Das berechnen der Nullstelle einer linearen Funktion, als oeiner ganzrationalen Funktion ersten Grades, ist schon im Kapitel "[url=https://www.geogebra.org/m/ggrz2had#material/eqymywyp]Nullstellen linearer Funktionen[/url]" besprochen worden. Auch das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen, den ganzrationalen Funktionen zweiten Grades, kennen wir schon aus den Kapiteln "[url=https://www.geogebra.org/m/ggrz2had#material/u5euvmw2]Nullstellen Teil 1 - Sonderfälle[/url]" und "[url=https://www.geogebra.org/m/ggrz2had#material/babprxp9]Nullstellen Teil 2: pq- und abc-Formel[/url]".[br][br]Für ganzrationale Funktionen höheren Grades als 2 gibt es in der Regel nicht so einfache Lösungswege. Aber es gibt einige Sonderfälle, in denen auch hier eine händische Lösung möglich ist:

[list][*]Die Funktion ist in Linearfaktordarstellung gegeben (siehe unten)[/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/wggjf9uv]Lösung mit n-ter Wurzel[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/bagueskp]Lösung durch ausklammern[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/hbwmxgcx]Lösung durch Substitution[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/ggrz2had#material/zvcrbhbm]Lösung durch Polynomdivision[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/ggrz2had#material/zvjtcduf]Lösung mit dem Horner-Schema[/url][br][/*][/list]

Gegeben ist ein Produkt [math]P[/math] mit den Faktoren [math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math] ..., also [math]P=a\cdot b\cdot c...[/math].[br]Dann gilt:[br][b][color=#980000]Das Produkt [/color][/b][math]P[/math] [color=#980000][b]ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren [/b][/color][math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math] [b][color=#980000]... gleich Null ist.[/color][/b][br][br]Beispiel: [math]6\cdot 87\cdot 100\,000\cdot \pi\cdot \fgcolor{#ff0000}{\mathbf 0}=0[/math]

[math]f(x)[/math] sei eine ganzrationale Funktion [math]n[/math]-ten Grades. [math]f(x)[/math] hat bei [math]x=n[/math] eine Nullstelle, also [math]f(n)=0[/math].[br]Dann lässt sich die Funktionsgleichung von [math]f(x)[/math] auch schreiben, als:[br][math]f(x)=(x-n)\cdot g(x)[/math][br]Dabei ist [math]g(x)[/math] eine ganzrationale Funktion ([math]n-1[/math])-ten Grades.[br][size=150][br][b]Beispiel:[/b] [/size][br]Die Funktion [math]f(x)=x^3-2\,x^2-5\,x+6[/math] hat eine Nullstelle bei [math]x=1[/math]. Tatsächlich kann man [math]f(x)[/math] auch schreiben, als [math]f(x)=(x-1)\cdot(x^2-x-6)[/math]. Wenn Sie diese beiden Klammern wieder multiplizieren, bekommen Sie die oben stehende Polynomdarstellung von [math]f(x)[/math] heraus. [br]Die Funktion [math]g(x)=x^2-x-6[/math] kann man dabei mit der sogenannten [b]Polynomdivision[/b] berechnen.

Ist eine ganzrationale Funktion in Linearfaktordarstellung gegeben, dann kann man sehr einfach die Nullstellen ablesen, ohne eine Rechnung. Denn die Funktionsgleichung ist genau dann gleich Null, wenn eine der Klammern - der Linearfaktoren - gleich Null ist:[br]Die Funktion [math]f(x)=(x+2)\cdot x^2\cdot(x+1)^3\cdot (x-3)^2\cdot(x-8)\cdot (x-10)[/math] hat [br][list][*]einfache Nullstellen bei [math]x_{N1}=-2[/math], [math]x_{N2}=8[/math] und bei [math]x_{N3}=10[/math][/*][*]doppelte Nullstellen bei [math]x_{N4,5}=0[/math] und [math]x_{N6,7}=3[/math][/*][*]eine dreifache Nullstelle bei [math]x_{N8,9,10}=-1[/math] [/*][/list]

Ist eine ganzrationale Funktion in Linearfaktordarstellung gegeben, dann haben manche Linearfaktoren ganzzahlige Exponenten (s.o.). In diesem Fall spricht man von einer mehrfachen Nullstelle.[br]Das Vielfache der Nullstelle ist gleich dem Exponenten am Linearfaktor.[br]Man kann mehrfache Nullstellen auch sehr schön in einem Funktions[b][i]grafen[/i][/b] erkennen:[br][br][size=150][b][color=#980000]Eine n-fache Nullstelle schneidet oder berührt die Abszisse genau so, wie die Potenzfunktion [/color][math]\text{\Large{$\fgcolor{#980000}{\mathbf{x^n}}$}}[/math].[/b][/size][br][br] Probieren Sie es aus.