[b][url=https://www.geogebra.org/m/kFPMXTSR]A P-modell eszköztárát használva[/url][/b] vizsgáljuk meg, hogy az alábbi kijelentések[b] [url=https://www.geogebra.org/m/mEsYNnyb]miként tükröződnek[/url][/b] a modellen. Azok az olvasóink, akik számára ismertek az inverzió (körre vonatkozó tükrözés) tulajdonságai, miként tudnák igazolni az alábbi állításokat? [br][color=#9900ff][list][*]Két pontra egy és csakis egy egyenes illeszkedik. [/*][*]Az egyenes a síkot két részre – [i]félsíkra [/i] – osztja. [/*][*]A sík bármely egyenese meghatároz egy[i] tengelyes tükrözés[/i]nek nevezett transzformációt, amely[br][list][*]kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hoz létre a két félsík pontjai között;[/*][*]egy pont tükörképének az ugyanerre az egyenesre vonatkozó tükörképe az eredeti pont;[/*][*]az egy egyenesre eső pontoknak a tükörképei is egy egyenesre esnek;[/*][*]a sík bármely két pontjához pontosan egy tükörtengely tartozik; [/*][*]egy tengelyesen szimmetrikus pontpárnak egy egyesre vonatkozó tükörképei is tengelyesen szimmetrikusak.[/*][/list][/*][/list][/color][br]A geometria axiomatikus felépítésérnek egy lehetséges útja az, amelyben a tengelyes tükrözés imént felsorolt tulajdonságait [u]fogadjuk el axiómaként[/u]. Ha ezt megtesszük kimondhatjuk, az alábbi – abszolút geometriai – definíciókat: [br]     [br][list][*][color=#9900ff]Két egyenest [i]m[/i][/color][color=#9900ff][i]erőleges[/i][/color][color=#9900ff]nek nevezünk, ha egyiknek a másikra vonatkozó tükörképe önmaga. Az egyenesek közötti merőlegesség szimmetrikus reláció.[/color][/*][/list][color=#9900ff][list][*]Két szakaszt – általában két síkgeometriai alakzatot – akkor tekintünk [i]egyenlő[/i]nek ([i]egybevágónak[/i]) ha tengelyes tükrözések sorozatával egymásba átvihetők.[br][/*][/list][/color][br]Mint látni fogjuk, a tengelyes tükrözéssel megadható a sík összes többi egybevágósági transzformációja. Sőt a kör(vonal) fogalma is értelmezhető anélkül, hogy a szakasz hosszát (mérését) értelmeznénk.       [br][list][*][color=#9900ff]Legyen adott síkban egy [i]O[/i] és egy[i] A[/i] pont. Az [i]O[/i] középpontú [i]A [/i]kerületi pontú [i]körvonal[/i]nak nevezzük azoknak az [i]A'[/i] pontoknak a mértani helyét, amelyekre teljesül, hogy [i]OA [/i]és [i]OA'[/i] egybevágó. [/color][br][/*][/list][br]Ezt a tengelyes tükrözésen alapuló felépítés lehetővé teszi az alábbi fogalmak kialakítását:[br][list][*][color=#9900ff][i]egyenesek közötti [/i][i]merőlegesség;[/i][br][/color][/*][*][color=#9900ff][i]szakaszfelező merőleges (két pont tükörtengelye);[/i][br][/color][/*][*][color=#9900ff][i]két félegyenes[/i] [i]szöge;[/i][br][/color][/*][*][color=#9900ff][i]a szögek közötti egybevágóság (egyenlőség);[/i][br][/color][/*][*][color=#9900ff][i]a szögfelező (két, közös kezdőpontú félegyenes tükörtengelye).[/i][br][/color][/*][/list][br]A P-modell segítségével egyre pontosabban kirajzolódik az a mérföldkő, amit a párhozamossági axióma kimondása jelent, elválasztva a hiperbolikus geometriával közös – abszolút geometriai – fogalmakat, összefüggéseket a kizárólag csak az euklideszi, vagy csak a hiperbolikus geometriában érvényes fogalmaktól.       [br][list][*][color=#ff0000]A hiperbolikus síkon egy adott H-egyeneshez és a rá nem illeszkedő H-ponthoz [u]legalább két[/u] olyan H-egyenes tartozik, amely az adott pontra illeszkedik és az adott H-egyenest nem metszi. [/color][br][/*][/list][br]Ez a legfontosabb összefüggés, amelyben eltér a P-modell az euklideszi geometriából közismert összefüggésektől. Bizonyítható – és ez a P-modellen is tükröződik –, hogy egy adott pontra illeszkedő egyenesek között [color=#ff0000][u]végtelen sok[/u] olyan egyenes van, amely erre a pontra illeszkedik, és az adott egyenest metszi, ill. nem metszi, azaz [i]párhuzamos[/i][i].[/i][/color] Ezt az egyenesekből álló két halmazt két egyenes választja el egymástól, amelyek ugyancsak nem metszők. Ezek az [color=#ff0000][i]aszimptotikusan párhuzamos[/i], [/color] másképpen (rövidebben) [color=#ff0000][i]egyirányú,[/i] [/color]egyenesek, a többi nem metszőt [i]u[color=#ff0000]ltrapárhuzamos[/color][/i][color=#ff0000]nak,[/color] vagy [color=#ff0000][i]eltérőnek[/i] [/color]szokás nevezni.[br][br]Eszerint két H-egyenes kölcsönös helyzete lehet [color=#ff0000]metsző, egyirányú vagy ultrapárhuzamos.[/color]

Az imént az egyeneseket két-két ponttal adtuk meg. E pontokat mozgatva viszonylag könnyen elérhetjük, , hogy két egyenes aszimptotikusan párhuzamos legyen. Ehhez felhasználtunk egy kis programozási trükköt, amit a GeoGebra fájlok előállítása iránt érdeklődő olvasóink figyelmébe ajánlunk. Ugyanis a pontok mozgatásával ez éppoly nehezen érhető el, mintha úgy szeretnénk mozgatni a két pontot, hogy az egyenesük illeszkedjen egy igen távoli (esetleg a rajzlapunkon rajta sem lévő) pontra. Így máris eljutottunk a Bolyai geometria egyik legmélyebb összefüggéséhez: Hogyan szerkeszthető meg egy adott egyenessel aszimptotikusan párhuzamos, adott pontra illeszkedő egyenes? Erre i[url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/S2jQXYG3]tt térünk vissza.[/url][br] [br]Egyenlőre elégedjünk meg annyival, hogy a hiperbolikus sík pontjainak a halmazát ki tudjuk bővíteni az un. v[i]égtelen távoli[/i] pontokkal. Másképpen ezeket a [i]irányoknak[/i] is szokás nevezni. Ezek a pontok a P-modellen az alapkör vonalára illeszkednek. A hiperbolikus sík végtelen távoli pontjait a P-modellen a ▶ jellel jelenítjük meg. [br][br]A fenti appletből leolvasható, hogy[br][list][*][color=#ff0000] minden H-egyenesnek két végtelen távoli pontja van. A H-sík minden (AB) egyeneséhez, és rá nem illeszkedő C pontjához [u]pontosan két[/u] olyan egyenes tartozik, amely C-re illeszkedik és (AB)-vel egyirányú. [/color][/*][/list]