[size=200][b]IV. Länge der Kette[/b][br][math]\quad\quad[/math]Formel zur Berechnung der Kettenlänge[/size]

Die Formel zur Berechnung der Länge für einen Abschnitt eines Funktionsgraphen lautet[br][math]l=\int \limits_a^b \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\,\mathrm{d}x[/math][br]Dabei wird vorausgesetzt, dass die Funktion [math]f[/math] auf dem ganzen Intervall [math]\left[a;b\right][/math] stetig differenzierbar ist.

Für den in der Abbildung rot dargestellten Abschnitt der Kette zwischen den Aufhängepunkten A und B an den Stellen -c bzw. +c gilt[br][math]l=\int \limits_{-c}^{c} \sqrt{1+\left(f'(x)\right)}\,\mathrm{d}x[/math].[br]Dabei ist[br][math]f(x)=a\cdot\cosh\left(\frac{x}{a}\right)-a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right)+h[/math] und somit[br][math]f'(x)=a\cdot\sinh\left(\frac{x}{a}\right)\cdot\frac{1}{a}[/math], also[br][math]f'(x)=\sinh\left(\frac{x}{a}\right)[/math]. [br]Gleichung (I) aus den mathematischen Grundlagen lautet [math]\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1[/math], daraus folgt [math]\cosh^2(x)=1+\sinh^2(x)[/math]. Damit ergibt sich[br][math]l=\int \limits_{-c}^{c} \sqrt{1+\sinh^2\left(\frac{x}{a}\right)}\,\mathrm{d}x\;=\;\int \limits_{-c}^{c} \sqrt{\cosh^2\left(\frac{x}{a}\right)}\,\mathrm{d}x\;=\;\int \limits_{-c}^{c} \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm{d}x \;=\; \left[a\cdot\sinh\left(\frac{x}{a}\right)\right]_{-c}^c\[/math][br][math]l\,=\, a\cdot\sinh\left(\frac{c}{a}\right)-a\cdot\sinh\left(\frac{-c}{a}\right)[/math] [br][math][br]\boxed{[br]l\,=\,2a\cdot\sinh\left(\frac{c}{a}\right)[br]}[br][/math][br][br]Bei der oben abgebildeten Kette ist c=0.7 und a=0.717 (siehe vorige Seite).[br]Somit ist die Länge des rot dargestellten Kurvenabschnitts[br][math]l=2 \cdot 0.717 \cdot \sinh\left(\frac{0.7}{0.717}\right)\,\approx\, 1,633[/math].[br][br]Bei einem Abstand der Aufhängepunkte von 1,4m und einem Durchhang von 0,37m ergibt die Berechnung also eine Kettenlänge von ca. 1,63m.