La formula di Eulero:[br] [br][math]e^{ix}=cosx+i\cdot sinx[/math][br][br]a cui siamo giunti trovando i polinomi approssimanti le tre funzioni y=e^x , y=cosx e y=senx e introducendo l'unità immaginaria e le sue potenze è una relazione molto potente perché unisce importanti oggetti matematici: [list][*]la funzione esponenziale [/*][*]la funzione coseno [/*][*]la funzione senx[/*][*]l'unità immaginaria i[/*][/list]in un’unica formula scoperta da Leonhard Euler.[br]Le funzioni cosx e senx sono 'nascoste' in una particolare funzione esponenziale: [math]e^{ix}[/math].
Ma che tipo di oggetto è tipo di oggetto è [math]e^{ix}[/math]? Un numero reale o qualcosa di diverso?[br][br][br]
Possiamo disegnarlo come facevamo con [math]e^x[/math]?
[list]La scrittura che hai suggerito per indicare le due parti del numero [math]e^{ix}[/math] ricorda qualcosa?[/list]dai almeno due indicazioni:
Se il numero [math]e^{ix}[/math] ha due parti, come possiamo descriverlo? [br][br][math]e^{ix}=cosx+i\cdot sinx[/math] [math]\longrightarrow[/math] ( ; )
Dove rappresentiamo normalmente coppie di 'numeri'?
Nel nostro caso la coppia di numeri non può essere rappresentato su un normale piano cartesiano perché il primo numero è effettivamente un numero reale e quindi lo potrei inserire su un asse orizzontale in cui ci sono i 'semplici' numeri reali; il secondo numero della coppia invece, pur essendo un numero reale, è associato all'unità immaginaria i ([math]i\cdot senx[/math] ) pertanto ...è davvero la stessa cosa di un numero reale? Fai le tue considerazioni.
Per risolvere il 'problema' considera lo stesso piano cartesiano e prova a dare un nuovo significato agli assi; fai una proposta:[br][br]1) cosa metteresti sull'asse delle ascisse?[br][br]2) cosa metteresti sull'asse delle ordinate?
Torniamo alla formula di Eulero:[br][br][math]e^{ix}=cosx+isinx[/math][br][br]Se scriviamo questo numero nella forma [math]a+ib[/math], [br]1) quali sono [math]a[/math]e [math]b[/math]?[br]2) per un [math]x[/math] fissato, cosa sono [math]a[/math] e [math]b[/math]? [br]
Nel piano complesso un numero [math]z=a+ib[/math] corrisponde al punto [math](a;b)[/math]Quindi il numero [math]z=e^{ix}[/math] corrisponde al punto [math]\left(a;b\right)[/math].
Dove si trovano nel piano complesso tutti i punti della forma [math](cosx;sinx)[/math]?
Dai una verifica formale di ciò che affermi
Immagina che [math]x[/math] varia assumendo i valori suggeriti nella tabella, scrivi per ogni [math]x[/math] il punto corrispondente:[br][br] [math]x[/math] [math]punto[/math][br]-----------|--------------[br] [math]0[/math] |[br] |[br] [math]\frac{\pi}{2}[/math] |[br] |[br] [math]\pi[/math] |[br] |[br] [math]\frac{3\pi}{2}[/math] |
[list]Che traiettoria descrivono questi punti che in qualche modo rappresentano [math]e^{ix}[/math]? Che tipo di movimento sembra?[/list]
