[i]Při řešení této úlohy vám může být nápomocné tvrzení týkající se vlastností osy úhlu v trojúhelníku. Jelikož není příliš rozšířené, rozhodli jsme se vám jej prozradit a dokázat.[/i]

Mějme libovolný trojúhelník [math]ABC[/math]. Osa úhlu [math]ABC[/math] protne úsečku [math]AC[/math] v bodě [math]D[/math]. [br][br]Dokažme, že [math]\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{CB}[/math].[br][br]Sestrojme přímku [math]v[/math], která je rovnoběžná s úsečkou [math]AB[/math] a prochází bodem [math]C[/math]. Nechť bod [math]F[/math] je průsečíkem přímky [math]v[/math] a přímky [math]BD[/math].[br][br]Jelikož přímka [math]v[/math] je rovnoběžná s přímkou [math]AB[/math], úhly [math]\sphericalangle BFC = \sphericalangle CBF[/math] (střídavé úhly).[br]Dva úhly v [math]\triangle FBC[/math] jsou tedy shodné - jedná se o rovnoramenný trojúhelník. Z toho plyne, že [math]|FC| = |CB|[/math].[br][br]Nyní se podívejme na trojúhelníky [math]\triangle DBA[/math] a [math]\triangle DFC[/math]:[br]Úhly [math]\sphericalangle FDC[/math] a [math]\sphericalangle BDA[/math] jsou shodné, jelikož se jedná o vrcholové úhly.[br]Úhly [math]\sphericalangle DFC[/math] a [math]\sphericalangle FBC[/math] jsou shodné, jak je již zmíněno výše.[br]Úhly [math]\sphericalangle BDA[/math] a [math]\sphericalangle FBC[/math] jsou rovněž shodné, jelikož osa úhlu [math]\sphericalangle ABC[/math] rozdělila tento úhel na dva shodné.[br]Úhly [math]\sphericalangle BDA[/math] a [math]\sphericalangle FDC[/math] jsou tedy shodné.[br][br]Trojúhelníky [math]\triangle DBA[/math] a [math]\triangle DFC[/math] mají tedy dva shodné úhly - jsou si podobné. [br][br]Vyjádřeme poměry stran:[br][math]\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{FC}[/math][br][br]Délku úsečky [math]|FC|[/math] můžeme nahradit [math]|BC|[/math]:[br][math]\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}[/math][br][br]Nyní rovnost upravme:[br][math]\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AD}[/math], neboli [math]\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AB}[/math], což jsme chtěli dokázat.[br][br][br]