Für die Nullstellen von gebrochen-rationalen Funktionen gilt dasselbe wie für die Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Auch hier gibt es [color=#ff0000]mehrfache Nullstellen[/color], die jeweils verschieden aussehen. [br][br]Das Wesentliche können Sie wiederholen, indem Sie [url=https://www.geogebra.org/m/ue2cYWZt]hier klicken[/url].[br][br]Die Berechnung erfolgt natürlich ebenso durch Nullsetzen des Funktionsterms. Dabei stößt man im Allgemeinen auf eine [color=#ff0000]Bruchgleichung[/color], die sich durch [color=#ff0000]Multiplikation mit dem Hauptnenner[/color] lösen lässt.[br][br][br][b]Beispiele[/b]:[br][br][b]1)[/b] [math]f\left(x\right)=\frac{x^3-3x^2}{x-1}[/math] [math]\frac{x^3-3x^2}{x-1}=0[/math] | [math]\cdot\left(x-1\right)[/math][br] [math]x^3-3x^2=0[/math][br] [math]x^2\left(x-3\right)=0[/math][br] [math]x^2=0[/math] oder [math]x-3=0[/math][br] [math]x_1=0[/math] (2-fach); [math]x_2=3[/math] (1-fach)[br][br] Bei x = 0 berührt der Graph also die x-Achse und bei x = 3 schneidet er sie:

[b]2)[/b] [math]f\left(x\right)=x+2+\frac{1}{x-2}[/math] [math]x+2+\frac{1}{x-2}=0[/math] | [math]\cdot\left(x-2\right)[/math][br] [math]\left(x+2\right)\left(x-2\right)+1=0[/math] [br] [math]x^2-3=0[/math] | [math]+3[/math][br] [math]x^2=3[/math] | [math]\sqrt{ }[/math][br] [math]x_1=-\sqrt{3}[/math]; [math]x_2=\sqrt{3}[/math] (jeweils 1-fach)[br][br] Der Graph schneidet an beiden Nullstellen jeweils die x-Achse:

Testen und Üben Sie Ihr Verständnis anhand der folgenden Aufgaben: