Vogliamo approssimare con un polinomio, in un intorno di x=0, la funzione [math]y=e^x[/math][br][br]Ripassiamo le proprietà della funzione esponenziale [math]y=e^x[/math][br][list][*]la funzione ha come dominio tutti i reali e come codominio l'insieme dei reali positivi[/*][*]la funzione [math]y=e^x[/math] è una funzione strettamente crescente[/*][*]la funzione [math]y=e^x[/math] interseca l'asse delle ordinate nel punto (0,1)[/*][*]la funzione [math]y=e^x[/math] presenta un asintoto orizzontale sinistro di equazione [math]y=0[/math] [/*][*]la funzione [math]y=e^x[/math] è l'inversa della funzione[math]y=lnx[/math][/*][/list]

La funzione esponenziale in [math]x=0[/math] vale [math]1[/math] ([math]e^0=1[/math]). Quindi se vogliamo approssimare la funzione con un polinomio di grado 0, necessariamente anche il polinomio calcolato in x=0 deve valere 1 cioè [math]P_0\left(0\right)=1[/math]. Tale polinomio è una retta parallela all'asse delle ascisse. Se rappresenti entrambe le funzioni su un file di geogebra, ti accorgerai che l'approssimazione è buona solo in un intorno piccolissimo di [math]x=0[/math]. Infatti, fissa un valore di[math]x[/math], a tale valore corrisponderà un punto E sulla curva esponenziale e un punto P sulla funzione polinomiale. La distanza EP tra le ordinate di tali punti (|[math]\left|y_E-y_P\right|[/math]) può fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza EP tra le due curve è piccola più è buona l'approssimazione. Completa la seguente tabella inserendo opportune formule nel foglio di calcolo. Nella finestra grafica, invece, sposta il punto P (e quindi la sua ascissa) e visualizza come l'approssimazione indicata dalla distanza EP , tra la funzione esponenziale e il polinomio, migliori man mano che l'ascissa di P si avvicini a 0. [br][br][br][br]

Usando geogebra costruisci, la visualizzazione della distanza che c'e tra la funzione [math]y=e^x[/math] e il polinomio approssimante al variare delle [math]x[/math] prese in un intorno di [math]x=0[/math]. [br]N.B. devi:[list=1][*]traccia la funzione esponenziale[math]y=e^{^x}[/math];[/*][*]traccia la funzione polinomiale [math]y=1[/math];[/*][*]traccia la retta [math]x=a[/math];[/*][*]si introdurrà automaticamente uno slider che mi farà variare le[math]x[/math] scelte; [/*][*]visualizzare, con il comando intersezione, i punti E e P che appartengono rispettivamente alle due funzioni e corrispondenti alla [math]x[/math] scelta;[/*][*]visualizzare il segmento EP che rappresenta la distanza tra tali punti;[/*][*]visualizzare il valore numerico di tale distanza.[/*][/list]

Aggiungiamo al polinomio di grado 0 un termine di primo grado, ottenendo il polinomio [math]P_1\left(x\right)=1+ax[/math]. Ci chiediamo quale potrebbe essere il valore di [math]a[/math] che renda l'approssimazione migliore possibile.[br]Per determinare il valore del coefficiente [math]a[/math] del termine di 1° grado possiamo fare valutazioni di diversa natura:[br][list][*]Una valutazione intuitiva utilizzando Geogebra[/*][*]Una valutazione algebrica utilizzando un foglio di calcolo[/*][/list]Usa Geogebra: [br][list=1][*]inserisci la funzione esponenziale;[/*][*]inserisci il polinomio [math]P_1(x)=1+ax[/math][br][/*][*]si crea automaticamente uno slider [math]a[/math] [/*][/list]Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di [math]a[/math], fai dei tentativi, variando il valore dello slider . Ricordati che puoi anche "animare" lo slider , regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione reciproca tra il polinomio e la funzione.

