Ganzrationale Funktionen
Arbeitsmaterial für Ganzrationale Funktionen als Grundlage einer Unterrichtsreihe
Tabla de Contenidos
- Bereich: Funktionen allgemein
- Kennzeichen von Funktionen
- Kennzeichen von Funktionen 2
- Funktion und ihre Darstellungen
- Was kennzeichnet eine Funktion?
- Die Funktion als Rechenmaschine
- Was ist eine Funktion? - Einfach erklärt
- Bereich: Potenzfunktionen
- Eigenschaften von Potenzfunktionen entdecken
- Potenzfunktionen
- Verschieben und Strecken von Potenzfunktionen
- Spiegeln der Parabel an der x-Achse
- Spiegelung einer funktion an der x-Achse
- Potenzfunktion aus Graph bestimmen
- Funktionsgleichung einer Potenzfunktion v2
- Bereich: Ganzrationale Funktionen
- Definition Ganzrationale Funktion
- Übung: Definition ganzrationale Funktion
- Übung zur Produktform - Aufstellen von Ganzrationalen Funktionen
- Verlauf nahe 0 und Grenzwertverhalten - Erkundung
- Grenzwertverhalten
- Ganzrationale Funktionen - Symmetrie erkunden
- y-Achsenabschnitt und Nullstellen
- Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt berechnen
- pq-Formel schrittweise üben
- Skizzieren ganzrationaler Funktionen
- Verschieben entlang der y-Achse von ganzrationalen Funktionen
- Verschieben entlang der x-Achse von ganzrationalen Funktionen
- Strecken, Stauchen, Spiegeln von ganzrationalen Funktionen
- Ganzrationale Funktionen Selbstüberprüfung
Kennzeichen von Funktionen
An jedem Tag kann nur [color=#ff0000][b][u]eine[/u][/b] [/color]Höchsttemperatur erreicht werden, aber nicht jede Höchsttemperatur wurde an einem Tag erreicht.[br][br]An zwei verschiedenen Tagen kann der gleiche Tageshöchstwert erreicht werden, aber zwei verschiedene Höchstwerte kann es an einem Tag [color=#ff0000][u][b]nicht[/b][/u] [/color]geben.[br][br]
Eine [b][color=#ff0000]Funktion[/color][/b] ist eine [b][color=#ff0000]eindeutige Zuordnung[/color][/b].[br]Jedem Tag ist eindeutig ein Tageshöchstwert zugeordnet. Jedem [color=#ff0000][b]x-Wert[/b][/color] wird genau ein [b][color=#ff0000]y-Wert [/color][/b]zugeordnet.[br]Gilt auch die Umkehrung?
Aufgabe:
Zeichne eine beliebige Funktion in das Koordinatensystem.
Eigenschaften von Potenzfunktionen entdecken
Potenzfunktion
Eine Funktion vom Typ [math]f(x)=a\cdot x^n[/math] heißt Potenzfunktion vom Grad [math]n[/math].[br]Dabei ist [math]a\ne0[/math], [math]a\in\mathbb{R}[/math] eine reelle Zahl, die nicht 0 sein darf. Reelle Zahlen sind zunächst einmal alle Zahlen, die Sie kennen.[br][br]Beispiele für Potenzfunktionen sind[br][br][math]f(x)=-\frac{3}{2}\cdot x^3[/math][br][math]g(x)=15\cdot x^2[/math][br][math]h(x)=-22\cdot x^7[/math][br][br]In der ersten Aufgabe beschränken Sie sich darauf, dass [math]a=1[/math] gilt. Sie untersuchen also nur Funktionen vom Typ [math]f(x)=x^n[/math].[br][br]Sie können mit dem Schieberegler den Wert des Exponenten, also den Grad der Potenzfunktion, wählen.[br][br][br]
Aufgabe 1
Schauen Sie sich die Grafen für unterschiedliche Grade genau an und achten Sie auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede. Achten Sie darauf, wie das Aussehen der Potenzfunktion vom Wert des Grades der Potenzfunktion abhängt.
[size=150]Quadranten[br][/size]Bevor es weitergeht, erlernen Sie etwas Fachvokabular.[br]Ein Koordinatensystem teilt man in 4 Quadranten ein. [br]Die Quadranten zählt man in mathematisch positiven Drehsinn, also gegen den Uhrzeigersinn.
Im nächsten Applet können Sie noch einmal Funktionen vom Typ [math]f(x)=x^n[/math] für unterschiedliche Werte des Exponenten [math]n[/math] anzeigen lassen.
Aufgabe 2
Notieren Sie, unter welchen Bedingungen die Graphen durch welche Quadranten verlaufen.
Definition Ganzrationale Funktion
Ein Funktion f, deren Funktionsgleichung in der Form[br][math]f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+.a_1x+a_0[/math][br]geschrieben werden kann, heißt [b]ganzrationale Funktion n-ten Grades[/b].[br]Dabei sind [math]a_{0,}a_{1,}...,a_n[/math] reelle Zahlen ([math]a_n\ne0[/math]), die sogenannten Koeffizienten. n ist eine natürliche Zahl.[br][math]a_0[/math] heißt [b]absolutes Glied[/b].
[u]Beispiel:[/u][br]Die Funktion [math]f\left(x\right)=\left(x-1\right)\cdot\left(x+3\right)[/math] ist eine ganzrationale Funktion. Sie liegt in der Produktform vor, die du im nächsten Abschnitt kennenlernst. Der Funktionsterm von[i] [math]f[/math][/i] lässt sich umformen zu [math]f\left(x\right)=x^2+2x-3[/math] und ist somit eine ganzrationale Funktion [i]zweiten[/i] Grades.[br][br]In der folgenden Übung sollst du jeweils entscheiden, ob eine Funktion ganzrational oder nicht ganzrational ist.[br][br]Schalte das Applet in den Vollbildmodus um (kleines Symbol in der oberen rechten Ecke anklicken).