, c, α
    5. Úloha - 3.28 A - trojúhelník ta, c, b
    6. Úloha - 3.28 B - trojúhelník ta, β, γ
    7. Úloha - 3.28 C - trojúhelník ta, b, β
    8. Úloha - 3.28 D - trojúhelník ta, b, tb
    9. Úloha - 3.40 - rovnoběžník a, b, ω
    10. Úloha - 3.41 - lichoběžník a, b, c, d
    11. Úloha - 3.55 - tětiva dané délky prochází bodem
    12. Osová souměrnost - karambol
  6. Stejnolehlost
    1. Úloha - 3.0 - trojúhelník - poměr stran, γ, výška
    2. Úloha - 3.0 - vepište čtverec do trojúhelníku
    3. Úloha - 3.86 A - trojúhelník - poměr stran, β, tc
    4. Úloha - 3.86 B - trojúhelník - poměr stran, vb
    5. Úloha - 3.86 C - trojúhelník - α, β, r
    6. Úloha - 3.86 D - trojúhelník - b+c, α, γ
    7. Úloha - 3.87 - kosočtverec - poměr e:f, a
    8. Úloha - 3.88 - kosodélník - poměr a:b, f, α
    9. Úloha - 3.89 - vepište čtverec do půlkruhu
    10. Úloha - 3.90 - vepište obdélník do kružnice
  7. Cvičení - konstrukce
    1. Cvičení 1: otočení čtverce
    2. Cvičení 2: shodná zobrazení
    3. Cvičení 3: složené zobrazení
    4. Cvičení 4: tečna ke dvěma kružnicím
    5. Cvičení 5: stejnolehlost

1.

Geometrické útvary v rovině

vlastnosti základních geometrických útvarů

  • 1. Součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku
  • 2. Součet vedlejších úhlů konvexního mnohoúhelníku
  • 3. Středový a obvodový úhel
  • 4. Pythagorova věta
  • 5. Euklidovy věty
  • 6. Mocnost bodu ke kružnici - vnější
  • 7. Mocnost bodu ke kružnici - vnitřní

1.1.

Součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku

– Ondřej Chobot

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

2.

Množiny bodů, základní konstrukce

základní konstrukce, které by měl student znát

  • 1. Množina bodů - kružnice
  • 2. Množina bodů - ekvidistanta přímky
  • 3. Množina bodů - osa pásu
  • 4. Množina bodů - osa úhlu
  • 5. Množina bodů - osa úsečky
  • 6. Množina bodů - kružnice nad průměrem (Thaletova kružnice)
  • 7. Množina bodů, ze kterých je vidět úsečka pod daným úhlem
  • 8. Množina bodů, ze kterých je vidět úsečka pod daným úhlem - postup konstrukce
  • 9. Konstrukce - tečna ke kružnici - bod mimo - 1
  • 10. Konstrukce - tečna ke kružnici - bod mimo - 2
  • 11. Konstrukce - tečna ke dvěma kružnicím - vnitřní dotyk
  • 12. Konstrukce - tečna ke dvěma kružnicím - vnější dotyk

2.1.

Množina bodů - kružnice

– Ondřej Chobot

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

2.10.

–

2.11.

–

2.12.

–

3.

Konstrukce na základě výpočtu

konstrukce úseček daných délek

  • 1. Konstrukce - redukční úhel
  • 2. Konstrukce - odmocnina - součtu, rozdílu
  • 3. Konstrukce - odmocnina součinu
  • 4. Konstrukce - 4. geometrická úměrná
  • 5. Konstrukce - obdélník na čtverec stejného obsahu
  • 6. Konstrukce - Pythagorova spirála
  • 7. Konstrukce - zlatý řez
  • 8. Úloha 2.0 - konstrukce úsečky dané délky

3.1.

Konstrukce - redukční úhel

– Ondřej Chobot

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

4.

Konstrukční úlohy

konstrukční úlohy, které lze řešit bez zobrazení někdy s využitím dopočtu úhlu

  • 1. Úloha - 2.0 - trojúhelník - c, tb, vb - řešení 1
  • 2. Úloha - 2.0 - trojúhelník - c, tb, vb - řešení 2
  • 3. Úloha - 2.0 - trojúhelník ta, tb, tc
  • 4. Úloha - 2.0 - trojúhelník - b, vc, ro
  • 5. Úloha - 2.17 - úhlopříčka je vidět pod úhlem
  • 6. Úloha - 2.19 A - trojúhelník - c, a, tc
  • 7. Úloha - 2.19 B - trojúhelník - c, a, gamma
  • 8. Úloha - 2.19 C - trojúhelník - c, vc, tc
  • 9. Úloha - 2.19 D - trojúhelník - c, α, va
  • 10. Úloha - 2.20 A - trojúhelník - a, b, β
  • 11. Úloha - 2.20 B - trojúhelník - a, γ, tc
  • 12. Úloha - 2.20 C - trojúhelník - a, va, tb
  • 13. Úloha - 2.20 D - trojúhelník - a, vb, tc
  • 14. Úloha - 2.21 A - trojúhelník - va, c, tb
  • 15. Úloha - 2.21 B - trojúhelník - va, b, vb
  • 16. Úloha - 2.21 C - trojúhelník - va, vb, c
  • 17. Úloha - 2.22 A - trojúhelník - ta, a, γ
  • 18. Úloha - 2.22 B - trojúhelník - ta, a, v_a
  • 19. Úloha - 2.22 C - trojúhelník - ta, β, tb
  • 20. Úloha - 2.23 A - trojúhelník - a, vb, ta - umístění a
  • 21. Úloha - 2.23 B - trojúhelník - a, vb, ta - umístění vb
  • 22. Úloha - 2.24 - trojúhelník - γ, va, r
  • 23. Úloha - 2.25 - trojúhelník - a, α, ρ
  • 24. Úloha - 2.26 - rovnostranný trojúhelník - r
  • 25. Úloha - 2.27 - rovnoramenný trojúhelník - vc, ta
  • 26. Úloha - 2.28 - pravoúhlý trojúhelník - a, ρ
  • 27. Úloha - 2.29 A - kosočtverec - v, e
  • 28. Úloha - 2.29 B - kosočtverec - f, ρ
  • 29. Úloha - 2.30 A - kosodelník - a, α, e
  • 30. Úloha - 2.30 B - kosodelník - e, f, va
  • 31. Úloha - 2.31 A - lichoběžník - b, v, e, f
  • 32. Úloha - 2.31 B - lichoběžník - b, c, alfa, e
  • 33. Úloha - 2.32 A - čtyřúhelník - a, alfa, gama, delta, e
  • 34. Úloha - 2.32 B - čtyřúhelník - a, c, e, f, α
  • 35. Úloha - 2.33 A - tětivový čtyřúhelník - a, β, e, f
  • 36. Úloha - 2.33 B - tečnový čtyřúhelník - a, b, α, ρ
  • 37. Úloha - 2.33 C - dvojstředový čtyřúhelník - α, β, ρ
  • 38. Úloha - 2.34 A - trojúhelník - tb, a, b
  • 39. Úloha - 2.34 B - trojúhelník - tb, a, c
  • 40. Úloha - 2.34 C - trojúhelník - tb, c, ta
  • 41. Úloha - 2.35 A - trojúhelník - c, α, tb
  • 42. Úloha - 2.35 B - trojúhelník - c, α, tb
  • 43. Úloha - 2.36 A - kosodelník - a, v, ε
  • 44. Úloha - 2.36 B - kosodelník - a, v, ε

4.1.

Úloha - 2.0 - trojúhelník - c, tb, vb - řešení 1

– Ondřej Chobot

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

4.12.

–

4.13.

–

4.14.

–

4.15.

–

4.16.

–

4.17.

–

4.18.

–

4.19.

–

4.20.

–

4.21.

–

4.22.

–

4.23.

–

4.24.

–

4.25.

–

4.26.