L'idea è la seguente: determiniamo il valore di [math]a[/math] ( coefficiente del termine di primo grado del polinomio) seguendo un ragionamento molto semplice : [br]    [br][list][*]Prendiamo un valore di [math]x[/math] abbastanza vicino allo zero, per esempio [math]x=0,2[/math][/*][*] calcoliamo la funzione esponenziale in [math]x=0,2[/math]: [math]y=e^{0,2}[/math] [/*][/list][list][*] calcoliamo il valore del Polinomio di 1° grado in [math]x=0,2[/math] : [math]P_1\left(0,2\right)=1+a\left(0,2\right)[/math][/*][*]ricaviamo [math]a[/math] risolvendo la seguente equazione : [math]P_1\left(0,2\right)=e^{0,2}[/math][/*][/list]se risolviamo, rispetto ad [math]a[/math] l'equazione [math]1+a\left(0,2\right)=e^{0,2}[/math], otterremo [math]a=1,107014[/math] [br][br]Se ripeti la stessa procedura per un valor di [math]x[/math] che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di [math]a[/math] sempre più vicino al valore che ti permette di approssimare meglio la funzione esponenziale con un polimonio [math]P_1(x)[/math]. Usa il foglio excel per ricavare [math]a[/math] (con un'approssimazione di sei cifre decimali) per i seguenti valori :[math]x=0,1[/math] ;[math]x=0,01;x=0,001;x=0,0001;x=0,00001[/math][br]

Proviamo a migliorare il polinomio approssimante aggiungendo un termine di secondo grado al polinomio [math]P_1\left(x\right):[/math] [math]P_2\left(x\right)=1+x+bx^2[/math].[br]Per determinare il valore del coefficiente [math]b[/math] del termine di secondo grado , possiamo fare anche qui valutazioni di diversa natura:[br][list][*]una valutazione intuitiva usando Geogebra[/*][*] una valutazione algebrica[/*][*]una valutazione di natura geometrica (una valutazione globale), ovvero, scegliendo un intorno di zero non troppo piccolo e minimizziamo l'area sottesa tra il polinomio e la funzione esponenziale usando Geogebra[/*][/list]

Usa Geogebra: [br][list=1][*]inserisci la funzione esponenziale;[/*][*]inserisci il polinomio [math]P_{2_{ }}(x)=1+x+bx^2[/math][br][/*][*]si crea automaticamente uno slider [math]b[/math] [/*][/list]Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di [math]b[/math], fai dei tentativi, variando il valore dello slider . Ricordati che puoi anche "animare" lo slider , regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione reciproca tra il polinomio e la funzione.

Ti sarai reso conto che, pur variando il valore dello slider, sembrerebbe non semplice capire l'esatto valore del coefficiente [math]b[/math]. [br]Analizziamo un altro tipo di valutazione:[br]

L'idea è la seguente: determiniamo il valore di [math]b[/math] ( coefficiente del termine di 2° grado del polinomio) seguendo il seguente ragionamento: [br]    [br][list][*]Prendiamo un valore di [math]x[/math] abbastanza vicino allo zero, per esempio [math]x=0,2[/math][/*][*] calcoliamo la funzione esponenziale in [math]x=0,2[/math]: [math]y=e^{0,2}[/math] [/*][/list][list][*] calcoliamo il valore del Polinomio di 2° grado in [math]x=0,2[/math] : [math]P_2\left(0,2\right)=1+\left(0,2\right)+b\left(0,2\right)^2[/math][/*][*]ricaviamo [math]b[/math] risolvendo la seguente equazione : [math]P_2\left(0,2\right)=e^{0,2}[/math][/*][/list]se risolviamo l'equazione [math]1+\left(0,2\right)+b\left(0,2\right)^2=e^{0,2}[/math], otterremo [math]b=[/math]0,53507[br][br]Se ripeti la stessa procedura per un valor di [math]x[/math] che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di [math]b[/math] sempre più vicino al valore più adatto. Usa il foglio excel per ricavare [math]b[/math] (con un'approssimazione di sei cifre decimali) per i seguenti valori :[math]x=0,1[/math] ;[math]x=0,01;x=0,001;x=0,0001;x=0,00001[/math][br]

