Tres demostraciones del Teorema de Pitágoras
Se presentan tres demostraciones muy visuales del Teorema de Pitágoras: la de Pappus, otra basada en áreas y la de Perigal, a modo de puzzle.
Inhaltsverzeichnis
- Introducción
- Introducción
- Demostración de Pappus
- Copia de 04024001_applet_demo_pitagoras_pappus
- Segunda demostración del teorema de Pitágoras
- Copia de 04024002_applet_demo_teorema_pitagoras
- Demostración de Perigal (puzzle)
- Copia de 04024003_applet_puzzle_perigal
Introducción
A continuación se presentan tres demostraciones distintas del Teorema de Pitágoras: la de Pappus, la de Perigal y una tercera, quizás la más extendida en la educación secundaria, basada en la descomposición de un cuadrado de lado la suma de los catetos del triángulo rectángulo.
Copia de 04024001_applet_demo_pitagoras_pappus
Mueve el deslizador del siguiente applet para ver la demostración del teorema.
La demostración consta de tres transformaciones geométricas:
[b]Primera transformación:[/b][br]Los cuadrados construidos sobre los catetos se transforman en paralelogramos del mismo color que se mueve de manera que su altura siempre es la misma que la del cuadrado inicial y su base también. Como cualquier paralelogramo con la misma base y la misma altura tiene la misma área, las áreas de los paralelogramos son iguales que las áreas de los cuadrados del mismo color.[br][b]Segunda transformación:[/b][br]Se trasladan los paralelogramos sin deformarlos hasta que su base coincide en ambos con el lado del cuadrado construido sobre la hipotenusa.[br][b]Tercera transformación:[/b][br]Cada paralelogramo se transforma en otros paralelogramos del mismo color hasta convertirse en dos rectángulos que recubren el cuadrado construido sobre la hipotenusa. En este proceso todos los paralelogramos del mismo color, incluidos los dos rectángulos del final del proceso, tienen la misma área por tener la misma base y la misma altura.[br]Con esto queda demostrados que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Copia de 04024002_applet_demo_teorema_pitagoras
Utiliza la barra de navegación del siguiente applet para ver los pasos de otra demostración del Teorema de Pitágoras.
Partimos de un triángulo rectángulo de hipotenusa [i]a[/i] y catetos, [i]b y c.[/i][br]Construimos dos cuadrados de lado [i]b+c[/i] y los dividimos de dos formas distintas. Los dos cuadrados tienen la misma área porque sus lados son iguales.[br][b]Los triángulos azules[/b] que aparecen en los dos cuadrados son triángulos rectángulos de catetos[i] b[/i] y [i]c[/i] y, por tanto, [b]son iguales al triángulo de partida[/b] y su hipotenusa es[i] a[/i].[br]Si en los dos cuadrados así construidos suprimimos los cuatro triángulos azules, como el área de los triángulos es la misma,las superficies restantes en ambos deben ser iguales.[br]Así [b]el área del cuadrado verde es igual a la suma de las áreas de los cuadrados naranja y rosa[/b].[br]Es decir, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.[br]
Copia de 04024003_applet_puzzle_perigal
En el siguiente applet se presenta una demostración del Teorema de Pitágoras en forma de puzzle. Está basada en la demostración de Perigal (s XIX).
Uno de los cuadrados, de los dos construidos sobre los catetos del triángulo rectángulo, se ha dividido en cuatro cuadriláteros que recubren su área sin solaparse.[br]El cuadrado construido sobre el otro cateto se mantiene sin dividir.[br]Si con los cuatro cuadriláteros del primer cuadrado junto con el cuadrado construido sobre el otro cateto se consigue recubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa sin solapamiento, el teorema quedaría probado.[br][b]Desplaza los cinco cuadriláteros hacia el cuadrado de la hipotenusa y colócalos hasta que consigas recubrir todo el cuadrado sin solapamientos.[/b][br]Si marcas las casillas [b]Pista 1[/b] y [b]Pista 2[/b], se mostrará dónde se deben colocar dos de los cuadriláteros. [br]Si marcas la casilla [b]Resolver[/b], la actividad aparecerá totalmente resuelta. [br]Si mueves el punto blanco, comprobarás que la construcción no es única y que algunas de las disecciones del cateto no son válidas.