Flächeninhalt und funktionale Abhängigkeit
Table of Contents
- 0. Flächeninhalte
- Zerlegungsgleichheit
- Parallelogramm
- Dreieck
- Drachenviereck
- Trapez
- 1. Streckenlängen im Koordinatensystem
- Grundseite eines Dreiecks bestimmen im KOSY
- 2. Dreieck mit Variable
- Vorüberlegung zur funktionalen Abhängigkeit
- 3. Begriffe "funktionale Abängigkeit"
- Begriffe
- 4. Funktionale Abhängigkeit
- Musteraufgabe - Funktionale Abhängigkeiten
- Höhe horizontal
- Drachenviereck in Abhängigkeit von x
- 5. Determinante
- "Schiefe" Dreiecke im KOSY
- Beliebige Vielecke
- Flächeninhalt Parallelogramm
- Leichte Aufgabe zu funktionaler Abhängigkeit mit Determinante
- 6. Verlängern und Verkürzen
- Funktionale Abhängigkeiten ohne Koordinatensystem
Zerlegungsgleichheit
Hefteintrag
Grundseite eines Dreiecks bestimmen im KOSY
Aufgabe A1
Welche der Dreiecke liegen so geschickt im Koordinatensystem,[br]dass die Grundseite und die Höhe ohne Messung bestimmt werden kann? Begründe![br][br][br]
Welches Dreieck?
Begründung:
Verändere das Dreieck ABC am Punkt B so, dass du die Grundseite und die Höhe ablesen kannst.
Vorüberlegung zur funktionalen Abhängigkeit
Dreieck mit Variable
Gegeben ist das Dreieck ABC[sub]n[/sub] wie in der Skizze.[br][br]
Länge der Grundseite in LE:
Die Höhe hat keine feste Länge, sondern ist variabel.[br]Betrag der Höhe in LE:
Aufgabe A2
A 2.1 Für welche Werte von x lässt sich kein Dreieck zeichnen?[br]A 2.2 Zeichne das Dreieck ABC[sub]1[/sub] für x=6.[br]A 2.3 Berechne den Flächeninhalt A(x) für x=6.[br]A 2.4 Bestimme den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x.[br]A 2.5 Für welchen Wert von x entsteht ein rechtwinkliges Dreieck? (=> Tipp: Zeichnung!)
Begriffe
funktional
[b]=> [color=#0000ff]Punkt [/color]wandert auf einer [color=#38761d]Funktion[/color] (z.B. Gerade)[/b]
[b]=> dieser [color=#0000ff]Punkt[/color] ist Teil einer Figur[/b]
Abhängigkeit
[b]=> Die Lage des Punktes ändert den Flächeninhalt der Figur (oder die Länge der Strecke)[br][br]=> Der Flächeninhalt des Dreiecks ist abhängig von der Lage des Punktes.[br][br][br][/b]
Musteraufgabe - Funktionale Abhängigkeiten
Musteraufgabe
[b]Gegeben[/b][b] ist die Geraden g mit der [b]Gleichung [/b]g: y = 0,5x + 3 .[/b][br][b]Der Punkt C[sub]n[/sub] wandert auf der Geraden g und besitzt die Koordinaten [/b][b]C[sub]n[/sub][/b][b](x|0,5x+3).[/b][br][b]Mit den festen Punkte A (-2|-1) und B (4|-1) und dem Punkt C[sub]n[/sub](x|0,5x+3) entstehen Dreiecke ABC[sub]n[/sub].[/b][br][br][b]a) Zeichne die Punkte A, B und die Gerade g in das Koordinatensystem ein.[/b][br][b]b) Zeichne das Dreieck ABC[sub]1[/sub] für x = 2 und das Dreieck ABC[sub]2 [/sub]für x = 7.[/b][br][b]c) Berechne den Flächeninhalt A[sub]1[/sub] und A[sub]2[/sub] der beiden Dreiecke. [/b][br][b]d) Für welche Werte von x entstehen Dreiecke ABC[sub]n[/sub]?[/b][br][b]e) Bestimme den Flächeninhalt A(x) der Dreiecke ABC[sub]n[/sub] in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte C[sub]n[/sub].[/b][br][b]f) Behauptung: [i]„Unter den Dreiecken ABC[/i][sub][i]n [/i][/sub][i]gibt es drei rechtwinklige.“[/i][/b][br]
[b]Bestimme[/b][b] den Flächeninhalt A(x) der Dreiecke ABC[sub]n[/sub] in Abhängigkeit[/b][b] der Abszisse x der Punkte C[sub]n[/sub].[/b][br]
Lernvideo zur Musteraufgabe
Lösung der Übungsaufgabe Arbeitsblatt
"Schiefe" Dreiecke im KOSY
Hier lernst du einen Weg kennen, den Flächeninhalt BELIEBIGER Dreiecke im KOSY zu berechnen.
Anleitung zur Flächenberechnung beliebiger Dreiecke im KOSY:
[size=150][color=#0000ff][b]Übernimm die Anleitung in dein Heft![/b][/color][/size]
Übungen
[b]Zeichne die Dreiecke ABC in dein Heft und berechne ihren Flächeninhalt mit obiger Anleitung.[/b]
a) A(-5|2) B(-1|-2,5) C(1|4)
b) A(-1,5|-3) B(3|0,5) C(0|5)
c) A(3|-2) B(3|6) C(-1|4)
d) A(5|6,5) B(-2|3) C(0,5|-2)
Funktionale Abhängigkeiten ohne Koordinatensystem
Aufgabe ähnlich AP 2016 A2
Die Zeichnung zeigt das Trapez ABCD mit [math]\left[AB\right]\parallel\left[CD\right][/math] .[br]Es gilt: [math]\overline{AB}=9cm[/math]; [math]\overline{CD}=4,5cm[/math]; [math]\overline{AL}=3cm[/math]; [math]\overline{DL}=4cm[/math] .[br][br][b]Verlängert [/b]man die Seite [AB] über B hinaus um x cm und [br][b]verkürzt [/b]gleichzeitig die Strecke [DL] von D aus um x cm, [br]so entstehen für [math]x\in\mathbb{R};x\in\sqsupset0;4\sqsubset[/math] Trapeze AB[sub]n[/sub]C[sub]n[/sub]D[sub]n[/sub] mit [AB[sub]n[/sub]] || [C[sub]n[/sub]D[sub]n[/sub]] und [math]\overline{C_nD_n}=4,5cm[/math] .[br][br]Du kannst dir das Trapez AB[sub]n[/sub]C[sub]n[/sub]D[sub]n[/sub] anzeigen lassen und mit dem Schieberegler den Wert für x verändern.
A1
Für welchen Wert für x entsteht ein gleichschenkliges Trapez?
A2
Welcher Term beschreibt den Flächeninhalt der Trapeze AB[sub]n[/sub]C[sub]n[/sub]D[sub]n[/sub] in Abhängigkeit von x?[br]Rechne zuerst und entscheide dann.
A3
Kennst du den Satz des Pythagoras schon?[br]Wie lang ist die Strecke [AD]? Berechne im Kopf!