–

4.27.

–

4.28.

–

4.29.

–

4.30.

–

4.31.

–

4.32.

–

4.33.

–

4.34.

–

4.35.

–

4.36.

–

4.37.

–

4.38.

–

4.39.

–

4.40.

–

4.41.

–

4.42.

–

4.43.

–

4.44.

–

5.

Shodná zobrazení

úlohy využívající osovou souměrnost, středovou souměrnost, posunutí, otočení

  • 1. Úloha - 3.0 - trojúhelník - a+b+c, α, β
  • 2. Úloha - 3.4 - trojúhelník ve čtverci
  • 3. Úloha - 3.15 A - a+b, va, c
  • 4. Úloha - 3.15 B - b-a, c, α
  • 5. Úloha - 3.28 A - trojúhelník ta, c, b
  • 6. Úloha - 3.28 B - trojúhelník ta, β, γ
  • 7. Úloha - 3.28 C - trojúhelník ta, b, β
  • 8. Úloha - 3.28 D - trojúhelník ta, b, tb
  • 9. Úloha - 3.40 - rovnoběžník a, b, ω
  • 10. Úloha - 3.41 - lichoběžník a, b, c, d
  • 11. Úloha - 3.55 - tětiva dané délky prochází bodem
  • 12. Osová souměrnost - karambol

5.1.

Úloha - 3.0 - trojúhelník - a+b+c, α, β

– Ondřej Chobot

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

5.10.

–

5.11.

–

5.12.

–

6.

Stejnolehlost

  • 1. Úloha - 3.0 - trojúhelník - poměr stran, γ, výška
  • 2. Úloha - 3.0 - vepište čtverec do trojúhelníku
  • 3. Úloha - 3.86 A - trojúhelník - poměr stran, β, tc
  • 4. Úloha - 3.86 B - trojúhelník - poměr stran, vb
  • 5. Úloha - 3.86 C - trojúhelník - α, β, r
  • 6. Úloha - 3.86 D - trojúhelník - b+c, α, γ
  • 7. Úloha - 3.87 - kosočtverec - poměr e:f, a
  • 8. Úloha - 3.88 - kosodélník - poměr a:b, f, α
  • 9. Úloha - 3.89 - vepište čtverec do půlkruhu
  • 10. Úloha - 3.90 - vepište obdélník do kružnice

6.1.

Úloha - 3.0 - trojúhelník - poměr stran, γ, výška

– Ondřej Chobot

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

6.7.

–

6.8.

–

6.9.

–

6.10.

–

7.

Cvičení - konstrukce

Cvičení s pracovními listy se zadáním

  • 1. Cvičení 1: otočení čtverce
  • 2. Cvičení 2: shodná zobrazení
  • 3. Cvičení 3: složené zobrazení
  • 4. Cvičení 4: tečna ke dvěma kružnicím
  • 5. Cvičení 5: stejnolehlost

7.1.

Cvičení 1: otočení čtverce

Zadání
[b][u][size=150]Otočení čtverce[/size][/u][/b][br]otočte zadaný čtverec o 75° proti směru hodinových ručiček[br][br][b][u][size=150]Rady[/size][/u][/b][br]Snažíme se minimalizovat měření úhloměrem.[br]Otočíme jednu úsečku.[br]Následně výsledný čtverec nad otočenou úsečkou sestrojíme.[br][br]Jako první vybíráme takový bod, aby přímka jím vedená a procházející středem, protínala co nejméně dalších útvarů.[br][br]Čím vzdálenější, tím lépe. Malé kružnice se konstruují hůře.[br][br]Úhel pro druhý další bod přeneseme, je to snazší a přesnější než znovu použít úhloměr.[br][br]Jakmile budeme mít otočenou úsečku, promyslíme, na které straně bude výsledný čtverec. Ten dorýsujeme. Využijeme pravítka s ryskou a kolmic, ty jsou opět nejsnazší.
Cvičení - konstrukce - otočení čtverce - zadání ke stažení
– Ondřej Chobot

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

Information