Usando la finestra grafici di geogebra inserita sotto:[b][br][br]Crea uno slider [/b]per [math]t[/math]:[br] Seleziona lo strumento Slider (nella barra degli strumenti).[br]Clicca su un punto qualsiasi del piano. [br][list][*]Imposta:[br][/*][*][b]Nome[/b]: t[code][br][br][/code][/*][*][b]Intervallo[/b]: da [code]0[/code] a [code]2π[br][/code][/*][*][b]Incremento[/b]: ad esempio [code]0.01[br]Conferma.[br][/code][/*][/list] Ora hai un cursore che rappresenta un angolo in radianti.[br][b][br]Creare il punto dinamico[/b][br][list][*]Nella barra di inserimento scrivi:[/*][*]A=(cos(t), sin(t))[/*][*]Premi Invio.[/*][/list]Vedrai comparire il punto A che si muove al variare di [math]t[/math].[br][b][br]Attivare la traccia del punto[/b][br][list]Per vedere la “scia” del punto:Clic destro su A → seleziona [b]Attiva traccia[br][/b][/list]Muovendo lo slider, il punto disegnerà una figura.[br][b][br]Animare lo slider[/b][br][list]Clic destro sullo slider a Seleziona [b]Animazione attiva[br][/b][/list]Il punto inizierà a muoversi automaticamente.[br][br]Rispondi nella finestra risposta sotto:[br][list][*]Che figura disegna il punto A?[br][/*][br][*]Qual è il raggio di questa figura?[br][/*][br][*]Dove si trova il centro?[/*][/list]Verifica se le ipotesi che avevi fatto osservando i punti della tabella concordano con ciò che vedi al variare dello slider.[br][br]Continua nella stessa finestra grafici di geogebra inserita sotto:[br][b]Disegnare la circonferenza di riferimento[br][/b][list][*]Inserisci: c: x^2+y^2=1[/*][/list]In questo modo vedrai che il punto P si muove proprio su tale circonferenza.[br][b][br]Mostrare l’angolo[/b][br][list][*]Crea un punto:[br]B = (1, 0)[br][/*][*]Usa lo strumento [b]Angolo[/b] tra:[br][/*][list][*]origine (0,0)[br][/*][*]B[br][/*][*]A[/*][/list][/list]per visualizzare l’angolo t.[br]
Dopo queste considerazioni, come descriveresti quindi [math]e^{ix}[/math] da un punto di vista geometrico?
Se dovessi immaginare [math]e^{ix}[/math] come un vettore nel piano complesso:[br]1) che modulo gli assoceresti?[br]2) quale angolo (detto argomento) gli assoceresti per indicare la sua direzione? [br]3) cosa fa il vettore al variare dell'argomento?[br]
Grazie alla formula di Eulero abbiamo visto che possiamo leggere [math]e^{ix}[/math] in diversi modi. Scrivi sinteticamente le interpretazioni di [math]e^{ix}[/math] su cui hai avuto modo di riflettere durante questo percorso, esplicitando, in particolare, le seguenti interpretazioni:[list][*][b]trigonometrica[/b] (legame con [math]cosx[/math] e [math]sinx[/math])[/*][/list][math]e^{ix}[/math] rappresenta un numero complesso ...[br]le cui componenti sono:[br]parte reale: ...[br]parte immaginaria: ...[br]quindi è un modo compatto per esprimere...[list][*][b]algebrica o cartesiana[/b][/*][/list]il numero z rappresenta un numero complesso nella forma ...[br]le cui componenti sono:[br]parte reale: ...[br]parte immaginaria: ...[br]quindi è un modo algebrico [list][*][b]geometrica[/b] (legame con la circonferenza)[/*][/list]Nel piano complesso (piano di Piano di Argand-Gauss):[br] [math]e^{ix}[/math] è un punto sulla ... [br] di raggio ...[br] forma un angolo [math]x[/math] con l’asse...[br]quindi è un punto appartenente ad una figura geometrica [br][list][*][b]vettoriale[/b] (rotazioni)[/*][/list]Possiamo vedere (e^{ix}) come un vettore:[br]di lunghezza ...[br]direzione determinata dall’angolo...[br][br]Ripercorri sotto la sintesi introducendo le parti mancanti. [br]
Fai le tue considerazioni in relazione all'attività svolta:
[math]e^{ix}[/math] unifica: [list][*]trigonometria (seno e coseno)[/*][*]algebra (numeri complessi) [/*][*]geometria (circonferenza) [/*][*]vettori (rotazioni)[/*][/list]secondo te, quali tipi di fenomeni potrebbero essere descritti con l'uso di questo strumento 'potentissimo'?