[br]Passiamo ad un altro tipo di valutazione, basato sull'area sottesa tra le due funzioni in un intervallo fissato. L'idea sulla quale si basa questa valutazione è che "più le due funzioni sono vicine", più l'area "racchiusa" tra le due funzioni è piccola; man mano che le due funzioni si avvicinano l'area diminuisce.[br][br]Per questo tipo di valutazione , utilizziamo Geogebra: [br][list][*]Inserisci le due funzioni: la funzione esponenziale [math]y=e^x[/math]e il polinomio [math]P_2(x)=1+x+bx^2[/math]. [/*][*]Scegli un intorno di 0, per esempio [math]-1\le x\le1[/math] , [/*][*]usa il comando di Geogebra che si chiama [b]IntegraleTra, [math]IntegraleTra(f,P_2(x),-1,+1)[/math] [/b]er determinare l'area racchiusa tra le due funzioni nell'intervallo scelto. [br] [/*][/list]

Al fine di migliorare attraverso un polinomio l'approssimazione della funzione esponenziale , aggiungiamo un termine di terzo grado al precedente polinomio [math]$P_2=1+x+\frac{1}{2}x^2$[/math]. Chiamiamo [math]c[/math] il coefficiente del termine di terzo grado [math]P_3\left(x\right)=1+x+\frac{1}{2}x^2+cx^3[/math]. [br][br][br]Ci limitiamo in questo caso ad una valutazione di tipo algebrico, come già fatto precedentemente Ripetiamo la valutazione di tipo numerico.[br][br]Attribuisci alla [math]x[/math] gli stessi valori scelti precedentemente e compila la seguente tabella:[br][br][list][*]Prendiamo un valore di [math]x[/math] abbastanza vicino allo zero, per esempio [math]x=0,2[/math][/*][*] calcoliamo la funzione esponenziale in [math]x=0,2[/math]: [math]y=e^{0,2}[/math] [/*][/list][list][*] calcoliamo il valore del Polinomio di 3° grado in [math]x=0,2[/math] : [math]P3\left(0,2\right)=1+\left(0,2\right)+\frac{1}{2}\left(0,2\right)^2+c\left(0,2\right)^3[/math][/*][*]ricaviamo [math]b[/math] risolvendo la seguente equazione : [math]P_3\left(0,2\right)=e^{0,2}[/math][/*][/list]se risolviamo l'equazione [math]1+\left(0,2\right)+\frac{1}{2}\left(0,2\right)^2+c\left(0,2\right)^3=e^{0,2}[/math] rispetto a [math]c[/math], otterremo [math]c=...[/math]. [br][br]Se ripeti la stessa procedura per un valor di [math]x[/math] che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di [math]c[/math] sempre più vicino al valore che permette al polinomio [math]P_3(x)[/math] di approssimare meglio la funzione esponenziale. Usa il foglio excel per ricavare [math]c[/math] (con un'approssimazione di sei cifre decimali) per i seguenti valori :[math]x=0,1[/math] ;[math]x=0,01;x=0,001;x=0,0001;x=0,00001[/math][br]

