[size=150][size=100]Us torno a compartir unes construccions modulars algunes també d'Escher treballats d'una manera diferent, aquest cop construccions d'un llibre magnífic anomenat "[b][color=#1e84cc][url=https://www.geogebra.org/m/z7bprgdv]Simetría: Mosaicos y grupos cristalográficos[/url][/color][/b]" fet per [url=https://www.geogebra.org/u/jamora][b][color=#1e84cc]José Antonio Mora Sánchez[/color][/b][/url] on veureu que es poden observar els elements que la defineixen.[br][br]Estudio de mosaicos.[br]Utilizamos la geometría dinámica para investigar un mosaico (la mayoría de Escher o de la Alhambra). Colocamos los centros de rotaciónm vectores de traslación y ejes de simetría o de simetría con deslizamiento con el fin de organizar una trama que nos permita clasificar el mosaico y llegar a la baldosa mínima: la más pequeña que podemos utilizar para generara el mosaico completo a partir de sus simetrías.[br][br][b][size=150]Propuesta didáctica i secuencia de trabajo para la clase[/size][/b][br][br]Antes de pulsar los interruptores que hacen aparecer las simetrías del mosaico, es interesante dedicar un tiempo a conseguirlas por uno mismo. Como guía de trabajo en clase se puede utilizar la siguiente secuencia de preguntas:[br][br]1. Marca sobre el mosaico todas las isometrías o movimientos en el plano que observes y descríbelas por escrito. [list][*]Busca vectores de traslación en dos direcciones diferentes.[/*][*]Si hay rotaciones, marca los centros para ver si con ellos se forma una trama de puntos, si hay simetrías rotacionales de varios órdenes, utiliza colores distintos.[/*][*]Dibuja los ejes de simetría y haz una trama con las líneas.[/*][*]Busca los ejes de simetría con deslizamiento marcando los ejes y al menos uno de los vectores de traslación paralelo a uno de los ejes.[/*][/list][br]2. Observa el entramado que se genera y describe la baldosa que se encuentra en su interior. ¿A qué tipo de polígono se llega? Describe la malla o trama oculta en la que se apoyó el diseñador del mosaico.[br][br]3. Toma una de las baldosas y describe las instrucciones para reproducir todo el mosaico[/size][b][br][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/z7bprgdv#material/xzwjvdms][color=#1e84cc]Dos formas de analizar los mosaicos. El Hueso de la Alhambra.[/color][/url][/b][/size][br][br]Vamos a analizar las simetrías de los mosaicos desde dos puntos de vista diferentes, que resultan complementarios. En la primera nos acercamos al mosaico a partir del estudio de las simetrías que tiene y las que le faltan. Después lo abordamos desde el diseño de una baldosa inicial e introduciendo dentro de ella una figura. Una vez construida, aplicaremos las simetrías para construir el mosaico completo[br][br]Veremos estas dos formas de analizarlo con el hueso, mosaico nazarí de la Alhambra de Granada.

[b]1. Análisis de las simetrías de un mosaico.[/b][br][br]El deslizador verde de la izquierda se ha diseñado para que realice una animación automática. Conforme se dirige el punto hacia la parte superior, el diseño nos muestra en primer lugar la construcción de una baldosa que, partiendo de una forma poligonal, se convierte en una figura que nos resulta más o menos "familiar", en este caso el hueso. Una vez construida una baldosa figurativa, se utilizan los movimientos de ese grupo cristalográfico para generar nuevas baldosas y mostrar los caminos para recubrir completamente el plano.

En la esquina superior izquierda aparece el movimiento que se utiliza en cada momento, en la inferior izquierda podemos detener o continuar la animación automática. Actuando directamente con el ratón sobre el deslizador podemos ir a la secuencia que deseemos para revisarla con tranquilidad.[br][br]En la parte inferior derecha hay una colección de interruptores que permiten ver cada una de las simetrías del mosaico.

[justify][b]2. Generación de mosaicos dinámicos.[/b][br][br]Partimos de una baldosa básica poligonal, un triángulo isósceles y rectángulo que se descompone en dos polígonos: con uno de los vértices y dos puntos sobre los lados que llegan a él formamos un triángulo (verde) y con el resto un cuadrilátero (matrrñon. En otros casos lo que haremos será deformar algunos de los lados y llevar la línea producida a otros lados mediante giros, traslaciones o simetrías con el fin de componer una baldosa que rellena el plano.[b][br][/b][/justify]El paso siguiente consiste en llevar la baldosa así creada al centro del applet y utilizar las simetrías del mosaico para construir el mosaico completo.

En la parte inferior izquierda tenemos la posibilidad de modificar la posición de algunos de los puntos bajo ciertas condiciones -en este caso P y Q-. El cambio afectará a todas las baldosas ya que el resto ha sido generado a partir de ella.

[size=150][color=#1e84cc][url=https://www.geogebra.org/m/z7bprgdv#material/uuburnwa][b]p6m. Mosaico semirregular[/b][/url][/color][/size][br]Autor:[url=https://www.geogebra.org/u/jamora]José Antonio Mora Sánchez[/url][br]Tema:[url=https://www.geogebra.org/t/constructions]Construccions[/url], [url=https://www.geogebra.org/t/geometry]Geometria[/url], [url=https://www.geogebra.org/t/reflection]Reflexió[/url], [url=https://www.geogebra.org/t/rotation]Rotació[/url], [url=https://www.geogebra.org/t/symmetry]Simetria[/url], [url=https://www.geogebra.org/t/transformations]Transformacions geomètriques[/url], [url=https://www.geogebra.org/t/translation]Translació[/url][br]Elementos de simetría.[br][br][list][*]Los ejes de simetría pasan por los centros de los hexágonos y los triángulos.[/*][/list][list][*]Los ejes de simetría con deslizamiento pasan por los centros de los cuadrados.[/*][*]Los centros de rotación de orden 6 están situados en los centros de los hexágonos, los de orden 2 en los centros de los cuadrados y los de orden 3 en los baricentros de los triángulos equiláteros.[/*][*]Los vectores de traslación que pueden unir los centros de los hexágonos.[br][/*][/list][br]Baldosa poligonal.[br][br]Es un triángulo rectángulo compuesto por 1/12 de hexágono, 1/4 de cuadrado y 1/6 de triángulo equilátero.[br]

[b][color=#1e84cc][url=https://www.geogebra.org/m/z7bprgdv#material/vdvtfzas]p4. Peces[/url][/color][/b][br][br]Además de los vectores de traslación, sólo tiene centros de rotación de orden 4 (giro de 90º) en las colas y las aletas de los peces y de orden 2 (giro de 180º) en la parte inferior de la boca.[br][br]Baldosa poligonal.[br][br]Es un cuadrado. Dos de sus vértices opuestos serán centros de rotación de orden 2 y los otros serán de orden 4. Hemos utilizado uno de éstos últimos para girar cualquier modificación de uno de los lados al lado contiguo.