Dopo aver ricavato il polinomio approssimante di terzo grado e dedotto il polinomio di 4° grado , possiamo intuire quale sia il polinomio [math]Pn\left(x\right)[/math] che approssima la funzione [math]y=e^x[/math][br]Suggeriamo la formula che esprime il polinomio in parte già ricavato. Useremo il simbolo di Sommatoria[br]La formula è la seguente: [br][br][img width=79,height=55]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAE8AAAA3CAMAAAB6m+cYAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAL1QTFRFAAAAAAAAAAA6AABmADo6ADpmADqQAGaQAGa2OgAAOgA6OgBmOjpmOjqQOmZmOmaQOma2OpC2OpDbZgAAZgA6ZgBmZjoAZjqQZmZmZmaQZpC2ZpDbZrbbZrb/kDoAkDo6kGY6kGZmkGaQkLbbkNvbkNv/tmYAtmY6tmZmtmaQtpA6tpBmtpCQtrbbtrb/ttuQttv/tv/btv//25A625Bm27aQ29uQ2//b2////7Zm/9uQ/9u2/9vb//+2///be+KE+gAAAAF0Uk5TAEDm2GYAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAAAZdEVYdFNvZnR3YXJlAE1pY3Jvc29mdCBPZmZpY2V/7TVxAAACKklEQVRYR+1X2XbCIBAFW1vT1SbdW9NNsftGl0AK//9ZHUyiCYIBD089nXN8MXhn7p07Q0ToP6wKfESdAYtwP5BE4iiT991XeTsKAyhOsjxdz4LhIeB79hWO72KWpBNIhjKNOHgPI2uJwvsyxYNwkDTOr27CwSGCV9wJUzwXGjWxP0zjPHMsEKRpZJ9KlR9CW8fw4dsZw7EjHEI8wr36YR5N6pN332k8PneGmR0ExvXsMq34Uo+q6nkJbhiWVHjMow11PJHgNYPc8nLZudAlnCSTF9BWvoyACIGEuv9JdwRf911tovXNy7KIdkascIEtLBKaj4tnunP6uXjnsKZpWmzHtlt1MEhoA318Od4fPrWk1OfOdFxeYnCWTHez6YqFn5WhWw4kbMzdPKBI9jK+4byrWdtaIj30M3afGR7Vx3huiyEggFdPtUbY+crUNHQ11h5U1a9oGxORnCM5dr1HyrW3yAUfEe6cOS5EkbQ01xGnOkbm2YL+7lteS8dMq27aAOPTRQU3rVKd5JvlNemLZ7EKrQzku/hhn5mqJzHKE/XIE89iFZEMEN96hUxwA3u0V7dKRZNvDB+Kfe+Hp1sFxn4S6k2kmAbe9yiPaVfRZ1TikbXv1N/kcFfqUbhYJDHM9Ns1MLb0y7hyp/t1hlrgKTfzqKv64YHnIczfOgp98XFFG3l5MVLzECzULoF5DRZqpKi/e635VX00YH0g3uzFOQTrgP+mQ5Tjj/ELxL02aoYGtHcAAAAASUVORK5CYII=[/img][br]La [b]funzione esponenziale[/b] [math]y=e^x[/math] può essere approssimata con una [b]serie infinita, [/b] usando il simbolo di [b]sommatoria[/b]. [br]Si legge: “Somma, per k che va da 0 a infinito, di [math]\frac{x^k}{k!}[/math]. Spieghiamo la formula:[br][list][*]0 è il valore iniziale dell’indice[br][b]∞ [/b]indica che[b] [/b] la somma continua all’infinito[/*][*]Quindi stiamo sommando:[list][*]termine con k=0[/*][*]termine con k=1[/*][*]termine con k=2[br][/*][*]termine con k=3, etc[/*][/list][br][/*][*]L’[b]indice k[/b] è la variabile che conta i termini della somma.[br]Funziona come un [b]contatore[/b].[/*][*]Ogni volta che k[b] aumenta di 1[/b], otteniamo un nuovo termine della serie.[/*][*]Il [b]fattoriale[/b] di un numero intero k si scrive [b]k![/b].[br]Definizione di fattoriale: k!=k⋅(k−1)⋅(k−2)⋯2⋅1[/*][*]Per convenzione: 0!=1[/*][/list]

Utilizza geogebra per visualizzare il polinomio approssimante. [br]Segui le seguenti istruzioni:[br][list][*]inserisci [math]y=e^x[/math][br][/*][*]inserisci il polinomio [math]P(x)[/math] nel seguente modo: usa la formula [b]somma: [/b][/*][/list]La [b]formula somma (espressione, variabile, valore iniziale, valore finale) [/b]rappresenta una sommatoria matematica (spesso indicata con il simbolo [img]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img][math]\Sigma[/math] - sigma maiuscolo), utilizzata per calcolare la somma dei valori di un'espressione al variare di una variabile tra un limite inferiore e uno superiore.[br]inserisci :[br]=somma([math]\frac{x^k}{k!},k,0,a[/math]) , [math]a[/math] è uno slider che automaticamente comparirà, che ti permetterà di aumentare a tuo piacere i termini della somma e avere polinomi che sempre più si adagiano sulla funzione esponenziale intorno allo zero. Nelle impostazioni dello slider assegna ad [math]a[/math] come valore minimo lo zero e come valore massimo un valore alto, per esempio 50. Ti accorgerai che il polinomio con un grado alto , approssimerà molto bene la funzione esponenziale non solo in un intorno di [math]x=0[/math] [br] [br][br]